湖北省云学新高考联盟学校2022-2023学年高二年级上册学期9月考试数学试题含答案.pdf

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1、2022年湖北云学新高考联盟学校高二年级9月联考数学试卷考 试 时 间：2 0 2 2年9月1 5日 下 午1 4：3 0 -1 6:3 0 满 分：1 0 0分一、单 选 题（本大题共8小题，共4 0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.2.如图，在复平面内，复数Z1，Z2对应的向量分别是万?，OB，则复数f1对应的点位于（z2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限已知样本9,1 0,1 1,m,n的平均数是9,方差是2,则nr n+m +n=（）A.4 1 B.7 1 C.5 5 D.4 53.如图，平行四边形O 4 B，C 是水平放置的一个平面图形的直观图，其

2、中。4 =5,OC=2/.AOC=3 0,则原图形的面积是（）A.4 B.1 O V 2 C.4 V 2 D.5 V 24 .已知向量五，b，/E边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底 瓦可表 示 七 则（）A.c =-2 a +3b B.c =2 a -3bC.c =-3 a +2b D.c =3 a -2b5 .有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1 ，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7，则（）A.甲与丁相互独立

3、 B.甲与丙相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立6.已知向量彼=（s in仇一 2）,方=（l,c os。），且方1了，则s in2 8 +c os 2。的值为（）A.1 B.2 C.|D.37 .已知函数-x）是定义在R上的增函数，且函数y =/（x-3）的图象关于点（3,0）对称.若不等式机 炉+2m）+f（4 x）sinB-cosAsinC,ShABC-6,P为线段4 8上的动点，且 而=x 高 +y 瑞，贝6的最小值为()二、多 选 题（本大题共4小题，共2 0分.在每小题有多项符合题目要求,漏选得2分，错选或多选不得分）9.2 0 2 2新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业

4、造成了很大影响，为了解4、B两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了 2 0 2 2年2月到7月4 B两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图，下列说法正确是的ooooooO765432-营业额(万元)123456 7月份-A店-B店A.4店营业额的极差比B店营业额的极差小C.4店2月到7月营业额的7 5好分位数是4 51 0.下列说法正确的有（）A.x 0 且 丫 0 0?+22C.函数丫 =K 2一3%-4的零点是（4,0）,（-1,0）B.B店2月到7月每月增加的营业额越来越多D.B店2月到7月的营业额的平均值为2 9B.不 等 式 x 21 1 .已知正方体A B CD A

5、B i Ci D i的棱长为1,点E、0分别是&B i、4 1 c l的中点，P满 足 而=：屈+而+1标,则下列说法正确的是（）A.点4到直线B E的距离是延 B.点。到平面A B C1小 的距离为它54C.平面&B D与平面B 1 CD 1间的距离为度 D.点P到直线A B的距离为登3 361 2 .已知4 4 8 C中，AB=1,AC=4,BC=V1 3。在B C上，4。为NB 4 C的角平分线，E为4 C中点.下列结论正确的是（）A.BE=V3 B.4D=W C.4 A B C的面积为后D.P在4 4 B E的外接圆上，则P B +2 P E的最大值为2位三、填 空 题（本大题共4小题

6、，共2 0分）1 3.若命题“存在x a 是假命题，则实数a的取值范围是数 学 试 卷 第2页，共4页1 4 .已知。为锐角，c os（。+1 5 ）=|,则 c os （2。-1 5 ）=.1 5 .已知圆锥的底面半径为旧，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为.1 6 .在棱长为2的正方体中，Q 是棱B B 1 的中点，点P 在侧面B CCi B i（包含边界）上.（1）若点P 与点Q 重合，则点P 到平面4 CC1 的 距 离 是；（2）若4P 1 D Q,则线段CP 长 度 的 取 值 范 围 是.四、解 答 题（本大题共6 小题，共7 0分.

7、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1 7 .（本小题1 0分）已知平行六面体4BCD中，各条棱长均为n,底面是正方形，且乙4 0=乙4 遇8 =1 2 0,设4 8 =方，AD=b/3bsinA-a.求角8；(2)若a+c =4,求4 8 C 外接圆半径R 的最小值，并求出此时 A B C 的面积.2 0.（本小题1 2分）在四棱锥P-4 B C。中，底面A B C D为直角梯形，PA=PD,BC/AD,DC LDA,BC=CD=1,AD=2,E,F 分别为 4 D,P C 的中点，PE LCD.(1)证明：PE 1 BD;(2)若P C 与4 B 所成角为4 5。，求二面角F -B E

8、-C 的余弦值.21 .(本小题1 2分)为改善小区环境，拟对小区内一块扇形空地A O B 进行改建.如图所示，平行四边形O M P N 区域为人工湖，其余部分建成绿地，点P 在围墙4 B 弧上，点M和点N 分别在道路0 4 和道路O B 上,且。4 =6 0 米，乙4 O B =6 0 ,设“。B =9.。)求人工湖面积S 关于。的函数关系式，并指出0 的取值范围;(2)当。为何值时，人工湖面积S 最大，并求出最大值.22.(本小题 1 2 分)已知函数/(x)=ax?-4 x +2,函数g(x)=(3).(1)若函数f(x)有唯一零点，求a；(2)若a i|=V3n-5 分（2）AtJ=+

9、AS=+b，则 怒,S =（w +丁）.（7 +W-W）=/.7 +力?-/2+72+胃,？_/,了=渡,/-/+72 4-s=n2coel20-n2+n2+n2coe 120=-n2-7 分又|前 1=6 2 A d=vn-8 分二 立 前 时）=辱 雪 /|砌_-n2 _ _区x 3n 6数学答案第1 页所以异面直线A C与石力1所成的角的余弦值是Y G.-1 0 分61 8.解：(1)a=1 0 0-1 0-2 0-3 0-5=3 5,b=l-0.1-0.2-0.3 5-0.0 5=0.3 0,-2 分频率分布直方图如下：频率(2)该组数据众数的估计值为7.5 0 ：-5分由题图可知，中

10、位数应在1 0至1 5之间，设中位数为X,则0.0 5 +0.3 5 +(x-1 0)x 0.0 6=0.5,解得x=1 1.67，故中位数的估计值为1 1.67；-8 分(3)易得从第3、4、5 组抽取的人数分别为3、2、1,-9 分设第3 组的三人为A、B、C,第 4组的两人为D、E,第 5 组 的 1 人为F,则从该 6 人中选拔 2 人的基本事件有 AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、D E、D F、E F 共1 5 种，其中来自不同的组别的基本事件有AD、AE、AF、BD、BE、BF、CD、CE、CF、D F、E F 共 1 1 种，所以这2人来自

11、不同组别的概率为点.-1 2 分1 9.解：(1)由正弦定理得g inB7=*c o e 壬B +1，e inA数学答案第2 页V ein，geinB-coeB=1，富 1即 的（H-）=3，o 幺3 分jr 讨 0 JB k，一五 V B No o D 声河.育一丙6 分（2）V62=02+c2-2aecoeB=（G +e）2-3ac=16-3o c.即3:=16 力，16炉43(色 )=1 2,解得8 3 2,当且仅当a=，=2时取等号，一一9 分.6=2,2 R=，=冬 兔/-1 1 分einB 3 3ABC外接圆半径R最 小 值 为 也，此时的面积S=：8而=一1 2 分3 22 0.

12、(1)证明：因为P A=P D,E为 AD 的中点，所以P E _L AD又 P E _L CD,且 AD CCD=D.所以P E _L 平面ABCD,又因为B D U 面 ABCD所以P E _L BD;-4分易证 BE J _AE,则 AE BC,AE=BC,所以四边形ABCE 是平行四边形,则ABE C,所以/P CE=第。，则 P E=E C=6,6 分以 E为原点，以 E A为 x 轴,E B为 y 轴，以 E P 为 z 轴,建立空间直角坐标系:数学答案第3 页则 B(0,1,O),C(-1,1,0),E(0,0,0),F(-l)1,苧),所 以 同=(o,1,0)，9=(-：，苧

13、)，设平面F BE 的一个法向量为耐=(x,y,z),则(雪刑=。,即 +审+=-名=0令 z=l,则而=(6,0,1),-8 分平面ABE 的一个法向量为H 二(0,0,1)则E 008一耐 一 刑,时=洋-H 分八所以二面角F-BE-C的 余 弦 值 迪.-1 2 分3注：第二问用几何方法亦可.2 1.解：(I )在aO P N 中，Z O N P=1 2 0 ，Z 0 P N=60 -9,0 P=60,ON OP由正弦定理得.妾二=.芸”=$%nZ.OPN mnZ-ONPQN=60=PJVin(60-6)8Ml20 inff P N m nP O N 所以 0 N =4Ov3 皿60_8

14、),P N =4 0/g iiie，-4 分所以人工湖面积S=O N x P N 疯/。耳=2 4 0 0 4 血&血(6 0 0-。)，其中0 0 60 .-6 分(I I)由(I)得8=2 4 0 0 8 皿夕皿(6 0 -夕)=2 4 0 0 曲。(等 0 夕一；如&)-3600Hinecoe e 1200 痴 给=1800血 第 +6 0 0 8 coe 阴-60073，=1 2 0 0 4 血 区 +30)-600洛-9 分因为 0 0 60 ,所以 3 0 2 0 +3 0 1 5 0 ,所以咨+30=90,$0=1 2 0 0 通 x 1-6 0 0 通=600 平方米-1 1

15、分故当。=3 0。时，人工湖最大面积为6 0 0 4 1/-1 2 分2 2.解：(1)当a=0 时，函数f(x)有唯一零点：，-1 分当 a/Of f 寸，由A=16 =0,a=2,函数有唯一零点1,综上：a=0 或 2 -2分数学答案第4 页依题意得/g2 X 在 1,2 上为增函数,K r(l)=l s(l)=0,r(2)=-3 s(2)=l,所以函数r(x)与 s(x)的图象在区间 1,2 内有唯一的交点.当 a 0 时,r (x)的图象开口向下,对称轴为直线x=-0,a所以r(x)在 1,2 上单调递减，又 s(x)=log2X在 1,2 上为增函数,由题意知,需 吧，吆，得 j 才

16、*、，得T&a 及1,r(2)42)I -3 14分6分数学答案第5页所以-l a 0.9分当 0 a 1 时,r (x)的图象开口向上,对称轴为直线x=232,所以r(x)在 1,2 上单调递减，又 s(x)=1 0 g2 X 在 1,2 上为增函数,由题意知,需 “j a,得 寰3 已得T 3。所以0 a C l.综上,a的取值范围为-1,1 .-1 2 分【解析】1.【分析】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义.通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可.【解答】解：由题意可知Zi=-2 T,z2=i.zi-2-i 一 Z?=

17、I：=I I=1 +2 1，复数”对应的点(-1,2)位于第二象限.z2故选区2.【分析】本题考查了数据的平均数与方差的应用问题，解题时应根据平均数与方差的计算公式进行解答，是基础题.根据平均数与方差的定义，求出m与n 的值，即可得出m n m n 的值.【解答】解：v 9,1 0,1 1,m,n 的平均数是9,(9 +1 0 +1 1 +m+n)=9 X 5,即 m+n =1 5(1)；又 .方差是2,1 (9-9)2+(1 0-9)2+(1 1-9)2+(m-9)2+(n-9)2 =2.数学答案第6 页即(血-9)2 +(n-9)2=5；由联立，解得 鲁：箴 忆?mn+m+n=41.故选：

18、B.3.【分析】本题考查了平面图形的直观图与原图形的面积比为1：2的应用问题，是基础题.求出直观图的面积，再根据原平面图形的面积与直观图的面积比为2：1,计算即可.【解答】解:平行四边形O4BC中，0 4 =5,OC=2,LAOC=30,所以平行四边形。WBC的面积为S=OA-OC-sin30=5 x 2 x)=5,所以原平面图形的面积是S=2也S=2也x 5=10显故选：B.4.【分析】本题考查平面向量基本定理，向量的坐标运算，属基础题.建立如图直角坐标系，则 =(1,1),；=(-2,3),；=(7,-3),设L W+品 联立解方程组，求 出 心 y得出结论.【解答】解：建立如图直角坐标系

19、，则 =(1,1)，；=(-2,3),；=(7,3),m(x-2y=7贝 +3y=-3，得 =3,y=-2,数学答案第7页丁 =3-2一改 c a b,故选5.【分析】本题考查相互独立事件的判断，属于基础题.分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可.【解答】解：由题意可知,两点数和为8的所有可能为:（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,两点数和为7的所有可能为（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,P（甲）=：,P（乙）=：,P（丙）=短=P（丁）=短.,4 P（甲丁）=P（甲）P（丁）,B：P（甲丙）=0。P（甲）

20、P（丙），C：P（乙丙P（乙）P（丙）,D：P（丙丁）=0。P）。（丁），故选：A.6.【分析】本题考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题.由题意可得 =0,即解得tm6=2,再由sE20+cos2e=半吧铲=竺如力，运算求得结果.【解答】5,n z-r/F,-口 .2c 2sinOcosO+cos20 2tan0+1解：由感意可得限 b=sin0-2cos0=0，即tan。=2,Sin29+cos20=-2 2=i-=1.故选：A.7.【分析】本题考查了函数对称性的应用，函数图象变换的应用以及函数奇偶性与单调性的应用，不等式恒成立的求解，属

21、于中档题.先利用图象变换以及奇函数的性质，判断得到f（x）为奇函数，利用奇函数的定义以及函数的单调性去掉4 r 4xUr ,将 问 题 转 化 为 巾 一/三 对 任 意 亘 成 立，从而瓶 （一/R m in，求解最值，即可得到答案.【解答】数学答案第8页解：函数y =f(x-3)的图象关于点(3,0)对称，又函数y =f(x)的图象可由y =f(x-3)的图象向左平移3 个单位长度所得，则f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，则不等式/(m/+2 m)+/(4 x)0,即为/(m x2+2 m)f(4 x)=/(4 x)，因为f(x)是R 上的增函数，则 不 等 式 可 变 形

22、 为+2 m 4 x 对任意 e 1 0 恒成立，即巾 一,+2 对任意X C 1,2 恒成立，故7 7 1 (一 )而“，因为2 亚+即 _ 但 -:，所以m 0,y 0),根据基本不等式 j r C/i U D求最值即可.【解答】解：由题意，设 A B C 的内角A B,C 的对边分别为a,b,c,由 丽 左=9，得b c c o s 4 =9,又S AABC=6,得b c s i n A =1 2,可得 t a i v l =p根据同角三角函数的基本关系得，s i n A =：c o s 4 =：数学答案第9 页 2由sinB=cos?lsinC,根据正弦定理得b=子,d.9又 加=领=

23、15,解得c=5,h=3,所以Q=b2 4-c2-2bccosA=4,因 为.=言+y 湍，CP U U所以T=（.T+?T,CP 6 CA CB又4 B,P三点共线，且P为线段4B上的动点，所以9+*=1,（x 0,y 0）,所以：+：=G+37 x y=石+豆+菽7 l x y 7 事2 运+2旧 获=运+7当且仅当最=为 即y=8点一12/=12-6的时，等号成立，所以1+：的最小值为W+专，故选D.9.【分析】本题考查折线图的应用，涉及平均数、百分位数、极差的计算，注意从图中读取数据，属于中档题.计算出4 B两店营业额的极差，可判断A选项的正误；根据百分位数的定义可判断B选项的正误；根

24、营业额折线图可判断C选项的正误；利用平均数的定义可判断。选项的正误.【解答】解：对于Z选项，由折线图可知，4店营业额的极差为6 4-14=50（万元），B店营业额的极差为63-2=61（万元），4选项正确；对于B选项，B店从4月至15月营业额的增加量为1 9,从5月至此月营业额的增加量为15,B选项错误；对于C选项，4店2月到7月营业额由低到高依次为14、20、26、36、45、64,所以，A店2月到7月营业额的75%分位数是45,C选项正确；对于。选项，B店2月至IJ7月的营业额的平均值为2+8+16+：5+50+63=。选项正确.故选ACD.数学答案第10页1 0 .【分析】本题考查了必要

25、条件、充分条件与充要条件的判断，不等式求解，利用基本不等式求最值，二次函数的零点与一元二次方程解的关系和一元二次不等式的解法，属于中档题.利用不等式求解，结合一元二次不等式的解法，对4 进行判断，利用必要条件、充分条件与充要条件的判断,结合利用基本不等式求最值，对B 进行判断，利用二次函数的零点与一元二次方程解的关系，对C 进行判断,利用基本不等式求最值，对。进行判断，从而得结论.【解答】解：对于4、当x 0 且，0 时，：+孑2 层=2，当且仅当=丁时，等号成立，因此充分性成立.又因为当=-1,、=-2 时，成立，所以必要性不成立，因此4 不正确；对于B、由寡言0 得(2 x-l)(3 x+

26、l)0,所以一|x：即不等式寡言0 的解集是(一技)，因此8正确；对于C、因为方程7 3 x 4 =0 的解为4,1 1所以函数y=3 x 4 的零点是4,1,因此C 不正确：对于。、根据两个函数的单调性可以判断正确.故 选 被1 1 .【分析】本题主要考查利用空间向量求点线、点面、面面距离，意在考查学生的数学运算的学科素养，线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行，属于中档题.建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论.【解答】数学答案第1 1 页解：如图，建立空间直角坐标系,则

27、4(0,0,0),5(1,0,0),)(0,1,0),41(0,0,1),。1(0,11)或0,1)，所以二=(一1 0);=(一)1)BA BE 一 T 设乙4BE=0,则cos 0 口 B A B Esin 8=1 cos2 6=故A到直线BE的距离虑=|以sin 0=1 x =,故/对.易知=C i。Ci平面A B R%的一个法向量0；=(，T，1),|T 一|1则点。到平面4BCi%的距离a?=*匕=*=9，故8对.DALt=(1,0,-1),T=(0,1-1),=(0,1,0)AtB AXD 4。】设平面a B D的法向量为装=(%,y,z)，J T=0I 九(XZ 0则 =0 所以

28、|y z=(P令z=l,得y=l,%=l,所以3=(1,1,1)-数学答案第12页I -所以点小到平面4遇。的距离d3=产=芯=景n因为平面BD 平面8 也。1，所以平面aB D 与平面/C D 间 的 距 离 等 于 点%到 平 面 的 距 离,所 以 平 面 与 平 面 B1C%间 的 距 离 为*,故 C错.T 3T 1-2 T T 3 12因为”=n 8+n 0+京4,所以竹=(不不5)，zii rD zlL z zl/i /ir又；=(1,0,0),则 1=三，人AB，AJ|-|4A B所以点P到谢勺距离d4=I -舒=哥J故错.故选AB.1 2.【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理

29、，三角形面积公式，属于中档题.利用余弦定理计算NB4C=60。，利用余弦定理计算B E,根据面积公式计算三角形ZBC的面积，利用正弦定理计算4D,易得ABE的外接圆的半径为1,P在4BE的外接圆上，显然当PB为该圆的直径时取得最大值.【解答】解：在三角形ABC中，由余弦定理cos/ZMC=甚 鬻 =1,Z.BAC=6 0 ,故S A B c u W x/lB x a C x sin G irM q x lx d x M V 5,故 C错误；在4BE 中，由余弦定理得:BE2=AB2+AE2-2AB-AE-cosBAC=l+4-2 x l x 2 x-|=3.BE=/3,故 4 正确；由余弦定理

30、可知：cosC=2 x4 x 糜=可将 二5讥0=小 走，V AD平分NB4C,A LDAC=30,.,、V T 占 7 1 5A sinz_4C=sin(C+30)=x 3 +x T =福 在三角形4CD中，由正弦定理可得：黑=不 蔡，故 =*4 故 8 正确;sine sinZ./lDc smZ4DC 5AB=1,AE=2,Z.BAE=60,BE=Jl+4-2 X 1 X 2 x/=遥AB 1 BE,为4BE的外接圆的直径，故 4BE的外接圆的半径为1,P在ABE的外接圆上，显然当PB为该圆的直径时取得最大值2,故正确.数学答案第13页故选：ABD.13.【分析】本题考查命题的否定，以及集

31、合的包含关系，体现了等价转化数学思想，属中档题.将条件转化为“对任意x2019,x4a”，从而解出实数a的取值范围.【解答】解：由于命题“存在x a”是假命题，因此其否定命题“对任意x+15)=5利用二倍角公式求出sin(26+30)及cos(20+30)的值,因为cos(20-15)=cos(20+3 0 -4 5 ),所以由两角和差的余弦公式即可求出.【解答】解：为锐角，cos(0+15)=j,sin(0+15c)=5.24 sin(20+30)=2sin(0+15 )cos(0+15。)=田cos(20+30)=2cos2+1 5)-l=2 x J-l =-J.cos(26-15)=co

32、s(20+30 -45)=cos(20 4-30 )cos45 0 +sin(20+30 )sin45 =._ 2 x 在+竺 x 丑一”公25 入 2 T 25 K 2 501 5.【分析】考查简单几何体的表面积.【解答】数学答案第14页解：由题意知，圆锥的轴截面是边长为2击的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，即R =l,于是该圆锥的内切球的表面积为4 7 r.16.【分析】本题考查利用空间向量求点到面的距离，求空间两点间的距离，属于中档题.建立空间直角坐标系，(1)求得平面的法向量，利用点到面的距离公式求解即可；(2)设P(a,2,c),0 4 a 4 2,0 4

33、c4 2,利用&P_ LCQ,求得c=2 2 a,表示出P(a,2,2-2 a),O 4 al,利用空间两点间的距离公式表示出线段C P长度为关于a的二次函数，可求得其取值范围，注意a的取值范围为O 4 a&l,而不是0 4 a 4 2.【解答】解：以。为原点，DA,DC,分别为x,y.z轴建立空间直角坐标系.在棱长为2的正方体4 8。-4/百 内 中，Q是 棱 的 中 点，则 Q(2,2,l)，又 C(0,2,0),则“=(在正方体中，4遇 J.平面A B C。，BDu 平面4 B C D,则1 4遇，又BD J.ACf且“遇 u平面u平面/遇C C ,AA n AC=/,故，平面4遇。1，

34、即 前 是平面占4 C C 1的法向量，且2=(-2-2,0)设点Q到平面4 C C/1的距离是d,则d =筝 =点=值B D又点P与点Q重合，则点P到平面4。遇1的距离是业.：=(2,2,1),DQ 点P在侧面BCG/上(包含边界)，设 P(Q,2,C),04Q42,04C42,则;P=(-2 2 c一 孙若4 1 P J.D Q,则2(a-2)+2 X 2 +c2 =0,数学答案第1 5页即c=22a,又04c42,则0 4 2-2 a 4 2,即O4al,即P(a,2,2-2a),0al,又 C(0,2,0),则线段CP长度为|CP|=J(a-0)2+(2-2)2+/口)2 =5a2-8 a +4=J5(a-J)2+$又当。=斜，线段CP长度为最小值?，当a=0时，线段CP长度为最大值2,故则线段CP长度的取值范围是 萼,2数学答案第16页