浙江宁波市北仑区2022-2023学年数学高一年级上册期末学业质量监测试题含解析.pdf

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1、2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选 择 题（本大题共12小题，共60分）1.命题P：al 命题：1 （其中a e R）,那么。是9的（）aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴

2、表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生走法的是。3.下 列 函 数 是 偶 函 数 且 在 区 间 上 为 减 函 数 的 是。,y=2xB.yz =-XC)=|.r|4.若AABC的外接圆的圆心为a 半径为4,丽+2荏+2/=6,则3在无方向上的投影为（）A.4B.V15C.V75.已知。0,。1,且a S 1）=4,则a+人的最小值为（）A.3B.4C.5D.66.设全集A.U=1,2,3,4,5,6 ,集合A =1,3 ,8 =3,4,6 ,贝 i J(a A)c 5=()B.2,5C.2,4 D.4,67.将 y =l(x)的图象向右平移三个单位，再把所得图

3、象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍得到y =s i n 1-仁 的图象，则 f(x)=()A.co s 2 x,.1B.s i n x2f lC.co s 1 2:+看)、皿 卜+18.已知定.义在 R上的函数/(力=6-*-他*(加/?)是奇函数，设 a =/(l o g3 2),Z?=/(l o g53),c=,则 有()C.acbc B.cabY).bc6 0 ,则(M 4)n8=()A.(1,3)B.(1,3C.3,+o o)D.(3,+OO)1 2.若直线/：丁 =履-石 与 直 线 x+y-3 =0 相交，且交点在第一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是A.(0,6 0)B.(3

4、0,6 0)c,（3 0 ,9 0 ）D,（6 0 ,9 0 ）二、填 空 题（本大题共4小题，共2 0分）1 3 .九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积=1 x （弦X 矢+矢2）,弧 田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的2距 离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为2,半径为1米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是 平方米.（结果保留两位有效数字，参考数据：s i n 1 0.8 4,co s 1 0.5 4）1 4 .函数/。）=1+3的图象一定过定点尸，则尸点的坐

5、标是 22-X,A21 5 .已知函数/（x）=1 0 g3（x +l）,x N 2,若关于x的方程/（x）=m有两个不同的实根，则实数机的取值范围是1 6 .已知函数/（x）是奇函数，当xe（-8,0）时，f（x）=x2+m x,若/（2）=-3,则m的值为.三、解 答 题（本大题共6小题，共7 0分）1 7 .已知函数/（x）=2 s i n（2 x +。.（1）若点P 0,-百）在角a的终边上，求/a 兀7 1 2的值;（2）若x w-H，求/（）的值域，1 8 .已知。（工，万）.2（1）s i n cr=,求 ta n a 和 co s 2 a 的值；3（2）若co s（a-己）=一

6、 正，求co s a的值.1 9 .已知e 1，e 2是夹角为6（X的两个单位向量，且向量W =e 1+2 e 2，b=2 e -e2.c：(l)|a|.|b|,a-b;向 量A与6夹角的余弦值2 0 .我们知道，函数y =/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =/(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y =/(x)的图象关于点(加,)成中心对称图形的充要条件是函数y =/(x+m)-为奇函4数 已知小)=中(1)利用上述结论，证明：/(X)的 图 象 关 于 成 中 心 对 称 图 形；(2)判断了(力的单调性(无需证明)，并解关于x的不等式/(1 +办+f)+

7、/(x)0,0?1能推出!1,a a a a当,1不成立，a a因此P是4的充分不必要条件，故选：A2、A【解析】纵轴表示离家的距离，所以在出发时间为/=0可知C,D错误，再由刚开始时速度较快，后面速度较慢，可根据直线的倾斜程度得到答案.【详解】当时间f=0时，5=0,故排除C,D；由于刚开始时速度较快，后面速度较慢，所以前段时间的直线的倾斜角更大.故选：A.【点睛】本题考查根据实际问题抽象出对应问题的函数图象，考查抽象概括能力，属于容易题.3、C（解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】y=2不是偶函数；.不是偶函数；，v =X-y=卜是偶函数，且函数在:一s,0

8、）上是减函数，所以该项正确；1,=_产是二次函数，是偶函数，且 在g 0：上是增函数，故选：C.4、C【解析】过。作BC的垂线，垂 足 为 分 析 条 件 可 得 砺=4必，作出图分析结合投影的几何意义可进而可求得投影.【详解】过。作8C的垂线，垂 足 为 则M为BC的中点，连接AM,BAo由 0 X+2 A方+2 Xe =0 W +4 A M=6,可得。Z =4加，所以O,M,A三点共线，即有A M _ L B C ,且 O M=(Q A =3,O C =4.所以 C M =J C C 2 _。”=Ji 6-9=不 在 在 方 向 上 的 投 影 为1 m l e os N A C B =C

9、 M =e，故选:C.5、C4 4【解析】依题意可得。=丁 二，则。+6=丁一7+匕，再利用基本不等式计算可得；b-o-l4【详解】解：因为a 0力 1且。(。-1)=4,所以,所以0-14 4 1-4a+b=+b=+(/?-l)+l 2 J-(。-1)+1 =5b-h-1 1 )b-4当且仅当=b-,即匕=3,a =2时取等号；0-1所以。+人的最小值为5故选：C【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

10、(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方6、D【解析】由补集、交集的定义，运算即可得解.【详解】因为U =1,2,3,4,5,6,A =1,3 ,所以A =2,4,5,6,又8 =3,4,6,所以=4,6.故选：D.7、A【解析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将丫=$抽1一)的图象所有点的横坐标缩短到原来的g倍,再把所得图象向左平移 个单位，即可得到f(x)的图象，得解【详解】解：将丫=4!1|-2 1的图象所有点的横坐标缩短到原来的g倍得到y =s in(2 x-巳)，再把所得图象向左平移四

11、个单位，得到f(x)=s in 2卜+当 一2=c os 2 x,3 y 3 y O故选A【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题8、D【解析】根据函数/(X)是奇函数的性质可求得m,再由函数/(X)的单调性和对数函数的性质可得选项.【详解】解：因为函数/(力的定义在R上的奇函数，所以 0)=0,即/(0)=e“m e =0,解得z =l,所以/(x)=e T-e ,所以/(x)在R上单调递减，1 1 2 1 1 9又因为一 l og 3 2 3 -l og52 5 =-,所以b c 0得x l,故 An B=x|-2 l =x|1 x 0；(3)零的零次方没有意义;

12、(4)对数的真数大于零，底数大于零且不为1.10、B【解析】首先求出了(x)的解析式，再根据指数对数恒等式得到/(。)=1 0,即可得到方程，解得即可；【详解】解：根据题意，/(x+l)=3x+16=3(x+l)+13,则有/(x)=3x+13,若/(。)=3噫i=l(),即 3。+13=1(),解可得。=一1,故选：B11、C【解析】解不等式求出集合A中的x的范围，然后求出A的补集，再与集合5求交集即可.【详解】集合A=x|x2-x-60=x|-2x3,则=x x 3集合 3=x|x-1O=x|x l,(M)A 5 =X|X3,故选：C.【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题.12、C

13、3+0o【解析】联立方程卜=”一”得 交 点(上 叵，上且)，由交点在第一象限知：k 解得人立，x+y 3=0 l+k+k 3女一百0 31+k即tana 走,a是锐角，故30a90,选C.3二、填空题(本大题共4小题，共20分)13、0.49【解析】由题设可得“弦”为2sinl,“矢”为1-c o sl,结合弧田面积公式求面积即可.【详解】由题设，“弦”为2sinl,“矢”为1-cosl,1,1 ,所以所得弧田面积是x 2 sin 1 x(1-cos 1)+(1-cos 1了。-x 1.68 x(1-0.54)+(1-0.54)2 0.49.22故答案为：0.49.14、（1,4）【解析】已

14、知y =过定点(0,1),由y =a 向右平移1个单位，向上平移3个单位即可得/(x)+3,故根据平移可得到定点.【详解】x)=/T +3由y =优向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，y =优 过 定 点()/)，则 x)=a T +3过定点(1,4).【点睛】本题考查指数函数的图象恒过定点(0,1)以及函数图象的平移问题.图象平移，定点也随之平移，平移后仍是定点.1 5、(1,+c o)【解析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案I 22-A,X2【详解】解：由题意作出函数X)=I og 3(x+l),x 2 2的图象，关于x的方程/(

15、x)=m有两个不同的实根等价于22-A-,A-2函数/(X)=I og 3(x+D，x 2 2与y =7有两个不同的公共点，由图象可知当时，满足题意，故答案为(1,+8)【点睛】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题1 6.12【解析】由奇函数可得/(-2)=-/(2)=3，则可得/(2)=(2)2 -2m=3,解出m即可【详解】因为f M是奇函数，/（2）=-3,所以/（-2）=-/（2）=3,即/（一2）=（-2）2-2m=3,解得根=耳故答案为：!2【点睛】本题考查利用奇偶性求值，考查已知函数值求参数三、解 答 题（本大题共6小题，共70分）17、（1）-6-1；（2）

16、-2,1.【解析】（1）先根据三角函数定义求得sina=-3,21cos a=,2的值即可;7T 71 5 71（2）根据题意得一，再结合三角函数的性质即可求得答案.6 6 6【详解】解：（1）因为点P（L-6）在角a的终边上，所以sina=-,21cos a=一,2冗冗.,兀C 7 1 5K因为,所以一7 W 2x+：，6 3 6 6 6而丁 二 5抽，在7 7C TC 5 TC上单调递增，在-，上单调递减,o 2 2 oTT 5 乃 I所 以 函 数 卜=.在 亮 工 上 的 最 大 值 为L最小值为-5,即 一 g sinf 2%+-1,所以/（X）的值域是【点睛】本题考查三角函数的定义

17、，整体换元法求函数的值域，考查运算能力，是中档题.18、(1)_旦,7一7 9万+2厉乙）-10【解析】（1）根据同角三角函数基本关系式，以及二倍角公式，即可求解；（2）根 据 角 的 变 换-+再结合两角和的余弦公式，即可求解.【小 问1详解】.1 （万）on a =一,a G 一,万,3【2）cos a-Jl-sin 2 a =一，得 tan a=抽 =,3 cos a 4cos 2a=1 -2sin a=一；9【小问2详解】cos(马=-或3 51 2A/5 y/3 6+2 厉X-X-=-2 5 2 1019、(1)同=近,忖=百,a b=|答可求得结果；根 据cos 5）【解析】（1）

18、根据I，1是夹角为6 0的两个单位向量即可求出 =；，然后利用向量的模的公式和数量积公式即a-b=而 即可求出向量万石夹角的余弦值【详解】（l）.,e；是夹角为6 0的两个单位向量;,1*ei-e2=-5,*2 2 1/.a=e,+4C1-e2+4e2=l+4x+4=7-2 2 3 33,b 2c.+3c.2 c=2H-2=一；1 1 2 2 2 2|a|=V7,|b|=V3,a b=；_ 3 c o s M)祠=云=察 2 *2b=4e,4e,-e2+e,=4 2+1 =3,【点睛】本题考查向量模的公式，考查向量数量积计算公式以及向量夹角的余弦公式，属于基础题20、(1)证明见解析(2)/(

19、x)为单调递减函数，不等式的解集见解析.【解析】利 用 已 知 条 件 令 g(x)=/1 x +；)-1,求出g(x)的解析式，利用奇函数的定义判断g(x)为奇函数,即可得证；(2)由(1)得/(x)+/(l-x)=2,原不等式变成/(1+G:+X2)0 对于x w R 恒成立,4则函数/(x)=5 百在R 上为单调递减函数,由 知，“X)的图象关于G，”成中心对称图形，即/(x)+/(l-x)=2,不等式/.(l +o x +x 2)+/(x)2 得：/(l +a x +x2)2-/(x),即/(1 +6+2)l-x 整理得 f+(a +l)x 0,当a =_ l时，不等式的解集为X|XH

20、O ；当a -l时，不等式的解集为卜凤(a +1)或x)0 ；当a l时，不等式的解集为卜卬。或X)一(。+1).2 1、(1)/(x)=2 s i n(2 x +e ；(2)/(x)m i n=-2 ,/(x)m a x=1【解析】（1）由图可知A =2,。=2,/(x)=2 s i n f 2 x +(2)当 x e -,0 时，一型 V 2 x +四4二V 6 J 1_2 6 6 67 T0,得。=2,所以6,利用原始图象，可 知/（力“讪=一2,/(x)=1,/max试题解析：r j i I 1(1 )由图可知一二-71-T I =f :T=7 1 ,2 1 2 1 2 2.丁 2兀T

21、=兀,co=2,CD=Asin%+*)=。c 兀 兀0 0 0,所以x 1 0,解得x l,2 4所以函数/(X)的定义域为(L+8)又由 X 3X+3=(匚 1)-二(x二 1)1=)+J_ 1,x-1 x-1 x-1因为11 0,所以(工l)d-1 2 2./(X -1)x-1 =1,x1 y x 1当且仅当x 1=时，即尤=2 时，等号成立，所 以 X 十x-1 x-所以函数/(X)的值域为 1,+8),令 g(x)=(x-l)+-；-l,X 1根据对勾函数的性质，可得函数g(x)在区间(1,2 上单调递减，在 2,+8)上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可 得/(同 在(1,2 上单调递减，在 2,+8)上单调递增.