经济数学基础期末总辅导--材料.pdf

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1、经济款当基砒期末总辅导第一编第二章一无函熬微今当l i m f(x)=A ._ 、一、一、左曲熬极限定.又X T 中应整惠什么7要 披 量：(V f(x)左x=x0处 系 一 是 定 义，(2)x无 限 接 近 与 时，f(x)无 限 接 近A,A是一个确定的冬照/(3)X。可。代 表 有 熟，也 可 起 衰 亦 无 穷 上。二、二、为 何 判 断 曲 剧f(x)在x=x。处 极 限 是 否 在 左7常 用 极 限存在克夏条件来判断。l i m /(x)=A l i m f(x)=l i m /(x)=A若 X T q X T/A-xJ我 们 说 照f(x)点x=x。处 极 限 是 后 点 的

2、，不表则当Xf/时，f(x)。A名极限。若 左、右 极 限 所 一 个 不 后 点或 左、右 极 限 后 点 俚 系 相 等，我 们 就 说f(x)在x=x0处 的 极 限 系 后 在。例 由，殁曲熬 f c o s(x-l)X 1f(x)=s i n(x-l)+l x ll i m /(x)=l i m s i n(x-1)+1 =1 l i m f(x)-l i m c o s(x-1)=1斛：X T r X-r X-l+X-1+国 l i r n/(x)=l=l i r n/(x)=l i m/(x)l i m/(x)=l故 7三、三、无穷小勿无穷大定义及常用植质1、1.“工察名极限的变

3、量，称 名 无 穷 小(量)。无穷力存 用a、0、T表示。2,2,咨X -X。时，(x)l无 限 褶 大 且 可 大 于G意 作 是 的 正 实 数，款Ax)为无l i m fix)=o o穷 人(-t)o和名 i xj上 式 表 朗x fx。时，/(X)是 无 穷 上。3,3.有 用 植 质：(I)(I)有 界 蜃 与无穷小的积是无穷小；(2)(2)有 限 个 无穷小的积、和仍为无穷力(3)(3)无 穷人身无穷。鼠倒照关系。四、四、求极限有用方让上种k 1,用极限四则运算法则求的 为，求下列匹数极限lim(x2+3)=limx2+lim3=I2+3=4(1)x-l*5 x 1lim(6x2-

4、9x+4)=61imx2-91imx+lim4=6x22-9 x 2 +4=10(2)X T2 X T2 X T2 X T22、2、用无穷小傥质病例 由；求极限；lim四A-X今 行,此 魏 系 怩 用 运 算 法 则 求。c lim sin x,lim x、._ 小.一 上、国 3 8 极 限 蒸 存 在，但 可 用 无 穷 小 但 质 点。解 I sin x 00原 式=0.x+2lim-(2)1 2工_2今 折；此 茎 今 穹 极 限 苞0,不惋用运算法则求,，可用无穷小易无穷人关系求。x 2v lim-二 0解：i x+23、3、漪 去 极 限%。的 国3点例 为：第极限1.x2 16

5、lim-原 式=8(1)I x-4今 折：此 敦 系 犍 用 育 的 法 则 求，令 写 极 限 爸0。势 须 先 漪 去 极 限 名 零 的 国3,Ax f4的 极 限 过 程 中，工一4。0。对 公 式 或 救 限 时，可 消 去 极 限 冬 的0 3。x+1 2lim-=lim解,，湿式=ii(iT)(x +l)J4、4、用根式嗡限化忒x-1（犬一1）（尤+1）工5工+1 2lim!=-用 公 式(五 一血)(+血)=。一人。杷 曲 熬 中 的 根 式 药 理 化 后，再求极限例 电：求极限Vx-2（I）lXimT 49/+元一20今 折：上式中今考极限 0,系 惋 用 甯 的 运 普

6、法 则，先杷式中根式嘴理化,再求极限。解式展l i m(y 7-2)(2)=lim2 4 (x-+x-2 0)(4 +2)1 4x-4(x 4)(x+5)(V +2)l i mx f 411 1(x+5)(V x+2)9 x 4 3 6(2)l i m(x-7 7 T 7)今 折，由X -8 时，上 式 是 不 确 定 的 熬，系 犍 用 运 算 旅 则，先 根 式 帝 理 化，春点极 限。解式源l i mXT8x+yjx2(I)+X(2)6.6、用重要极限(I)/(X)点 点 X。处 南 定 义；l i mXT82 2x X xx O+)=-l i m X-0 01 +11 _ 11+T -

7、25.5、比较零法法忒 嘴 理 台 式 极 限，用 今 母 中 法 照 秦 裔 的 家 去 除 今 3、今 专，森 用 商 的 求 极 限 汝 则，例 由，忒极限().2 x +x +1l i m-XT9 X-X-12 +limf=2010 =2X f 8 1 1 1-0-0X X23 x，2 x +x +1l i mX-8x2+x-l3 x -2 d-1 l i m-1尤=o o18 1 11 +-7X Xl i mA-09=1 和 l i m(l +L =e 未求极限。x%T 8 X例 由,或 下 列 色 熬 极 限(I)l i m.1 0tan xl i mx-0s i n x 1l i

8、 m x-s i n =l i mx-0 0X co s x1s i n iT=iivs i n x .1 11Il i m-l i m-=1 x 1 =1x9 X 1 0 COS XX 1 8X五、l i m(r =l i m (l +-)2 2=e2X-00%Xf 8 X五、曲 熬 窟 倭 的 到 定，1,/(X)在 直 X。处接裱也义若!雪 幻=),则 称/(X)点 点 X。处 直 狡。点 X。/(X)的直揍点。2、一l i m/(x)=f(x0)运 善 式/三 种 含 义，hmf(x)入f0极限存在,.（3）极限值 雪 署 于 曲 照 值/（X。）。上述三个条件鞅一个，就表求茁熬/（X

9、）点点4 处系i t修。这时点/称%/（x）的间断直。3、怎洋利新/*）在4 处接读？用途瘦克要圣件未判断小）1。也遗族0 等 小）=，噜 小）=小。）例为，&/（X）=一 点 x=0 处是否直裱7x x 0l i m f（x）=l i m（x-l）=-l解:x-（r XT（Tl i m f（x）=l i m x2=0 l i m /（x）x-0+x-0+A-0-W（x）不存在，/（x）左 x=O处系逢孩。4.4,力要辖企，初等匹熬点其5 t义域由途发。5,5、直僚曲熬f（x）求极限，嘴。下错累：l i m/(x)=f(l i m x)x-xo X-XQ自恻敢Jx x#2迄界数1、考 U x2

10、,则 t，A,2 B,4 C,1 D,系志在2,当x-+时，下列变量中（）素是无穷小量.1 s i n x xx s m-A、x B、x C、x -x D、e3,不列晶剧中，在x =O 处同断嗡（）s i n x/二：2 xA、1 2x/0 x =0B、/(x)=x 0C,/W=l n(l +x)0T WxWO D、fx +1 x0 x 0二、二、嫉空数kl i m x s i n-=X TOX2.l i m(l-)vXT8 Xf(x)=2“+ls i n xA-x03,三、三、奸算敢x 00(1-2 x)5(X +3)9 4、4(1 2-x)1 43、lim2-V 7 7 3X fl x-1

11、5,l i mx-0V x+1-1s i n x6.s i n xl i m-i o l n(l +x)7,l i m(l 一x-0X-2-y28、l i m(Z)2,X f8 x+11,B、*-、1.0三、三、2、A碗或散一4+算机3、D3,31,22,03,-84,5,6.18.e2827,W经济数学基础辅导第一编第 二 章 一无函数微分学(续)六、1、f(X)与 f(Xo)的联系和区别(X)是导函数,是变量f(X。)是 f(X)在点X。处的导数值，即 f(X。)是 f(X)在 X。处的函数值，是常量.2、如何判断f(X)在点(Xo)处可导？用函数可导的充要条件即：f(X)在点(Xo逸可导

12、 f(X。)=(0)=/(x0),来判断f(X)在点(X o)处是否可导。3、本教材用导数定义推导出来的十条基本公式。(C)=0(C 为常数)(X，)=a x i(a 为任意实数)(ax)=a l n a(a 为常数，a 0 a#l)(ex =ex(l oga)=-一(a 为常数，a 0 a W l)xlna(in x)=x(sin x)=c osx (c osx)=-sin x,1 ,1(t a n x)=-(c ot x)=-c os x sin-x1 0条导数基本公式是微分、积分、求解微分议程的基础，同学们必须多做练习，熟练使用。4、微分与导数关系导数又名微商，即 y =电dx故有 d

13、y=y d x上式表明，求微分，只要求出导数y 再乘上d x 即可七、求导常用方法(一)用四则运算法则求导1、四则运算法则设 u=u(x),v=v(x)C 为常数有(c u)=c u (u u)=u u(u v)=uz v+u v 2、求下列函数的导数例：2 r+3(1)y=心、b 常数)a+b心 /2 3、，/2/3、,2 八 2解:y=(-x+-)=(-X)+(-)=-+0=-a+b a+b a+b a+b a+b a+b(2)y =-=-x +x1 2-3,+Iog9 x +c osx1 -1=x 2-1 +2 x-3A l n 3 +-sin x2 x l n 2,-.1解：y=(x

14、2)-1 +2 x-3A l n 3 +-sin xx l n 2(二)用复合函数求导法复合函数求导法，是本章重点，同学们应熟练掌握1、复合函数求导法则：设 y=f(u),u=p(x),且 f(x)和 p(x)在 X 处可导，则y=f p(x)=f(u)pz(x)或 y，x=y u u，x这法则表示复合函数fp(x)的导数是y 对中间变量u求导乘以中国变量U 对自变量x 的导数。这法则通常称为链式法则。这法则可推广到有限个中间变量的情况。如 y=-f(u),u=p(u),u=x(x)贝 ijYx=Yn Uv Vx2、求 导(或 微 分)例：(1)Y=(l+2x)8解：令 Y=IJ8,U=1+2

15、XY=Yu Ux=(U8)(1+2X)=8U72=16U7=16(1+2X)7(2)y=lncosx解：令 y=lnu U=COSxy=Yu Ux=(lgu)z(cosx)1 z、sin x=-(-sinx)=-=-tan xu cos x注意：用复合函数求导法，复合函数分解为简单函数求导后，需用代入法消去所有中间变量，把导数表示为X 的复合函数。熟悉了复合函数求导法后，司以不用写出中间变量，直接由外及里，逐层求导，即可(3)Y=log2(3X)13X解：y=-(3 1)=-=一3x-In 2 3x-In 2 x In 2(4)Y=sin2 x解：y=cos2x (2X)Z=2xln2 cos

16、2x又例如：(5)已知 y=71+sineA,求 dyo解:y-(1 +sin e )2ll+sin e”=-(1 +sin e *)2j l +sin e，=-0+c osx (ex)2,1 +sin e，ex-c ose”2川+sin e，ex c oseAay=-,7 ax2j l +sin e 6、已知 y=xex+l n(x +x2+e2)求 f (0)解:y=(x ev)+l n(x +y/x2+e2)=+xcx H-.=(x +d x2+e-)x +V x2+e2x+J 厂+e 2 J+e1G+e?=ex+xex+/(0)=y Lo=e+O-e+1 1 +-V 02+e2 e(三

17、)隐函数求导法1、求法：设y=f(x)是由方程F (x,y)=0确定的隐函数，求导方法是:(1)把y看成x的函数，在方程两边对x求导：(2)用复合函数求导法(3)解出y 的表达式2、例题(1)函数y=f(x)是由方程e x y=y所确定的，求y 解：方程两分对X求导ex y(x y);=y,ex y(y+x y,)=y y ex y+x ex y y y =0(x e-l)y =-y ex y,=_ y*=-xex y-l 1 3(2)求由方程x?+x y+y2=4 确定的曲线y=y(x)在(2,-2)点处切线方程，分析：本题需求出隐函数的导数及导数在点(2,-2)处的数值，进而由导数的几何意

18、义及点斜式求得切线方程。解：方程两边对X求导：2x+y+x y +2y y =0(x+2y)y/=-(2x+y)2x 4-yy=-x+2y.2x +yy L=2=-1=2=Iy=-2 X +2y y=-2所求切线方程为：y+2=l(x-2)即 x-y-4=0八、高数导数定义：y=f(x)的 n-1 阶导数的导数称为n阶导数。即 严 工 以上是n阶导数定义。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数利用导数的基本公式和运算法则，对函数一次一次求导，可得高阶导数,例如：求 y=l n(l+x)的二阶导数解：1 1y=TT7(1+x)=TTIy1.1-(1 +X)=-(1 +X)2(1 +X)2自测题求下列

19、函数的导数(或微分)1、y =(V x +2)(=1)y JX2、y=e 3、y=l n2(3 x +7)4、y =l og2(x +x2)5、y =3A+x3+32-l n(l-2x)6、设函数y=f（x）由方程/+/2=。2（a为常数）所确定，求d y.7、求曲线y =!在 点（0,1）处的切线方程。2+x8、已知 y =/lnx,求 y”及 y x=e答案：x +41 -=2xy/x2出61 n(3x +7)3、-3x+7n2yla2+x25、3 1 n 3 +3/+l-2x6、-dxy7 x+4y-4=08、2 1 n x+3及 严g=y (e)=5经济数学基础辅导4第 一 编 第 三

20、 章 导 数 应 用本章主要是介绍利用导数研究函数的一些特性，如极值、最值和对经济问题进行边际分析、弹性分析等内容:一、如何确定函数的单调区间？1、定理：设y=f(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内可导，若X(a,b),有(1)f (X)0,f(X)在 a,b 上单调增加；(2)f (X)0,f(X)在 a,b 上单调减少；此定理中的区间，称为单调区间。2、确定函数y=f(x)单调区间步骤：(1)确定Y=f(x)的定义域D；(2)求 Y ；(3)令Y =0,求出根；(4)用Y=0的根，划分D为几个小区间，列出表格判别；(5)结论。例如：确定函数/。)=2/一92+1 2-3的单调区间。解：

21、f(X)的定义域：(-8,+8)/(x)=6x2-1 8x+1 2=6(x2-3x+2)=6(X T)(X-2)令一(x)=o 即 6(X-l)(X-2)=0得 X i=l,X 2=2列表X (q,1)1 (1,2)2(2,+8)Y +-+注意：确 定Y 的符号时，可取小区间中任意一个确定数，如:0,1.5,3,代 入f (X)式中定出y 的正、负号，再用符号“/”、分别表示，曲线上升或下降。故f(x)单 调 增 加 区 间 为(,+8),单调减少区间为 1,2二、函数极值和最值：函数极大值与极小值统称为极值。取到极大值或极小值的点统称为极值点。1、极值的必要条件：f(x)在 点X o处可导，

22、点X o是f(X)的极值点，则f (X o)=02、驻点：使f (X)=0的点，称 为f(X)的驻点(或稳定点)。注意：(1)点X o是f(x)的极值点(或稳定点),f(x)在X o处可导，则点X o必定是驻点；(2)驻点不一定是极值点；(3)在导数不存在的点处，可能有极值。3、极值存在充分条件：设f(x)在点X 0的邻域连续且可导(f (X o)可以不存在)，当X从X。的左侧到右侧取值时，f (X)符号:从+变-，X o为极大值点，f(X o)为极大值;从-变+,X o为极小值点,f(X o)为极小值;不变号，X o不是极值点，f(X)在X 0处无极值。用以上定理，可判别X o是不是f(X)

23、的极值点。下面举例说明如何求函数的极值和极值点o2例如：求函数/(x)=3 x x的极值。解：f(X)的 定 义 域(-8,+OO)/(x)=2x-13 _ 1=2 _1=2-卷又 G令f (X)=O 则有2-表=0得驻点X=8X=0使f (X)无意义，X=0是f (X)不可导的点。列表X(-8,0)0(0,8)8(8,+8y不存在y 0+04极小值极大值故x=o是极小值点，极小值f(0)=0 x=8是极大值点，极大值f(8)=44、函数的最值:函数最大值和最小值统称为函数的最值。对整个函数定义域而言，极值是局部概念，函数最值是整体概念。求应用问题的最值，常用以下的结论：f(x)在 a,b 上

24、 连 续,在(a,b)内可导，且X o是f(x)在(a,b)内唯一驻 点，那 么 当X o是f(x)极大值点(或极小值点)时一，X o一 定 是f(x)在 a,b 上 的 最 大 值 点(或 最 小 值 点)，f(x。)是 函 数f(x)的最值。例 如：生产某产品的总成本函数C (X)=40 0 +1 0 x +x2 2求使平均成本最低的产量及最低平均成本。“、c(x)40 0 1 n解：平 均 成 本4幻=丁 =：+1 +,、40 0 ,X2-400A (x)=一-+1 =；X X令 A (X)=0,贝I J有40 0=0得 X l=20X2=20(舍去)当X 2 0时,A (X)2 0时,

25、A (X)0X=2 0是极小值点，在(0,+8)内驻点唯一，X=2 0也是最小值点。故 当 产 量X=2 0时-，平均成本最低，最低平均成本为A (2 0)=.+1 0 +2 0 =5 0三、导数在经济分析中的应用1、需 求(价 格)弹 性设某商品的市场需求量为q,价格为P,需求函数q=q(P)可导,则称为该商品需求价格弹性，简称需求弹性。其经济意义是：当某种商品的价格下降(或上升)1%时，某需求量将增加(或减少)IEpl%o例如：某种商品的需求量q(单位：百件)与价格P(单位：千元)的关系为：q(p)=15e3 p 0,10求当价格为9 千元时的需求弹性。1 -2 xl5e 3解：/?=/?

26、=P-=-?q 15/3 3当P=9时，9 1E g=-=-9 3 32、三个边际函数(1)边际成本：边际成本是总成本函数C(q)关于产量q 的导数，记为M C,则有MC=C(q)o经济意义：当产量为P 时，再生产一个单位产品所增加的成本。即边际成本是第q+1个产品的成本。(2)边际收入：边际收入是总收入函数R (q)对销售量q 的导数，记为M R。经济意义：当销售量q时，再销售一个商品所增加的收入。(3)边际利润：利润函数L=L (q)对销售量q的导数，称为边际利润，记为M L。由于利润函数 L(q)=R(q)-C(q),则有(q)=R (q)-c (q)例如：已知总成本函数为C (q)=2

27、 0 0 0+4 5 0 q+0.0 2 q2销售单价为4 9 0,求1)C (q)2)L(q)及 L (q)解:1)(q)4 5 0+0,0 4 q2)总收入函数R (q)=p q=4 9 0 q利润函数：L(q)=R (q)-C(q)=4 9 0 q-(2 0 0 0+4 5 0 q+0.0 2 q2)=-0.0 2 q2+4 0 q-2 0 0 0边际利润函数为：L (q)=-0.0 4 q+4 0自测题：一、选择题：1 函数 y=x?-4 x+5 在区间(0,+8)内 A、单调增加B、先单调增加后单调减少C、先单调减少后单调增加2、下列结论中正确的是(A、函数的驻点一定是极值点C、函数

28、的极值点处导数必为0驻点3、设需求函数q=100e2_ p_A、-50e”_ C、2D、单调减少)oB、函数的极值点一定是驻点D、函数的导数为0的点一定是，则需求弹性EP=()_ B、lOOpe 2D、2二、填空题1、f(x)在(a,b)内 有 f(X)=O,则 f(X)=o2、函数f(x)=x 2-l的单调下降区间是。23、已知需求函数q(p)=10-3p3,则需求弹性EP=三、计算题1、确定函数)=%3 _/一3x+l的单调区间。Q2.求函数 f(x)=-X4+-j X32x2+2 的极值。3.某产品固定成本为18(万元)，可变成本2x 2+5X(万元)，其中X为产量(百台)，求使平均成本

29、最低的产量。4.某产品的需求量q=250-2P(P为价格)，价格为多少时，可使收入最大？5、已知某商品的需求量q=1200-100p(件)，其中P是价格(元/件)，求使收入最大的销售量和相应的最大收入。6、某厂生产X 个产品的成本为C（X）=2X+100（元）得到收益为R（X）=8X0.01x2（元），问生产多少个产品时才能利润最大?最大利润是多少？答案：一、选择题：1、C 2、D 3、C二、填空题：1、C（常数）2、（0,+8）23、.2P32三、计算题：1、f（x）单调增加区间（-8,-1,3,+8）单调减少区间为 T,32、X=0是极大值点，极大值f（0）=23、3（百台）4、62.55

30、、q=600（件），最大收入 R（600）=3600（元）6、q=300（个），最大利润 L（300）=800（元）经济数学基础辅导5叶挺峰第 二 编 一 元 函 数 积 分 学第 四 章 一 元 函 数 积 分 学一、不定积分1、什么是原函数？设 f(x)是定义在区间D 上的函数，若存在F(x),对任何xD,均有 F(x)=f(x)(或 dF(x)=f(x)dx)则称F(x)为f(x)在 D 上原函数(简称f(x)的原函数)。注意：函数f(x)的原函数不唯一，有无穷多个。f(x)的任意两个原函数只差一个常数。例如：F(X)是 f(x)的一个原函数，C 为常数，有F(x)+C=FZ(x)=f(

31、x)o2、不定积分定义：对于某区间D 上的函数f(x)为可积函数，若存在原函数，则称 f(x)为可积函数，并将f(x)的全体原函数记为/f(x)dx,并称它为函数f(x)的不定积分。若 F(x)是 f(x)的一个原函数，C 为任意常数，由于f(x)的全体原函数可表示为F(x)+C,则有f f(x)dx=F(x)+C其中C 称为积分常数。3、为什么求积与求导互为逆运算?在 f f(x)dx=F(x)+C中，两边对x 求导，则有/f(x)dx=F(x)+C=F(x)=f(x)又因 f Fz(x)dx=f f(x)dx=F(x)+C上式表明：对 F(x)先导后积，结果是F(x)加上一个常数。可见：求

32、积与求导(或求微分)互为逆运算。4、基本积分公式：求积与求导互为逆运算，因此，有一个导数公式就有一个对应的积分公式，同学们应熟记以下九个积分公式。p p xJ odx=c J xndx=+C(nW l)f dx r axJ =In x+c J a dx=;+cx Inaf exdx=ex+c f sinxdx=-cosx+cC f dxJ cosdx=sinx+c J 也.=cotx+cdxCOS X=tanx+c二、基本积分方法:(一)不定积分常用性质1、代数和分开积f f(x)g(x)dx=f f(x)dx f g(x)dx2、常数因子提出来f k f（x）dx =k /f（x）dx （k

33、 W O 常数）（二）积分基本方法：1、直接积分法这是用不定积分运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。例 1：求下列不定积分(1)f(3 x1 2-342 x+l)d x1 2X2xd x=l n l x l+r 7+c2 m2(3)f ex(l+e-x)d x解：原式=f exd x+f d x=ex+x+c(4)f t a n2x d x解：原式=3 f x2d x 2 f x d x+f d xv3 2_ X X.3 2=3 2 j+x+c=x -x +x+c(2)J 点+2x)d x解:原式=:f J d x+f乙 A.解：原式=/崇d x =91-c o y xc o s

34、xd x-dx c o s xf dx=t a n x-x+c2、凑微分法（又名第一换元法）这是计算不定积分重要方法，又是本章重点，应多做练习，熟练掌握。凑微分法又名第一换元法。这方法实质上是把被积表达式凑成微分形式，再用基本公式求积。即f u(x)u (x)d x =f u(x)d u(x)u(x)=u,有 f(u)d u =F (u)d u =d F(u)故 f d F(u)=F(u)+c=F u(x)+c u=u(x)注意：使用这方法求积，凑微分时需换元即选取新积分变量；在结果中要回代，消去中间变量。例如：求f e2 xd x解：令 2 x =u,(以 便 用/e X d x 公式)d

35、u =(2 x)d x =2 d x d x =；d u原 式=Jeudu=Jeud u =；e u+c=e 2 x+c例1、求下列不定积分，d x解：令 2 x-l=u (以便用f 7 d x 公式)A.d u =(2 x-l)d x=2 d xd x =gd u原 式=J J 2d u=2 u d u1s in 一(2)f d x解：令:=U d u =p d x原式=j s in，,(-4 )d=j s in u d u=c o s u +c =c o s 1+XX Xc熟悉了凑微分法求积分，可以省略换元、回代，但要熟记下列常用的凑微分公式，公式是：(l)a d x =d(a x+b)(

36、a W O 常数，b 常数)1 2(2)x d x =/d x (3)c o s x d x=d(s in x)(4)s in x d x =d(c o s x)(5)-d x=2 d(/x )(6)廿 d x=-d()(7)+d x=d(l n x)(8)exd x=d(ex)例3：求下列不积分(1)f s in 2 x d x,1 r 1解：原式=”J s in 2 x d(2 x)=c o s 2 x+c(2)f t a n x d x&力 C s in x ,r d c o s x ,角 车：原式=J -d x =-J-=I n c o s x +cc o s x c o s x(3)

37、/野 d x解：原式=/n x d ln x=f ln2x+cr Fex dx解：原式=/=lnll+exl+c1 I w3、分部积分法这是求不定积分另一种重要方法，是本章重点之一。在被积表达式中，出现函数之积，需要分部积分法求积。(1)分部积分公式：设u=u(x),V =v(x)都是连续可微函数，则f udv=uv f vdu(2)u、dv选择的原则在被积表达式中，对出现下列情况时，u、dv选择的原则是：xkeaxdx1 xk sinax dx 选11=*卜，其他为 dvxkcosax dx2 _feaxsinbxdxeaxcosbxdx 选11=/淇他为 dv3 xklnmxdx 选 u=

38、lnm x,其他为 dv。(3)分部积分时，d v中函数v如何找？1 用凑微分得到2 一时无法凑微分，可用不定积分/d v=v +c 求得一个原函数v,把 v放 在 d之后，不必把积分常数 c 也放入d之后，因为d(v+c)=d v。例 4：求下列不定积分：(1)f x2exd x解：原式=f x2d ex=x2ex f exd x2=x2ex2 f x exd x=x2ex2 f x d ex=x2ex2 x ex f exd x=x2ex2 x ex+2 ex+c =(x22 x+2)ex+c从上例可见，分部积分公式可反复使用。(2)f exc o s d x解：原式=J exd s in

39、 x=exs in x-f s in x d ex=exs in x-f exs in x d x=exs in x+f exd c o s x =exs in x+exc o s x-f c o s x d ex=exs in x+exc o s x f exc o s x d x+2 c贝 I 2 f exc o s x d x =(s in x+c o s x)ex+2 c原式=4 (s in x+c o s x)ex+c f 2 x l n x d x解：原式=f l n x d x2=x2l n x f x2d l n x =x2l n x f d x =x2l n x Xf x d

40、 x=x2l n x x2+c自测题：一、选择题:1、若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f f(3x+2)dx=()B、F(x)+cD F(x)+cA、F(3x+2)+cC、；F(3x+2)+c2、若/f(x)dx=cos3x+c,A、3sin3xC、3sin3x3、下列等式成立的有(A、yl dx=d也C、sinxdx=d(cosx)4、下列等式正确的是(A、g x2dx=d(x3)C、sinxdx=d(cosx)5、d(/a3xdx)=()A、a3xdxC、a3x则 f(x)=()B、3cos3xD、3cos3x)B、f d x=-d(J)D、axdx=lnadax)B、dx=d(

41、lnlxl)2XD、dx=d(2)B、a3x(-31na)dxD、a3x+c6、若f(x)是可导函数，则下列等式中不正确的是()A、f f(x)dxj =f(x)B、f (x)dx=f(x)+cC d f f(x)dx=f(x)dx D、f df(x)=f(x)二、填空题：1、若函数f(x)的一个原函数F(x)=x1则f，(x)=o(4)f 2xln(x+l)dx2、f sin2xcosxdx=03、若 f f(x)dx=x2+c,则 f xf(l x2)dx=_0、计算题：1、求下列不定积分(1)f (x)dxA(2)J(+sinx)dxX(3)f ex(3+2x)dx2、求下列不定积分(1

42、)f ex(l+ex)4dx(2)dxf sin(l-2x)dx(4)f cosxesinxdxC CO S 侦 JJ cos r dxA/x3、求不定积分(1)f xexdxfxlnxdx(3)f xsinxdx(4)fexsinxdx答案：一、选择题:1、C 2、A3、B4、B5、A6、B二、填空题：1、6x 2、W sin3x+c 3 一2 (1x2)2+c三、计算题：1、4 +Cc、2 x(2 e)x3 e+由+c2、(1)|(l+ex)5+c;c o s(l 2 x)+c(5)2 s in M T +c3、(l)x ex-ex+c(2)x-I n l x l c o s x +c (

43、I ，)2+c(4)es in x+c(2)g x2l n x+c(3)x c o s x +s in x +c(4)2 ex(s in x c o s x)+c(5)x2l n(x+l)+x l n l x+l l+c经济数学基础辅导6第二编第四章 一元函数积分学(续)三.定积分(一)定积分定义：设f(x)在 a,b 上连续，f(x)是一个原函数，数值F(b)-F(a)称为f(x)在 a,b 上的定积分(或称为f(x)从a到b的定积分)记为/b f(x)d x 即/f(x)d x=F(b)-F(a)简记为 f(x)|:a a 1 bbc1.f f(x)d x与J f(x)d x有什么关系？a

44、两者都与原函数F(x)有关f f(x)dx是全体原函数，是一个函数；Zbf(x)d x是一个数，它与原函数及积分上，下限有关，与积分a变量选用什么字母无关。即f b f (x)dx=f，(t)dt=f (u)dua a ab b2 .“N-L”公式/f(x)dx=F(x)|=F(b)-F(a)a a这公式是积分学基本公式，它说明求定积分是通过不定积分求出原函数，再代入上、下限求出数值。这公式称为“牛顿莱布尼兹”公式，简 写 为“N-L”公式。使用这公式，要注意f(x)在a,b 上不连续，不能用。3 .变上限定积分若x a,b ,/Xf (x)dt称为变上限定积分，它 是f(x)的一个a原函数。

45、V若有 U f(x)dt/=f(x)I t =x =f (x)a4 .规定：f (x)dt=-f 1(x)dx f(x)dx=Oa a a例如：求变上限积分f Xs int dt的导数。ox解：f s in t dt =s in t|t=x=s in x又如：设f(x)为连续函数，求Jf(t)dt的导数。X解F 7 f (t)dt =-/Xf (t)dt =-f (t)|t =x =-f (x)dx x dx o(-)定积分性质设f(x),g(x)在a,b 上连续，则1 .代数和分开积 f%(x)g(x)dx=/,(x)dx f b g(x)dxa a a2 .常数因子提出来JbKf(x)dx

46、=k Jbf(x)dx(k常数)a ab c b3.区间可加性：f f (x)dx=f f(x)dx+f f (x)dx (a c b)a a c(三)定积分求法：与不定积分求法相似，也有以下三种求法。1 .直接积分法JI例1求定积分j 2 cosxdx0JI入 I I-JI解：原式=sinx|2=sin-sinO=l0 一2.换元积分法：方法与不定积分类似，但要注意换元要换限。例2求定积分f 2e o,则等式()成立。A./a f (x)dx=2 f af (x)dx B.J a f (x)dx=2 f 0 f(x)dx-a o-a -aC./a f (x)dx=f 3f (x)dx D./

47、*f (x)dx=O-a o-a2 .设f(x)为连续函数，贝 dt =()dx xA.f (x)B.-f (x)C.f (x)dx D.-f (x)dx3 .若/e dx=J,则 a=()-oo 21A.1 B -C.2 D.-l乙4.当()时 一，无穷积分f ea xdx 收敛。ooA.K 0 B.K 0 C.KN O D.KW O5.下列无穷积分中，()是收敛的。4-oo J+oo 1 4-oo A.f,-dx B.f,p dx C.f,-y=dxl x 1 x 1 y/xdx二、填空题：1.(x s inx+5)dx=r+l nxD-;I Vdx =_,三、计算瓦1 .求下列定积分2、

48、f X,H x(4),oE、(7)f jx t nx dx2.求下列无穷积分(1)f+dx答案一、选择题：1.D5.B二、填空题：1.1 0三、计算题：/、3%W(8)l n2-19 Y(2)f 0 dxU 1+x(5)/l，e*(l+e,)dx(8)f QXID(X2+1)dx2.B2.0(2)jl n5 (6)1-e2 f (l-x),dx(6)f:x e*dx+oo(2)f e-2 xdx3.C 4.B 内 (2e3+l)J2.(1)|12经济数学基础辅导10第四编矩阵代数 第九章矩阵一、m x n 矩阵由 m x n 个数 a”(i =l,2,.m,j=l,2,.n)排成一个 m行 n

49、 列的矩阵数表 aH a12al n3 21 a 22.a2na m i Hm 2*3，m n称为m x n 矩阵，其中此是矩阵第i 行第j 列交叉处的元素。矩阵常用大写字母A、B、C 表示。有时为标明一个矩阵的行数和列数，用 A m x n 或(a Q m x n 表示一个m行 n 列的矩阵。当m=n 时，A是 n x n 矩阵，称为n 阶方阵，简记A n。二、矩阵的运算1.矩阵加法设 人=(aij)mxn,(bQ 则 A+B=(a“+bQ mxn由 此 可 得 A-B=A+(-B)2.数乘矩阵若A=(aij)m x n,人是任意数，贝 lj 入 A=(入aQ mxn厂 入 a”入 a,i2

50、*Aiiin入 am i 入 3-m 2*例 1已知3-2 5 J)r -B =4-3,L 8 J 2求矩阵方程A+2X=B解：2X=B-A1 ,、X=-(B-A)乙12 I3 f5 0JA2!C 4-3-3+28-5 2-0 J312 am2 如：A=12 3 1 414 6,则A 7=2 5S m l 3,m n I -3 6(2)运算法则(AT)=A(A+B)T=A T+B T(KA)T=K A，(K 常数)(AB)T=B TA T三、特殊矩阵：特殊矩阵都是方阵，常见的有以下五种：1、单位矩阵：主对角线上元素都是1,其余元素全是零的n 阶方阵，称为n阶单位矩阵记为I 为 In即 In=1