132《算法案例——秦九韶算法》(新人教A版必修3)课件.ppt
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1、v主讲老师 潘学国思考:思考:怎样求多项式怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当当x=5时的时的值呢?值呢?一个自然的做法是把一个自然的做法是把5代入多项式代入多项式f(x),计算各,计算各项的值,然后把它们加起来。项的值,然后把它们加起来。这时,我们一共做了这时,我们一共做了1+2+3+4=10次乘法,次乘法,5次次加法运算。加法运算。优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项式求值问题,而且计算效率不高。任意多项式求值问题,而且计算效率不高。温故知新温故知新思考:思考:在上述问题中,若先计算在上述问题中,若先计算x2的值,然后依
2、次的值,然后依次计算计算x2x,(x2x)x,(x2x)x)x的值,这样每次都的值,这样每次都可以利用上一次计算的结果,一共做了多少次乘法可以利用上一次计算的结果,一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算?运算和多少次加法运算?4次乘法运算,次乘法运算,5 5次加法运算次加法运算.第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率。而且对于计算机来说,减少了,因而能提高运算效率。而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法计算机能更快地得到结果。因此第二种
3、做法计算机能更快地得到结果。思考:思考:有没有更有效的的算法呢有没有更有效的的算法呢?f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1=(x4+x3+x2+x+1)x+1=(x3+x2+x+1)x+1)x+1=(x2+x+1)x+1)x+1)x+1=(x+1)x+1)x+1)x+1)x+1v0=1v1=v0 x+1=5+1=6v2=v1x+1=65+1=31v3=v2x+1=315+1=156v4=v3x+1=1565+1=781v5=v4x+1=7815+1=3906所以,当所以,当x=5时,多项式的值是时,多项式的值是3906.这种求多项式值的方法就叫这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法秦九韶算法.
4、我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作数数学九章学九章提到了下面的算法。提到了下面的算法。秦九韶(秦九韶(秦九韶(秦九韶(1208120812081208年年年年1261126112611261年)南宋年)南宋年)南宋年)南宋官员、数学家,与李冶、杨辉、官员、数学家,与李冶、杨辉、官员、数学家,与李冶、杨辉、官员、数学家,与李冶、杨辉、朱世朱世朱世朱世杰并称宋元数学四大家。主要成就:杰并称宋元数学四大家。主要成就:杰并称宋元数学四大家。主要成就:杰并称宋元数学四大家。主要成就:1247124712471247年完成了数学名著年完成了数学名著年完成了数学名著年完
5、成了数学名著数学九章数学九章数学九章数学九章,其中的大衍求一术、三斜求积术和秦其中的大衍求一术、三斜求积术和秦其中的大衍求一术、三斜求积术和秦其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。九韶算法是具有世界意义的重要贡献。九韶算法是具有世界意义的重要贡献。九韶算法是具有世界意义的重要贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝秦九韶算法就是中国古代数学的一枝秦九韶算法就是中国古代数学的一枝秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。直到今天,这种算法仍是多项奇葩。直到今天,这种算法仍是多项奇葩。直到今天,这种算法仍是多项奇葩。直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法式求值比较先进
6、的算法式求值比较先进的算法式求值比较先进的算法 。美国著名数学史家萨顿说过,秦美国著名数学史家萨顿说过,秦美国著名数学史家萨顿说过,秦美国著名数学史家萨顿说过,秦九韶是九韶是九韶是九韶是“他那个民族,他那个时代,他那个民族,他那个时代,他那个民族,他那个时代,他那个民族,他那个时代,并且确实也是所有时代最伟大的数学并且确实也是所有时代最伟大的数学并且确实也是所有时代最伟大的数学并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一家之一家之一家之一”。把一个把一个n n次多项式次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0改写成如下形式:改写成如下形式:f(x)=anxn+an-1xn-1+a1
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