重庆市南开中学校2023-2024学年高三上学期开学考试数学试卷含答案.pdf

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1、重庆市高重庆市高 2024 届高三第一次质量检测数学试题届高三第一次质量检测数学试题注意事项：注意事项：1.本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择

2、题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合2540AxZ xx，集合2Bx yx，则集合AB的子集的个数是（）A.2B.4C.7D.82.命题“1x，21x 的否定是（）A.“1x，21x”B.“1x，21x”C.“1x，21x”D.“1x，21x”3.设0.2log0.3a，2log 0.3b，0.32

3、c，则（）A.abcB.bcaC.acbD.cab4.已知函数2()3f xkxxk的定义域为 R，则实数 k 的取值范围为（）A.0k 或32k B.32k C.3322kD.302k5.某高铁动车检修基地库房内有 AE 共 5 条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车 01、02、高铁 01、02、03 共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车 01 停放在 A 道的概率为（）A.14B.15C.18D.1106.已知函数2s1()login1xf xxx，则不等式 021f xfx的解集为（）A.1,3 B.11,3C.11,23D.11,27.已知函数215,

4、022()2,0 xxx xf xex，若关于 x 的方程 f xm有四个不同的根1234,x xx x（12xx34xx），则314242xex xx x的最大值是（）A.55ln32B.5ln24C.5ln3D.132e8.已知 a，bR，关于 x 的不等式xeaxb在 R 上恒成立，则ab的最大值为（）A.3eB.2eC.2eD.3e二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分

5、，有选错得分，有选错得 0 分分.9.定义在 R 上的偶函数 f x满足 24f xfx，且 f x在0,1单调递增，则以下说法一定正确的是（）A.f x为周期函数B.12fC.20232f D.f x在3,4单调递减10.两个具有相关关系的变量 x，y 的一组数据为11,x y，22,nnxyxy，求得样本中心点为,x y，回归直线方程为ybxa，决定系数为2R；若将数据调整为11,1x y，22,1,1nnxyxy，求得新的样本中心点为,x y，回归直线方程为yb xa，决定系数为2R，则以下说法正确的有（）附121()niiiniixxyybxx，aybx，22121()1niiinii

6、yyRyy A.yyB.bbC.aaD.22RR11.已知离心率为22的椭圆2222:1(0)xyCabab的左，右焦点分别为1F，2F，过点1F且斜率为0k k 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，A 在 x 轴上方，M 为线段AB上一点，且满足11934AMMFF B ，则（）A.1 21 23AF FBF FSSB.直线 l 的斜率为2C.2AF，AB，2BF成等差数列D.2AMF的内切圆半径13ra12.已知实数 a，b 满足0ab，函数 xxf xaebecx（e 为自然对数的底数）的极大值点和极小值点分别为12,x x，且12xx，则下列说法正确的有（）A.0a B.20acC.1

7、20 xxD.120()()f xf x三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知随机变量 X 服从二项分布,01B n pp，若2E XD X，则p _.14.已知实数 a，b 满足 22log1log1abab，则2ab的最小值为_15.随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断推出政策促进再生资源的回收利用.某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023 年起该厂新增加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可冶

8、炼 3 万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年末的累计金属总产量的 10%.若截止 2022 年末这家冶金厂该金属的累计总产量为 20 万吨，则估计该厂 2024 年的金属产量为_万吨，预计到_年，这家厂当年的金属产量首次超过 15 万吨.（参考数据：lg1.10.0414，lg30.4771）16.已知抛物线28yx焦点为F，斜率为k的直线过F交抛物线于A，B，AB中点为Q，若圆2249xy上存在点 P 使得12PQAB，则 k 的取值范围是_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明

9、过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知数列 na是公差为 3 的等差数列，数列 nb是公比为 2 的等比数列，且2442aab，1323aabb.（1）求数列 na、nb的通项公式；（2）设数列211lognnab的前 n 项和为nS，求证：1613nS.18.（本小题满分 12 分）如图，多面体EFABC中，FA 平面ABC，且/FA EB，2EBBABC，4FA，M 是FC的中点.（1）求证：平面CEF 平面CAF；（2）若3ME，求直线ME与平面CBE所成角的大小.19.（本小题满分 12 分）已知函数 2lnf xxxax在1x 处的切

10、线 l 和直线0 xy垂直.（1）求实数 a 的值；（2）若对任意的1x，20,2x，12xx，都有12221212()()xxf xf xxxmee成立（其中 e 为自然对数的底数），求实数 m 的取值范围.20.（本小题满分 12 分）为了带动节能减排的社会风尚，引导居民错峰用电，某地区下个月开始将实行分时电价.过去居民用电实行的是阶梯电价，每月用电量不超过 180 度的部分，按照每度电 0.45 元收取，超过 180 度的部分，按照每度电 0.6 元收取.而新的分时电价则是将每日 24 小时分为峰段、谷段、平段三个时段，按照峰段每度电 0.6 元，谷段每度电 0.4 元，平段每度电 0.

11、5 元收取.该地区一位居民为了预估自己下个月的用电费用变化，他做了以下工作：首先，为了估计开空调与不开空调的用电量，他统计了过去一些天自己家的日均用电情况后得出结论：开空调时的每日用电量为 10 度，不开空调时的每日用电量为 5 度.然后，他统计了一天中三个时段的用电量比例，在开和不开空调的情况下分别如下图：假设下个月一共 30 天，每天他开空调的概率均为 p（01p）.（1）根据他统计的每日用电量数据，若下个月的某一天用电量为 X 度，求 X 的分布列和期望E X（用 p 表示）.（2）根据他统计的各时段用电量比例，使用分时电价计价时，若开空调时的每日平均用电费用为 a 元，不开空调的每日平

12、均用电费用为 b 元，分别求 a，b；若使用分时电价计价时下个月某一天他的用电费用为 Y 元，求 Y 的分布列和期望 E Y（用 p 表示）.（3）如果用阶梯电价计算全月电费时，将每日用电量视为E X；用分时电价计算全月电费时，将每日用电费用视为 E Y.要使该居民下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用，则 p 的取值范围为多少?21.（本小题满分 12 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右顶点分别为 A、B，渐近线方程为12yx，焦点到渐近线距离为 1，直线:lykxm与 C 左右两支分别交于 P，Q，且点2 32 3,33mk在双曲线 C 上.

13、记APQ和BPQ面积分别为1S，2S，AP，BQ的斜率分别为1k，2k（1）求双曲线 C 的方程；（2）若12432S S，试问是否存在实数，使得1k，k，2k.成等比数列，若存在，求出的值，不存在说明理由.22.（本小题满分 12 分）已知函数 sinln1f xxx（1）求证：当1,2x 时，0f x；（2）求证：111111ln(1)sinsinsinsinlnln2N224622nnnn.重庆市高重庆市高 2024 届高三第一次质量检测数学试题参考答案与评分细则届高三第一次质量检测数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题小题.每小题每小题 5 分

14、，共分，共 40 分分.1-4DBDB5-8CBAB3.D【解析】0.20.20.2log0.3log1,log0.20,1()a，22log 0.3log 10b，0.30221c，故cab4.B【解析】由题：230kxxk恒成立，易知0k 时不满足，0k 时，有2039402kkk 5.C【解析】记M“两动车相邻”，N“动车 01 停在 A 道”，则332424()1()8An MNP N Mn MA A6.B【解析】由题知10111xxx ，易知 0fxf xf x为奇函数又2212loglog111xyxx和sinyx在1,1递增，故由 21210121111312f xfxf xfx

15、fxxxx 7.A【解析】由图可知当且仅当01m时，方程 f xm有四个不同的根，且125252xx ，由题：332ln(2)xemxm，442ln(2)xemxm，3214422(2)5ln(2)25ln(2)4xex xx xmmmm 设 01)(2524h mmln mm 则12()2mh mm，令 1012mmh，1()002h mm故 h m在10,2递增，在1,12递减，max15()5ln322h mh8.B【解析】由图像可知，0a 不成立，则0a，要ab最大，需要0a，0b；1b 时，0 x 时不成立，则01b；对于取定的 b，要ab最大需要 a 更大，所以只需过(0,)b作x

16、ye的切线，切线斜率即为最大的 a.设切点,tt e，则0ttebet即tae，1tbt e 21tabt eg t，22212112tttgtteet e 所以在12t 取得最大值2e二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错得分，有选错得 0 分分.9.ABD10.BC11.AC12.ABD9.ABD【解析】由于 24f xfx，得到 f x关于1,2对称，又因为定义域为 R，所以 12f，B 正确；因为是偶函数 224f xfxf x，44244f xf

17、xf xf x，所以周期为 4，A 正确；由于周期性和奇偶性，2023112fff，C 错误；由于周期为 4，f x在3,4的单调性与1,0的单调性相同，由于偶函数，在1,0的单调性与(0)1，的单调性相反，所以 D 正确.10.BC【解析】123123111111nnyyyyyyyyyynn ，错误；b的计算中，ix数据不变，1iiyyyy也不变，所以b不变，B 正确；11aybxybxaa ，C 正确；由于22121()1niiiniiyyRyy，iy变成了1iy，1yy，11iiiiyb xabxay，从而iiyy，iyy都不变，所以22RR，D 错误.11.AC【解析】由11934AM

18、MFF B 可得：1 21 21133AF FBF FAFF BSS，故 A 正确设1,0Fc，2,0Fc，:l xtyc，由椭圆离心率为22可得：2ac，bc，故椭圆方程可化为：22222xyc，联立直线 l 方程整理得：222220tytcyc.设11(),A x y，22(),B xy，.则有：12222tcyyt，21222cy yt，又由113AFF B可得：123yy，联立可解得：2221111tkkt ，故 B 错误由12145kAF F ，.又1OAOFA为上顶点，22AFac，24 2233ABccc，225 243BFaAFABc，易知满足222 ABAFBF，故 C 正确

19、对于 D：由前面的分析知：2AMF是以 A 为直角的直角三角形，故内切圆半径222AMAFMFr35 2222144244cccca，故 D 错误12.ABD【解析】由题方程 2200 xxxxxxxaecebfxaebecaecebe有两不等实根12,x x，且 f x在1(),x，2(),x 上单调递增，在12,x x单调递减，故0a.A 正确令xte，0t，则方程20atctb有两个不等正实根1t，2t，其中11xte，22xte，从而有：240cab，00abba 2204222020cacacacaca12000cttcaa 1200bttba，又0ab，故12121210 xxbt

20、texxa，故 B 正确，C 错误对于 D：12121212()()()()()xxxxf xf xa eeb eec xx11121211()()a ttbc xxtt1212()()0ccabc xxc xxab，D 正确三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.1214.32 2 15.5.5，2035 16.2 262 26,1313 13.12【解析】X 服从二项分布,B n p，则E Xnp，1D Xnpp所以21npnpp，12p 14.32 2【解析】若22log1log1ab，则ab不成立；若2221log(1)l

21、og(1)log1abb，则111ab，abab，111ab所以1122(2)2132 2baabababab，2ba时取得15.5.52035【解析】设 2023 年为第一年，第 n 年该厂的金属产量为na，截止第 n 年末这家冶金厂该金属的累计总产量为nS，11(2)20(1)nnnSa nSa n120 10%35a，220510%35.5a，故 2024 年产量为 5.5 万吨，10.13nnaS，10.13nnaS作差得10.12nnnaaan，所以11.12nnaan，211.1aa也成立，所以15 1.1nna，由15 1.115nna得11.13n，(1)lg1.1lg3n l

22、g30.4771(1)11.5lg1.10.0414n，则 n 取 13，为 2035 年16.2 262 26,1313【解析】设AB中点为00,Q xy，12PQAB即PAPB，P 在AB为直径的圆上.所以只需该圆与AB为直径的圆有公共点即可.设直线:2AB yk x，联立得2228kxx解得21202242xxkxk，04yk，0122rABx所以圆心距2200(4)dxy，3dr即可（不可能内含）则22000(4)5xyx化简得20029yx，代入得221642 29kk，282 262 26,131313kk 17.解：（1）由题意可得111121282266abab，解得13a，1

23、2b，因为数列 na的公差为 3，数列 nb的公比为 2，所以3nan，2nnb（2）由（1）知：21111 11log3(1)31nnabn nnn111111111111322334131nnnnS易知111yn 在*nN单调递增，故1n，nS取最小值16，n ，13nS 故1613nS成立.18.解：（1）证明：取AC的中点 N，连结MN，BN因为BABC，所以BNCA.因为FA 面ABC，BN 面ABC，所以FABN.又因为CAFAA，所以BN 平面CAF.因为点 M 是FC的中点，所以/MN FA EB，且2FAMNEB.所以四边形MNBE为平行四边形，所以/EM BN，所以EM 面

24、CAF，又EM 平面CEF，从而平面CEF 平面CAF.（2）设点 O，D 分别为AB，EF的中点，连结OD，则/OD FA，因为FA 面ABC，OC 面ABC，所以ODAB.因为3ME，由（1）知3BN，又因为2BCBA所以2AC，所以ABC为正三角形，所以OCAB，因为FA 面ABC，所以OC 面ABEF.故OC，OA，OD两两垂直，以点 O 为原点，分别以OC，OA，OD的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.(3,0,0)C，0,1,0B，0,1,2E，0,1,4F，3 1(,222M设平面CBE的法向量(,)nx y z，则00n CBn BE 所以3020 x

25、yz取3y，则(1,3,0)n ，设ME与平面CBE所成的角为，则1sincos,2n ME，因为0,2，所以6，故ME与平面CBE所成角的大小为6.（2）另解：由于/EM BN，所以即求BN与平面CBE所成的角.又因为FA 面ABC，FA 面EBC，所以面ABC 面EBC，而BN 面ABC，面ABC 面,EBCBC所以BN在面EBC的投影为BC，则CBN即为所求角.而3MEBN，2BABC，所以1MC，2AC，则ABC为正三角形，而 N 是AC的中点，所以6CBN，故ME与平面CBE所成角的大小为6.19.解：（1）1()2fxxax，13fa由题知 11f，312aa （2）不妨设1202

26、xx，则120 xxee，由题可得：122212121()()()xxf xf xxxeef xm1222122()xxxmef xxem，设 2xg xf xxme，则：12()()g xg x故 g x在0,2单调递增，从而有：11()202xxg xmemexx在0,2上恒成立，设1()2xh xex，则 minmh x2221121()2(02)xxxxxh xeeexxxx 2021211012hxxxxxx 001hxx h x在0,1单调递减，在1,2单调递增.又1(1)he，故 h x在0,2上最小值min1()h xe 从而有1me，即1,me 20.解：（1）X 的分布列为

27、X510P1pp5 11055E Xppp（2）开空调时每日用电量：峰段1030%3度，谷段1040%4度，平段1030%3度，则3 0.640.43 0.54.9a 元不开空调时每日用电量：峰段560%3度，谷段520%1度，平段520%1度则50.61 0.41 0.52.7b 元Y2.74.9P1pp 2.7 14.92.72.2E Yppp（3）分时电价总电费为30 2.72.28166pp（元）30 天总用电量30 55150150pp度0.2p 时，阶梯电价总电费为0.45 15015067.5 1pp（元）0.2p 时，阶梯电价总电费为0.45 1800.615015018063

28、90pp（元）所以，0.2p 时，816667.5 113.51.50ppp，9p，不成立；0.2p 时，8166639018240ppp，34p 综上，3,14p时，下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用.21.解：（1）由题可得2222212112baccab2a，22114:bCxy（2）由点2 32 3,33mk在22:14xCy上可得：2243mk.联立ykxm和22:14xCy整理得：222148410kxkmxm设11(),P x y，22(),Q xy，则有：122814kmxxk，21224(1)14mxxk，221641640mk 又由直线交左右两支

29、各一点可得：2221224(1)10140414mxxkkk 222212121228 111()414kPQkxxkxxx xk2,0A 到直线:lykxm的距离1221kmdk，2,0B到直线:lykxm的距离2221kmdk2212121222224311484322211(14)mkd dS SPQ dPQ dkkk2213(14)16kk（2140k）又121212121221222()4yyy yk kxxx xxx，其中2222121212122243()()()1414mky ykxm kxmk x xkm xxmkk212212224(1)842()424141414mx x

30、xxkkk1212122132()44y yk kx xxx 假设存在实数，使得1k，k，2k成等比数列，则有22212133 2642kk k ，故存在3 22 满足题意22.解：（1）首先发现 00f，而1cos1()fxxx，1,0 x 时，cos1x，111x，()0fx，()f x单减则 00f xf成立；0,2x时，2sin1()(1)fxxx 在0,2x时单减，010f，2111 10212f ，所以存在0,2x，00fx，fx在0(0,)x单增，0,2x单减，而 00f，所以00()fx，又02f所以存在10,2xx，10fx，fx在1(0,)x单增，1,2x单减，由于12e

31、所以1ln11 1022f ，所以在0,2上 0f x 综上，0f x 在1,2x 恒成立得证.（2）由（1），102fn，11sinln122nn所以111135721sinsinsinsinlnlnlnln24622462nnn从而111146822sinsinsinsinlnlnlnln246235721nnn两式相加得：11113456222 sinsinsinsinlnlnlnlnlnln(1)2462234521nnnn所以左边得证；又由（1），102fn，1121sinln1ln222nnnn，12sinln221nnn所以111142sinsinsinsinlnlnlnln24

32、623212615nnn从而111121sinsinsinsinlnlnlnln246222235124nnn两式相加得：111134522 sinsinsinsin2ln2lnlnlnln2ln2ln246223421nnnn所以右边得证.（右边不等式另证）设1111sinsinsinln222ln24nann先证明sinxx在0,2成立：sing xxx，cos10gxx，g x单减，00g xg则1111sinln1ln2ln20222a 而1111111sinln(12lnl)222222nnnaannnnnn设(0,1)1ntn，构造11()(1)22lnh ttt，111 1()122th ttt 可知在0,1，h t单增，10h th所以10nnaa，na单减，则10naa