13函数奇偶性+(共29张PPT)课件.ppt

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1、引引 例例1.已知函数已知函数f(x)=x2,求求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及及f(-x),并画出它的图并画出它的图象象解解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考思考:(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)从解析式上如何体现上述特征？从解析式上如何体现上述特征？偶函数的特征偶函数的特征:解析式的基本特征：解析式的基本特征：f(-x)=f(x)图像特征图像特征:关于关于y轴对称轴对称.如如果果对对于于函函数

2、数f(x)的的定定义义域域内内任任意意一一个个x,都都有有f(-x)=)=f(x),),那么函数那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数(even function).).1.1.偶函数的概念偶函数的概念2.已知已知f(x)=x3,画出它的图象画出它的图象,并求出并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及及f(-x)解解:f(-2)=(-2)3=-8,f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-1)=(-1)3=-1,f(1)=1 f(-1)=-f(1)f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=-f(x)思考思考:通过练习通过练习,你发现了什么规律你发现了什么规律?(-x,-y)(x,y

3、)奇函数的特征奇函数的特征:解析式的基本特征：解析式的基本特征：f(-x)=-f(x)图像特征图像特征:关于原点对称关于原点对称.如如果果对对于于函函数数f(x)的的定定义义域域内内任任意意一一个个x,都都有有f(-x)=)=-f(x),),那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数(odd function).).2.2.奇函数的概念奇函数的概念 如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数,那么我们就说函那么我们就说函数数f(x)具有奇偶性具有奇偶性.(1)奇、偶函数定义的逆命题也成立奇、偶函数定义的逆命题也成立,即若即若f(x)为奇函数为奇函数,则则f(-x)=

4、f(x)成立成立.若若f(x)为偶函数为偶函数,则则f(-x)=f(x)成立成立.(2)判判断断函函数数是是否否具具有有奇奇偶偶性性.首首先先要要看看函函数数的的定定义义域域是是否否关关于于原原点点对对称称,即即函函数数定定义义域域关关于于原原点点对对称称是是函函数数具具有有奇奇偶性的前提偶性的前提a,b-b,-axo(3)(3)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇函数的奇偶性是函数的整体性质偶性是函数的整体性质;而而函数的单调性是函数的局部性函数的单调性是函数的局部性质质.例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=

5、2x4+3x2；解解:f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)，f(x)为奇函数为奇函数 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)为偶函数为偶函数函数定义域为函数定义域为R解解:函数定义域为函数定义域为R=f(x)，解解:函数定义域为函数定义域为Rf(x)为奇函数为奇函数解解:函数函数定义域为定义域为 0,+)定义域不关于原点对称，定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数-230 xy(6)f(x)=x+1解解:函数函数f(x)的定义域为定义域为R f(-x)=f(x)=0，又又 f(-x)=-f(x)=0，f(x)

6、为既是奇函数又是偶函数为既是奇函数又是偶函数(5)f(x)=0 (x R)根据奇偶性根据奇偶性,函数可划分为四类函数可划分为四类:奇函数奇函数;偶函数偶函数;既是奇函数又是既是奇函数又是偶函数偶函数;非奇非偶函数非奇非偶函数.解解:函数定义域为函数定义域为R f(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,f(-x)f(x),且且f(-x)f(x).f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数.判定函数的奇偶性的步骤：判定函数的奇偶性的步骤：(1)(1)先求函数的定义域；先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数.若定义域是关

7、于原点对称的区间若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步进入第二步;(2)计算计算f(x)化向化向 f(x)的解析式；的解析式；若等于若等于 f(x),则函数是偶函数则函数是偶函数,若等于若等于f(x),则函数是奇函数则函数是奇函数,若不等于若不等于 ,则函数是非奇非偶函数则函数是非奇非偶函数(3)(3)结论结论.有时判定有时判定f(-x)=f(x)比较困难比较困难,可考虑判定可考虑判定f(-x)f(x)=0或或判定判定f(x)/f(-x)=1.练习:判断下列函数的奇偶性f(x)为奇函数为奇函数.解解:定义域为定义域为x|x0,即即 f(-x)=-f(x),(2)f(x)=5(2)f(x)=5

8、解解:f(x)的定义域为的定义域为R.f(-x)=f(x)=5yox5f(x)为偶函数为偶函数.(4)f(x)=|x+1|-|x-1|f(x)既是偶函数既是偶函数,又是奇函数又是奇函数.解解:函数的定义域为函数的定义域为-1,1,解解:f(x)的定义域为的定义域为R f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数为奇函数.例2.若函数是偶函数,求m的值.【1】已已知知函函数数f(x)=ax2+bx+c,(2a-3x1)是是偶偶函函数数，则则a=_，b=_，c_.10R【2】对于奇函数对于奇函数f(x),若若x能取到零能取到零,则则f(0)=

9、_.0函数函数 是偶函数是偶函数.【3】对于定义在对于定义在R上的函数上的函数 f(x),下列判断是否正确下列判断是否正确？若若f(-2)=f(2),则函数则函数 f(x)是偶函数是偶函数若若f(-2)f(2),则函数则函数 f(x)不是偶函数不是偶函数 例例3.已已知知函函数数y=f(x)在在R上上是是奇奇函函数数,而而且且在在(0,+)上是增函数上是增函数,证明证明y=f(x)在在(-,0)上也是增函数上也是增函数.证明证明:任取任取x1,x2(-,0),且且x1x2.f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数,则则又又f(x)在在R上是奇函数上是奇函数,即即 f(x1)f(x2).所以函

10、数所以函数y=f(x)在在(-,0)上是增函数上是增函数.已已知知函函数数y=f(x)是是偶偶函函数数,而而且且在在(0,+)上上是是减减函函数数,那么那么y=f(x)在在(-,0)上是增函数还是减函数上是增函数还是减函数?解解:任取任取x1,x2(-,0),且且x1x20,f(x)在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数,f(x1)f(x2).f(x)是偶函数是偶函数,f(x1)f(x2).故故f(x)在在(-,0)上是增函数上是增函数.已已知知函函数数y=f(x)在在R上上是是偶偶函函数数,而而且且在在(0,+)上上是是减函数减函数,那么那么y=f(x)在在(-,0)上是增函数还是减函

11、数上是增函数还是减函数?【1 1】已知函数已知函数 f(x)是奇函数是奇函数,当当 x00时时,f(x)=x(1+1+x);当当 x 0 0 时时,f(x)等于等于 ().().B 【2】已知已知 f(x)是定义在上的奇函数是定义在上的奇函数,当当x0时时,f(x)=x2+x-1,求函数求函数f(x)的表达式的表达式引申：如果改为偶函数呢？引申：如果改为偶函数呢？xyo一、奇函数、偶函数的图象性质一、奇函数、偶函数的图象性质1.奇函数的图象关于原点奇函数的图象关于原点成中心对称图形成中心对称图形;2.偶函数的图象关于偶函数的图象关于y 轴轴成轴对称图形成轴对称图形.奇偶函数图象的性质可用于：奇

12、偶函数图象的性质可用于：简化函数图象的画法；简化函数图象的画法；判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性.例例1.已知函数已知函数y=f(x)是偶函数是偶函数,它在它在y轴右边的图象如图轴右边的图象如图,画出画出y=f(x)在在 y轴左边的图象轴左边的图象.解解:画法略画法略oyx(一一)简化函数图象的画法简化函数图象的画法【1】作出作出函数函数 y=x2-2|x|-3 的图象的图象-3-31 1-1-1oxy点点评评:用用对对称称法法作作图图时时,先先作作出出 x0 0的的图图象象,由由函函数数是是偶偶函函数数,再用对称法作出另一半的图象再用对称法作出另一半的图象.【2】如如果果奇奇函函数数f(x)

13、在在区区间间3,7上上为为增增函函数数,且且最最小小值值是是5,则在区间则在区间-7,-3上有没有上有没有最大值最大值？是多少？是多少？解解:如图所示如图所示函数有最大值函数有最大值-7-3-535xy7o 函数函数f(x)在区间在区间-7,-3上为增函数上为增函数.【3】已知已知f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)是奇函数，是奇函数，试将下图补充完整。试将下图补充完整。【4】判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：（非奇非偶（非奇非偶函数函数）（奇函数奇函数）00yxf(x)yxg(x).（偶函数偶函数）【5】已知已知f(xf(x)=x)=x5 5+bx+bx3 3+cx+cx且且f(-

14、2)=10f(-2)=10，那么那么f(2)等于（等于（）。）。A A、-10 B-10 B、10 C10 C、20 D20 D、与、与b b、c c有关有关【6】下面四个命题中，正确的个数是（下面四个命题中，正确的个数是（）奇函数的图像关于原点对称。奇函数的图像关于原点对称。偶函数的图像关于偶函数的图像关于y轴对称。轴对称。奇函数的图像一定过原点。奇函数的图像一定过原点。偶函数的图像一定与偶函数的图像一定与y轴相交。轴相交。A A、4 B4 B、3 C3 C、2 D2 D、1 1【7】如果定义在如果定义在3-a,5上的函数上的函数f(x)为奇函数，那么，为奇函数，那么，a=_ AC8思考思考

15、你能画出你能画出f（x）的大致图像吗）的大致图像吗？xy0答案：答案：1.函数奇偶性的定义函数奇偶性的定义 定义法定义法利用利用性质性质2.2.函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定图象法图象法:画出函数图象画出函数图象考查函数定义域是否关于原点对称；考查函数定义域是否关于原点对称；判断判断f(-x)f(x)之一是否成立；之一是否成立；作出结论作出结论.一个函数为奇函数一个函数为奇函数它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y 轴对称轴对称.3.3.性质性质:奇奇函函数数在在关关于于原原点点对对称称的的区区间间上上具具有有相相同同的的单单调调性性;偶偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(2)在定义域的关于原点对称的公共区间内在定义域的关于原点对称的公共区间内奇奇奇奇=奇奇;偶偶偶偶=偶偶;奇奇偶偶=非奇非偶非奇非偶.偶偶偶偶=偶；奇偶；奇奇奇=偶；偶偶；偶奇奇=奇奇.(1)(1)奇函数、偶函数的图象特点奇函数、偶函数的图象特点(3)(3)奇偶性与单调性的关系奇偶性与单调性的关系