第二章+导数及其应用知识点清单 高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册.docx

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1、新教材 北师大2019版 数学选择性必修第二册第二章知识点清单目录第二章导数及其应用1平均变化率与瞬时变化率2导数的概念及其几何意义3导数的计算4导数的四则运算法则5简单复合函数的求导法则6用导数研究函数的性质7导数的应用 30 / 30学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公

2、司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司第二章导数及其应用1平均变化率与瞬时变化率一、平均变化率1. 概念：对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间x1，x2的平均变化率=f(x2)f(x1)x2x1. 通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量，记作x，函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量，记作y. 这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即yx=f(x2)f(x1)x2x1. 2. 作用：用平均变化率来刻画函

3、数值在区间x1，x2上变化的快慢. 二、瞬时变化率1. 概念：对于一般的函数y=f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设x=x1-x0，y=f(x1)-f(x0)，则该函数的平均变化率为yx=f(x1)f(x0)x1x0=f(x0+x)f(x0)x. 如果当x趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率. 2. 作用：瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢. 三、平均速度与瞬时速度1. 平均速度：设物体运动的位移s与时间t的关系是s=s(t)，则从t0到t1这段时间内，物体运动的平均速度v=s(t1)s(t0)t1t0. 2. 瞬时速度：设物体运动的位

4、移s与时间t的关系是s=s(t)，当t趋于0时，函数s(t)在t0到t0+t之间的平均变化率v=s(t0+t)s(t0)t趋于一个常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度. 四、求函数的平均变化率1. 求函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率的三个步骤(1)求自变量的改变量x2-x1；(2)求函数值的改变量f(x2)-f(x1)；(3)求平均变化率f(x2)f(x1)x2x1. 2. 点x0附近的平均变化率可用f(x0+x)f(x0)x求得. 五、求函数的瞬时变化率1. 求函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率的步骤(1)求函数y=f(x)在点x0附近的平均变化率yx=f(x0+x)f(

5、x0)x. (2)当x趋于0时，得出yx所趋于的某一常数A，常数A即为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率. 2. x趋于0是指自变量的改变量x无限接近于0，但始终不为0. 六、实际问题中的平均变化率与瞬时变化率函数的平均变化率与瞬时变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积变化率、体积变化率等均为平均变化率在实际生活中的具体应用，而瞬时速度、瞬时线密度等则为瞬时变化率在实际生活中的具体应用. 2导数的概念及其几何意义一、导数的概念1. 概念设函数y=f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为yx=f(x1)f(x

6、0)x1x0=f(x0+x)f(x0)x. 当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率. 在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数. 2. 记法：函数y=f(x)在点x0处的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0)= limx1x0f(x1)f(x0)x1x0=limx0 f(x0+x)f(x0)x二、导数的几何意义1. 割线与切线的概念设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线，且函数y=f(x)在区间x0，x0+x的平均变化率为yx，它是经过A(x0，f(x0)和B(x0+x，f(x0+x)两点的直线

7、的斜率. 这条直线称为曲线y=f(x)在点A处的一条割线. 当x趋于0时，点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l. 称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y=f(x)在点A处相切. 2. 导数的几何意义函数y=f(x)在x0处的导数f(x0)，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率. 函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. 对应地，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线的方程为y-f(x0)= f(x0)(x-x0). 三、导数概念的理解及应用1. 导数的概念是高中数学中的重要概念之一，需从以下几个方面加

8、以理解：(1)函数y=f(x)在点x0处有导数，必须满足两个条件：f(x)在x0处及其附近有定义；当x趋于0时， yx的极限存在. (2)x是自变量x的改变量，且x0；y是函数值的改变量，可以为0. (3)导数概念的变形：f(x0)= limx0f(x0+x)f(x0)x=limx0 f(x0)f(x0+x)x=limx0f(x0x)f(x0)x=limx0f(x0+nx)f(x0)nx=limx0f(x0+x)f(x0x)2x. 注意：x与y要相互对应，即自变量的改变量与函数值的改变量要相互对应. 2. 求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤(1)求函数值的改变量y=f(x0+x)-f(

9、x0)；(2)求平均变化率yx=f(x0+x)f(x0)x；(3)求极限limx0yx，得导数f(x0). 四、求曲线的切线方程如图所示，当点Pn沿着曲线C：y=f(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 1. 曲线y=f(x)在点P(x0， f(x0)处的切线方程(1)点(x0， f(x0)为切点；(2)切线斜率k=f(x0)；(3)切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0). 2. 曲线y=f(x)过点P(x0， f(x0)的切线方程(1)该点可能是切点，也可能不是切点；(2)如果点P不是切点，则切线可能不止一条，切线条数与切

10、点个数有关；(3)求曲线y=f(x)过点P(x0，f(x0)的切线方程的步骤：设出切点坐标为(x1， f(x1)；求出函数y=f(x)在点(x1， f(x1)处的导数f(x1)；写出曲线y=f(x)的切线方程：y-f(x1)=f(x1)(x-x1)，将(x0，f(x0)代入，求得x1；将x1代入切线方程，化简得切线方程. 3导数的计算一、导函数1. 导函数的概念一般地，如果一个函数y=f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f(x)= limx0f(x+x)f(x)x，那么f(x)是关于x的函数，称f(x)为y=f(x)的导函数，也简称为导数. 2. 函数的导函数与函数在某点处的导数的区别

11、与联系区别联系f (x0)f (x0)是具体的数值f (x0)是导函数f (x)在x=x0处的函数值f (x)f (x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数二、导数公式表函数导数y=c(c是常数)y=0y=x(是实数)y=x-1y=ax(a0，a1)y=axln a，特别地，(ex)=exy=logax(a0，a1)y=1xlna，特别地，(ln x)=1xy=sin xy=cos xy=cos xy=-sin xy=tan xy=1cos2x三、应用导数公式求导数1. 求简单函数的导函数的两种基本方法(1)用导数的概念求导，但运算比较繁杂. (2)用导数公式求导，可以简化

12、运算过程、降低运算难度，故一般考虑用导数公式求导. 2. 应用导数公式求导时的注意事项(1)若所求函数是导数公式表中的某种函数，则直接利用公式求导. (2)对于不能直接利用公式求导的函数，要对函数进行变形、化简，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则. 四、利用导数公式求曲线的切线方程1. f(x0)是导数f(x)在x=x0时的函数值，故求f(x0)时，可先求出f(x)，再求f(x)在x=x0处的函数值. 2. 求曲线的切线方程是导数的主要应用之一，要抓住切线斜率k与f(x0)的联系，同时还需要注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；(2)曲线所对应的函数在切

13、点处的导数值就是曲线切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点. 4导数的四则运算法则 5简单复合函数的求导法则一、导数的加法与减法法则两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即f(x)+g(x)=f(x)+g(x)，f(x)-g(x)=f(x)-g(x). 二、导数的乘法与除法法则一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x)，则f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)， f(x)g(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)，g(x)0. 特别地，kf(x)=kf(x)，kR. 三、简单复合函数的求导法则1. 复

14、合函数的概念一般地，对于两个函数y=f(u)和u=(x)=ax+b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y=f(u)和u=(x)的复合函数，记作y=f(x)，其中u为中间变量. 2. 复合函数的求导法则复合函数y=f(x)对x的导数为yx=f(x)=f(u)(x)，其中u=(x). 四、利用导数的四则运算法则求函数的导数利用导数的四则运算法则求函数的导数的策略1. 分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，以便确定所需的求导法则和导数公式. 2. 若待求导的函数为多个整式乘积的形式，则可以利用多项式

15、的乘法法则，化为和、差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小. 3. 对含有三角函数式的函数求导，可根据需要，利用三角恒等变换对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导. 五、集合间基本关系的判断1. 复合函数求导的步骤2. 求复合函数的导数的注意点(1)分解的函数通常为基本初等函数. (2)求导时分清是对哪个变量求导. (3)计算结果尽量简单. 六、利用导数的运算解决切线问题1. 利用导数的四则运算法则解决切线问题的常见题型(1)求曲线的切线方程；(2)已知切线的方程或斜率求切点；(3)切线问题的综合应用. 2. 切线问题的处理方法(1)对函数进行求

16、导；(2)若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；(3)若切点未知，则先设出切点，利用切点表示出切线的斜率，再根据条件求切点坐标. 在解决切线问题时，求函数的导数是基础，找切点是关键. 七、导数运算的实际应用导数是从实际生活和科学领域中抽象出来的数学概念，由于导数的本质是瞬时变化率，所以实际生活中的瞬时变化率问题都可以用导数来解决. 6用导数研究函数的性质6. 1函数的单调性一、导数与函数的单调性1. 导数的符号与函数的单调性之间的关系(1)若在某个区间上，函数y=f(x)的导数f(x)0，则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增(2)若在某个区间上，函数y=f(x)的导数f (x)0，解集与定

17、义域的交集为函数的单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，解集与定义域的交集为函数的单调递减区间. 2. 含参函数的单调性问题含参函数的单调性问题主要以两种形式呈现，一是判断含参函数的单调性，二是求含参函数的单调区间，这两种形式实质上是一致的. 解决此类问题时，通常转化为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论，但始终要注意定义域及分类讨论的标准. 四、已知函数的单调性求参数的值（取值范围）1. 可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是f(x)0(f(x)0)在(a，b)上恒成立，且只在有限个点为0. 2. 已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，

18、求参数的取值范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，即令区间(a，b)是相应单调区间的子区间；(2)利用不等式恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，即令f (x)0(f (x)0)在(a，b)内恒成立，转化为最值问题求解，注意验证等号是否取到. 6. 2函数的极值一、函数极值的概念1. 极大值点与极大值如图(1)，在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值. 图(1) 图(2)2. 极小值点与极小值如图(2

19、)，在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值. 3. 极值点与极值函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 极值是函数的一种局部性质. 二、函数的极值与导数的关系1. 极大值与导数之间的关系已知函数f(x)在(a，b)上可导. x(a，x0)x0(x0，b)f(x)+0-y=f(x)(单调递增)极大值(单调递减)2. 极小值与导数之间的关系已知函数f(x)在(a，b)上可导. x(a，x0)x0(x0，b)f(x)-0+y=f(x)极小值

20、三、可导函数在某点处取得极值的必要条件与充分条件1. 必要条件：可导函数y=f(x)在x=x0处取得极值的必要条件是f(x0)=0. 2. 充分条件：可导函数y=f(x)在x=x0处取得极值的充分条件是f(x)在x=x0两侧异号. 四、利用导数解决函数的极值问题1. 利用导数求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求定义域：确定函数f(x)的定义域；(2)求导：求函数f(x)的导数f(x)；(3)解方程：由f(x)=0，求出全部的根；(4)列表：方程的根将整个定义域划分成若干个区间(如果根中含有参数，那么需根据参数的范围分类划分区间)，把x， f(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内

21、；(5)得出结论：若f(x)在x0附近的符号“左正右负”，则函数f(x)在x0处取得极大值；若f (x)在x0附近的符号“左负右正”，则函数f(x)在x0处取得极小值，其中f(x0)=0. 2. 有关含参数的函数的极值问题(1)求含参数的函数的极值，要根据f(x)=0的不同类型对参数进行分类讨论. 通常要考虑以下几个方面：方程f(x)=0有无实数根；方程f(x)=0的实数根是否在定义域内；方程f(x)=0的实数根之间的大小. 进而列表得到函数的极值. (2)由极值求参数的值或取值范围，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. 解题步骤如下：求函数的导函数；由

22、极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. 五、利用函数的极值解决函数的综合问题1. 对于比较复杂的函数的综合问题，常常涉及函数的图象与性质，例如函数的单调性、奇偶性，函数的零点等. 解决与极值有关的函数综合问题时，可通过分类讨论、数形结合等思想方法，进行有效处理. 但需要注意已知与未知的转化. 解题的关键是掌握求单调区间和极值的方法. 2. 解题模板：对于方程f(x)=a的根的个数问题，可转化为函数y=f(x)与函数y=a的图象的交点个数问题. 解题步骤如下：(1)利用导数判断函数y=f(x)的单调性及极值等情况，综合各种信息画出函数y=

23、f(x)的大致图象. (2)研究函数y=f(x)与y=a的图象的交点个数. (3)根据交点个数写出方程根的情况或确定a的取值范围. 6. 3函数的最值一、函数最值与最值点1. 函数最值与最值点的概念函数y=f(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不超过f(x0)，如图(1)、图(2)所示. 图(1) 图(2)类似地，函数y=f(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不小于f(x0). 函数的最大值和最小值统称为最值. 2. 函数的最值与极值点的关系一般地，如果在区间a，b上函数y=f(x)的图象是一条连续

24、不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，由图(1)、图(2)可以看出，y=f(x)的最大值或者在极大值点(也是导函数的零点)处取得，或者在区间的端点处取得；类似地，y=f(x)的最小值或者在极小值点(也是导函数的零点)处取得，或者在区间的端点处取得. 二、利用导数解决函数的最值问题1. 利用导数求函数在固定区间上的最值的步骤(1)对函数求导，求出导数值为0的所有根，并检验使导数值为0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，确定极值和区间端点的函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小，其中最大的值即为函数的最大值，最小的值即为函数的最小值. 2. 含参函数的最值问题，一般有两类：一类是求

25、含有参数的函数的最值；另一类是由最值求参数的值或取值范围. 在解题时，先分清类型，再通过分类讨论思想逐步破解. 3. 解题模板：对参数进行讨论，其实质是讨论导函数f(x)与0的关系. 若导函数f(x)0或f(x)0恒成立，且等号不恒成立，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；否则需分类讨论求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最大(小)值. 4. 方法总结：由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值的逆向运用，这类问题的解题步骤是：求函数f(x)的导数f(x)，并求极值；利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数变化影响函数的单调性，则对参数分

26、类讨论；利用最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可. 三、利用导数解决与函数最值有关的综合问题1. 利用函数的导数求函数的最大(小)值，可以解决有关函数图象、不等式等综合问题，特别是有关不等式恒成立问题. 2. 解决不等式恒成立问题的方法(1)取主元(给定范围内任意取值的变量)，结合参数分类，利用最大(小)值或数形结合解决有关不等式恒成立问题. (2)将主元与参数分离，将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题来解决. 在定义域内，对于任意的x，都有f(x)a成立，转化为f(x)mina；对于任意的x，都有f(x)a成立，转化为f(x)maxa. 3. 证明不等式问题，可以将不等式问题转化

27、为最大(小)值问题，利用函数的最大(小)值加以证明. 7导数的应用一、实际问题中导数的意义自变量x原函数f(x)导函数f(x)时间路程速度时间速度加速度长度质量线密度时间功功率时间降雨量降雨强度产量生产成本边际成本二、利用导数解决生活中的最优化问题1. 最优化问题在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题. 导数是解决最优化问题的一个重要工具. 2. 利用导数解决生活中的最优化问题的步骤(1)分析实际问题中各个变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中各个量之间的函数关系y=f(x)；(2)求函数y=f(x)的导数f(x

28、)，解方程f(x)=0；(3)比较函数在区间端点的函数值和使f(x)=0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值. 三、利用导数解决生活中的最优化问题解决生活中的最优化问题的注意事项1. 当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们之间的关系，列出变量之间的关系式；2. 在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定函数的定义域；3. 在实际问题中，由f(x)=0得到定义域内的根通常只有一个，如果函数在该点处取得极大值(极小值)，那么不与端点处的函数值进行比较也可以判断该极大值(极小值)就是函数的最大值(最小值)；4. 求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义出发，不符合实际意义的应舍去，例如长度、宽度应大于0，销售价格一般要高于进价等.