广东省2022年高考[数学]考试真题与答案解析.pdf

《广东省2022年高考[数学]考试真题与答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省2022年高考[数学]考试真题与答案解析.pdf（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、广东省2022年高考数学考试真题与答案解析一、选择题1 .若集合M =x|&,则M n N=()A.1 x|0 x 21 B.,x；Wx C.x|3 x 1 61 D.x；Wx【答案】D【分析】求出集合M，N 后可求 c N.详解M =xl OWx1 6,N=x|xZ；,故河|1%=8；X1 6,故选：D2.若i(l-z)=l ,则z+5=()A.-2 B.-1 C.1 D,2【答案】D【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+N.1 i【详解】由题设有 1-z=；=R =-i,故z=l+i,故z+N=(l +i)+(l-i)=2,故选：D3 .在“8 C 中，点。在 边 上，BD=2 DA.

2、记而=玩，丽=万，则 赤=()A.3m-2 n B.-2玩+3 万 C.3 玩+2万 D.2玩+3 元【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.【详解】因为点。在边力8 上，BD=2 D A,所 以 丽=2次，即 丽-丽=2(丽)，所 以 而=3 而-2第=3 1 2 后=-2成+3 万.故选：B.4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1 48.5m时，相应水面的面积为1 40.0k mz;水位为海拔1 57.5m时，相应水面的面积为1 80.0k m,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1 4

3、8.5m上升到1 57.5m时，增加的水量约为（疗=2.65）。A.1.0 xl 09m3 B.1.2xl 09m3 C.1.4xl 09m3 D.1.6xl 09m3【答案】c【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.【详解】依题意可知棱台的高为朋N =1 57.5-1 48.5=9（m）,所以增加的水量即为棱台的体积嗫棱台上底面积S=1 40.0k m2=1 40 xl（）6m2,S=1 80.0k m2=1 80 x 1 06m2,+j x 9 x（1 40 xl 06+1 80 xl 06+71 40 xl 80 xl 01 2）=3 x（3 20+60V7）xl

4、06 （96+1 8x2.65）xl 07=1.43 7xl 09 1.4xl 09（m3）.故选：C.5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）1112A.B.C.7 D.-【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=2 1种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共 7 种，八 21-7 2故所求概率尸=为一=1.故选：D.2乃6.记函数/（）=$出g+7卜优。0）的最小正周期为T.若T T乃，且y=/（

5、x）的图象关、/3%c/于 点 5二 中 心 对 称，则/7)A.13B-25D.3【答 案】A【分 析】由 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 可 求 得 参 数，进 而 可 得 函 数 解 析 式，代入即可得解.【详 解】由 函 数 的 最 小 正 周 期 满足2%f 27 213 T 7T 付得 3 /7 C，解 得23,31Q又因为函数图象关于点万，2）对称,3 71 1 ,r所 以5。+1=左肛 e Z ,且 6=2,1 2,5所以壮Z,所 以。=5,/(x)=sin5 7 1x+(2 4所 以/(f)=sinK 力 +一4J+2=1+2故 选：A7.设a=0.l e,6=g，c

6、=-l n0.9,则0A.abcB.cbaC.c abD.a c 1),因为，/、1 I x当X G(T,0)时,/(x)0,当*e(0,+o o)时/(x)1-9故 c,1 9 1 9-1 I 1 I所 以/（-m）/（。）=0,所 以m历+而 。，故 历 屋。，所 以 正”,故”6，设g(x)=xe+l n(l x)(0 xl),贝ijg(x)=(x+l)e+(x2-l)eA+lX-1x-l令 A(x)=eJ(x2-1)+1 ,hx)-e(x2+2x-l),当0 X V I-1 时，(X)o,函数人(x)=e(x2 1)+1 单调递增，又=0,所以当 O X G1 时，所以当0 0,函数8

7、(%)=/+皿 1-刈单调递增,所以g(01)g(0)=0,g pO.l eo l-l nO.9,所以故选：C.8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为3 6万，且3/9当3 W/K2卡 时，r 0,当2指/W3 百 时，r 0,64所以当/=26时，正四棱锥的体积/取最大值，最大值为7,又/,=3c 时，展2彳7 ，/=36r 时，V =81 t27所以正四棱锥的体积厂的最小值为彳，27 6 4所以该正四棱锥体积的取值范围是 彳，.故选：C.二、不定项选择题9.已知正方体，贝1()A.直线8 a与 所 成 的 角 为90 B.直线8G与 所 成 的 角 为90 C

8、.直线8G与平面8为DQ所成的角为45。D.直线8G与平面4 5 8所成的角为45【答案】A B D【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接8。、BC,因为D 4 /8 C,所以直线8G与8 c所成的角即为直线8G与所成的角，因为四边形6 8。为正方形，则8 c B G,故直线8G与 所 成 的 角 为90。，A正确；连接4。，因为4月，平面86 =2 x 7,当切点为（-1/）时，切线方程为N=2x+3,故 D 错误.故选：A C1 1.已知。为坐标原点，点Hl ）在抛物线。：1=2 期（0 0）上，过点8（0,-1）的直线交C 于P,Q两点，贝 I 0A.C 的准线

9、为丁=-1 B.直 线 与 C 相切c.OP-OQOA D.BP-BQBA【答案】BCD【分析】求出抛物线方程可判断A,联立S 6 与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A 的代入抛物线方程得l =2 p,所以抛物线方程为一=九 故准线方程为y=_；,A 错误；3-=2,所 以 直 线 的 方 程 为 y=2x 1,1 uy=2x-l联立一、，可得X2-2X+1 =0,解得X=l,故 B 正确；-y设过B的直线为/,若直线/与，轴重合，则直线/与抛物线。只有一个交点，所以，直线/的斜率存在，设其方程为少=区-1,尸（看,凹）,。（2，8），I y=Ax-

10、1联立，得1 一米+1 =0,-y=公一4 0所以芯+2=左，所以 2 或左+用8的展开式中X、的系数为（用数字作答）.【答案】-28【分析】1 1 -|（x+d可化为（+力匚+田、结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为1 1 -，（+城=（+域-?（+城，所以I?一|0 +域的展开式中含。的 项 为 图 少 一 衿=一2 8 ,11一力（x+y 的展开式中“3 的系数为一28故答案为：-281 4.写 出 与 圆+r=1 和a -3）2 +Q-4）2 =1 6都相切的一条直线的方程_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3 5 7 25,【答案】一 7 +或k 五

11、x-五 或 x=-1【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆 言+=1 的圆心为。（0,0）,半径为1,圆（X-3）2+（y-4 =1 6的圆心3为（3,4）,半径为4,两圆圆心距为,3 2+4z=5,等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为/时，因为自q=,所以勺=-。到/的距离 L T ，解得/=%V 1 6 当切线为。时，设直线方程为丘+y+人同 7 f,_ 74 J J1 +F 24由题忌 伊+4+川,解 得 _ 25门 1 +公 4 1 2 4 设方程为y=_1 X+/（/）3 5所以/的方程为y=-1 X+w，=0,其中 P O,k K=c，a=2c,/4 工。=

12、,J.ZRE 为正三角形，.过百且垂直于N 月的直线与C 交于。，E 两点，O E为线段N6 的垂直平分线，.直 线 的 斜 率 为 浮，斜率倒数为6,直线。E的方程：x=5-c,代入椭圆方程3X2+4/12C2=0,整理化简得到：1 3/-6V3 cy-9c2=0,判 别 式/:心&了+4xl 3 x9c2=62X16XC2,13=+|必-%|=2x普=2x6x4x/=6,1 3 C 1 3c=1,得 a=2c=i，.BE 为线段年的垂直平分线，根据对称性，A D D F2,北=巡，二”%的 周 长 等 于的周长，利用椭圆的定义得到 月 周 长 为DF2 +EF2+DE=|DF2+EF21+

13、|。用+词 H S HD F21+|环|+|勾=2a+2a=4a=1 3.故答案为：1 3.四、解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.记S,为数列%的前项和，已知4=1，是公差为1的等差数列.(1)求。“的通项公式；1 1 1 c(2)证明：+2.Q 4 an+1)【答案】(1)(2)见解析【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得广=1 +(T)=一1，得到析=利Un J J 3(n+2)a+a n+用和与项的关系得到当 2 2时，a,=S“-ST=J一 产，进而得：1=厂 ，利3 3%M-1+1)()(+1)用累乘法求得见=一:，检验对于=1也成立，得

14、到 4 的通项公式与=一:；1 1 1 4 1、(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到+广+1 =2 1-,进而证得.u u2 an 十【小问1详解】s.=%=1 广1,S 1又:是公差为a 的等差数列，q J JS 1 1 /+2(+2)氏=l+-(n-l)=-v=_人 上,an 3 7 3 3.当“时，S,一 J(+2)/(+(%整理得：(一I)%=(+i)qa“+1即 二 F,3 4 n n+(+1)=lx X X.X-X-=-2 3 n-2 n-1 2显然对于=1也成立，.%的通项公式与 =丝 附；【小问2 详解】1=2=2ri nan(/7 +1)n/7 +I71 8.记 力 BC

15、的内角力，B,C 的对边分别为a b,c,已知不二1 +sin 力 27(1)若0=行，求伏2 .I 2(2)求一 L的最小值.Csin 251 +cos 257 1【答案】7;(2)4V 2-5.,cos A sin 25【分析】(1 )根据二倍角公式以及两角差的余弦 公 式 可 将 丁1=77/化 成1 +sinH l +co s25co s(4+8)=sin8,再结合0 8 ,即可求出；(2)由(1)知，C =f +8,A=92 B ,再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成2 2 c224co s B+T-5,然后利用基本不等式即可解出.co s B【小问1详解】、cos A _ sin

16、25 _ 2sinBco sB _ sin 8因 1 +sin/1 +co s25 2co s2 B co s5 5 即sin B=co s A co s 5-sin sin B-co s(J+5)=-co s C =；,兀 i t而0 8 0,所以 C 兀,0 8 2V8-5=4V2-5-co s B-co s Bi 2,2当且仅当COS2 8=W时取等号，所 以 幺 的 最 小值为472-5.1 9.如图，直三棱柱N 8 C-4 4 G的体积为4,48C的面积为2亚.小(1)求 力到平面4BC的距离；(2)设。为4c的中点，AA,=AB,平面4 B C J.平面,求二面角幺-8 O-C 的

17、正弦值.【答案】(1)V 242【分析】(1)由等体积法运算即可得解；(2)由面面垂直的性质及判定可得8 c,平 面 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利用空间向量法即可得解.【小问1 详解】在直三棱柱中，设点力到平面4 8 c 的距离为h,八则 J 七/I /Ai|BnCC -3 ABC 3 h=匕/1|/1o CC =3 S A B C A A V，BC，BC-,AHOC 13 A o C T4|/J|C|3 1解得=0,所以点R到平面48c的距离为近；【小问2 详解】取48的中点连接力如图，因 为=所以N E _L 4 8,又平面48C_L平面,平面4 B e n 平 面 =4 8 ,

18、且Z E u 平面所以平面4 8 C,在直三棱柱N B C 44G中，平面4 8 C,由 8 C u 平面 4 8 C,B C u 平面 4 8 c 可得 4 E L 8 C ,B B J B C ,又4瓦8 4 u平 面 耳4且相交，所以6 c l平面,所以两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,由(1)得 A E =也,所以/4=N 3=2,4 8 =2五，所以8。=2,则 N(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以4 c的中点。(1,1,1),贝I J 丽=(1,1,1),0=(0,2,0),肥=(2,0,0),m-B D=x+y+z=0设平面力

19、8。的一个法向量加=(xj,z),贝I J -,m-BA=2y=0可取而=(1,0,-1),一in-B D=a+b+c=0设平面皿C的一个法向量=（。也C）,则 流 面=2-0可取;7 =(01,一 1),/-m-n1 1则COS(加,|/n|-|n|V2 x V2 2 5所以二面角力-8。-C的正弦值为A 1-2 220.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 1 0。例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 1 00人(称为对照组)，得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1 090

20、(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，“表示事件 选到的人卫生习惯不够良好”，8 表示事件 选P(B A)P(B I A)到的人患有该疾病”./瓦刀与反百石的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为8()证明.P(AB)PAB),(ii)利用该调查数据，给出P(川8)，P(川月)的估计值，并 利 用(i)的结果给出用的估计值.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k)0.0500.01 00.001k3.8416.63 51 0.828【答案】(1)答案见解析(2)(i)证明见解析；间&=6;

21、【分析】(1)由所给数据结合公式求出K?的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；间根据 结合已知数据求火.【小问1 详解】叱 2 n(ad-hc)2 200(40 x 90-60 xlO)2 由日知K=-=-=24RD 入 (a+b)(c+d)(Q +c)S+d)50 x1 50 x1 00 x1 00 又 P(K2 6.63 5)=0.01 ,24 6.63 5,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问2详解】(I)口为 P(BA)P(BA)P(

22、4)P(AB)P(N)P(AB),所以R=3 3.吗 0“I 丛 P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(AB)所以 P(AB)P(A|5),(i i)由已知P(*8)=器，尸(川 加 卷_ 60-90又尸(小5)=面,尸 B)=而,所以心皿=6ni 人 P(A B)P(4|B)2 1.已知点火2，1)在双曲线C：Tr2-*v2=1(。1)上，直线/交C于 尺Q两点，直线4 P，N。a a-1的斜率之和为0.(1)求/的斜率；(2)若tan/尸/0 =2正,求E 4。的面积.【答案】(1)-1；(2)9【分析】(1)由点前2，1)在双曲线上可求出J 易知直线/的斜率存在，设/：丁 =6+机，尸

23、(占，凹)，。(/2),再根据加+%=0,即可解出/的斜率；(2)根据直线力P，。的 斜 率 之 和 为。可 知 直 线/P，/。的 倾 斜 角 互 补，再根据tan/P/0=2及即可求出直线ZP,Z。的斜率，再分别联立直线。，四与双曲线方程求出点P，。的坐标，即可得到直线尸。的方程以及尸。的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线P。的距离，即可得出&。的面积.【小问1详解】x2 4 1因为点”(2,1)在双曲线c：r-/=1(。1)上，所以-7 一二:=1，解得力=2,即双曲线a-a a aC:-y22=1易知直线/的斜率存在，设/：y=丘+加，尸(再，必)，。(工2，%),y=kx+m联立

24、，金.万,可得，（l-2A:2）x2-4m kx-2m2-2=0必=1 所以，玉+&=-=中2=桨J,A=1 6 S C+4（2/+2）（2 公 _1）0=/_ 1 +2公02.K I 2.K 1所以由阳户+须户=可得，三 总 十 号=0即-2）（生+加 一1）+（12-2）（例+m-l）=0,即 2kxxx2+（加-1一2左）（玉 +x2）-4（w-1）=0,22m2+2/_ _ x（4 m k、人 /八2 k-，化简得，8A7+44-4 +4加（+1）=0,即（左+1）（2左 一 1 +加）=0,所以左=-1或加=1 一2左，当?=1-2左时，直线/:歹=履+加=左(-2)+1过点/(2,

25、1),与题意不符，舍去,故人=一1 .【小问2详解】不妨设直线尸4 P 8的倾斜角为4(&)，因为e p+金0=0,所以。+=兀,因为 ta n/P/0 =2及，所以 tan(-a)=2 J i,gp tan2a=-272,gp V2 tan2 a-tan a-V2=0,解得 tana=C,于是，直线山：尸 行(x-2)+1,直线0 8:y =一 后(x-2)+l,y=V2（x-2）+l联 立f 可得,-y=1|x2+2（l-2 V 2）x+10-4V2=0,因为方程有一个根为2,所以“J。；五,%=学1 0+4及、，_-42-5同理可得，%=-,yQ=-一-所以P O：x+y-；=0,|00

26、|=g,点A到直线PQ的距离dI2 +1-I r-=I 3|=2V2,V2 3故 虫 的面积为:x与、半=苧.2 2.已知函数/(X)=e-ax和g(x)=ax-In x有相同的最小值.(1)求 a;(2)证明：存在直线少=,其与两条曲线y=/a)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【答案】(1)1(2)见解析【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a注意分类讨论.(2)根 据(1)可得当bl时，e-x=b的解的个数、x-l nx=b的解的个数均为2,构建新函数(x)=e+l n x-2 x,利用导数可得该函数只有

27、一个零点且可得/(x),g(x)的大小关系，根据存在直线夕=人与曲线 =/卜)、歹=8卜)有三个不同的交点可得人的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】f(x)=ex-ax的定义域为 R,而/(%)=ev-a,若a4 0,则八x)0,此时x)无最小值，故。0.g(x)=ax Inx的定义域为(0,+8),而g()=。一工=竺二1.X X当xl na时，/(x)l na时，/(x)。，故/a)在(由区+o o)上为增函数，故/(x)min=/(l na)=a-al na.1(1 A当 x一时，g(x)0,故。：时，g(x),故g(x)在 上 为 增 函 数，故 g(x

28、)min=g(：)=l-l n).因为/(x)=ex-ax和g(x)=ax-nx有相同的最小值，故1一 1 “/1 二。一。11 1 1。，整理得到Q 1 二1 小。，其中Q0八,设田 。，则g(力能丁六产0，故g(a)为(，+8)上的减函数,而g(l)=。,故g(a)=的唯一解为。=1,故=1强的解为a=L综上，。=1.【小问2详解】由 可 得/(x)=e、-x 和 g(x)=x-l nx 的最小值为 l-l nl =l-l n；=l.当6 1时，考虑e*-x=b的解的个数、x-l nx=b的解的个数.设S(x)=e*-x-b,S(x)=e*_,当 x 0 时，S(x)0,当 x0 时，Sx

29、)0,故S(x)在(-8,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，所以 S(x)mm=S(0)=j 1,则/优)=斯一2 0,故(3 在(1,+(l)=e-20,故5 优)0,故S(x)=e x-b有两个不同的零点，即e x=6 的解的个数为2.设 T(x)=ln l,T，(X)=?,当 0 xl 时，叫 x)l 时，r(x)o(故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，所以 T(x L=T =1 一。0,T(e)=e，_26 0,7(%)=-1 门-6有两个不同的零点即“一 11 1%=6 的解的个数为2.当b=l,由(1)讨论可得x-l nx=b、e-x=b仅有一个零点

30、，当6 1.设/z(x)+l nx-2x,其中 x 0,故(x)=e+2,设s(x)=e”-x-l,x 0,则义工)=1-1 0,故s(x)在(，+8)上为增函数,故s(x)s(o)=o 即为 X+1,所以A(x)x+：-1 22-1 0,所以“(X)在(0,+8)上为增函数，而=e-2 0,A(-L)=e7-3-4-e-3-40.故(x)在(0,+o o)上有且只有一个零点%,占 /1 且：当 0 xx。时，(x)0 即 e、一 xx l nx 即/(x)/时，(0 eT-x x-l nxg p/(x)g(x),因 此 若 存 在 直 线 与 曲 线 V=/(x)、尸 g 卜)有三个不同的交点，故b=/(xo)=g(x()l ,此时e*-x=b 有两个不同的零点,/(玉。/)，止 匕 时 x-Inx=b有两个不同的零点xo,x4(Oxol 1,x0=x4-b故1 LX j=%b艮|玉+X4=2x.