6.3.1+平面向量基本定理+课件——2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用6.3.1 平面向量平面向量基本定理基本定理平面平面向量向量基本定理基本定理教学目标 了解平面向量基本定理（重点）01 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（重点）02 初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法（难点）03 能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.04平面平面向量向量基本定理基本定理学科素养 平面向量基底定理理解数学抽象 平面向量基底定理理解直观想象 用基底表示向量逻辑推理 用基底表示向量数学运算 数据分析 用向量解决实际问题数学建模01知知 识识 回回 顾顾Retrospective Kn

2、owledge平面平面向量向量基本定理基本定理OABACB向量的加法：三角形法则中强调三角形法则中强调三角形法则中强调三角形法则中强调“首尾相连首尾相连首尾相连首尾相连”；平行四边形法则中强调；平行四边形法则中强调；平行四边形法则中强调；平行四边形法则中强调的是的是的是的是“共起点，不共线共起点，不共线共起点，不共线共起点，不共线”.向量的减法（三角形法则）：(1)(1)起点相同；起点相同；(2)(2)减向量的终点指向被减向量的终点减向量的终点指向被减向量的终点.平面平面向量向量基本定理基本定理 一般地，我们规定实数 与向量a a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a a，它的长度

3、与方向规定如下设、为实数，那么(1)(a a)=()a a(2)(+)a a =a a+a a(3)(a a+b b)=a a+b b(1)|a a|=|a a|；(2)0时，a a 与a a 方向相同；0时，a a与a a方向相反；向量的加、减、数乘运算加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算向量的线性运算向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是向量.02知知 识识 精精 讲讲Exquisite Knowledge平面平面向量向量基本定理基本定理 我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不

4、共线向量表示呢？平面平面向量向量基本定理基本定理 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的合力.类似地，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？平面平面向量向量基本定理基本定理探究探究 如图（1），设 是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与 都不共线的向量.如图（2），在平面内任取一点O，作 ，.将 按 的方向分解，你有什么发现？图（图（1 1）图（图（2 2）平面平面向量向量基本定理基本定理由共线可知,存在实数 ，使得：所以即 如图，过

5、点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M;过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，根据向量的平行四边形法则，有也就是说，与 都不共线的向量 都可以表示成 的形式.当 与 或 共线的非零向量时，也可以表示成 的形式；当 是零向量时，同样可以表示成 的形式.（为什么？）（为什么？）平面平面向量向量基本定理基本定理当 是与 或 共线的非零向量时，也可以表示成 的形式.当 是零向量时，同样可以表示成 的形式.综上所述：平面内任一向量 都可以按 的方向分解，表示成 的形式，而且这种表示形式是唯一的.（为什么是唯一的？）（为什么是唯一的？）平面平面向量向量基本定理基本定理综上所述：平面内任

6、一向量 都可以按 的方向分解，表示成 的形式，而且这种表示形式是唯一的.（为什么是唯一的？）（为什么是唯一的？）如果 还可以表示成 的形式，那么 ,可得：，所以 .如果 不全为0，不妨设 ，那么 ，由此可得 共线，这与已知 不共线相矛盾.所以 ，即有且只有一对有且只有一对有且只有一对有且只有一对实数 ，使 平面平面向量向量基本定理基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使 a=1e1+2e2如果e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基

7、底基底 由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便平面平面向量向量基本定理基本定理【练习】判断正误(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底()(2)基底中的向量可以是零向量()(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的()(4)已知e1，e2是平面内两个不共线向量，若存在实数，使得e1e20，则0.()平面平面向量向量基本定理基本定理平面向量相等的充要条件平面向量相等的充要条件平面向量相等的充要条件平面向量相等的充要条件 如果e1，e2不共线，且a=1e1+2e2，b=1e1+2e2，那么【练习】已知

8、e1，e2不共线，且a=e1+2e2，b=ke1-e2，若a/b,则实数k的值 为：.平面平面向量向量基本定理基本定理【例1】如图，不共线，且 ，用 表示 .【解析】因为 ，所以因为A，B，P三点共线，所以系数和等于1，即(1-t)+t=1平面平面向量向量基本定理基本定理【例2】如图，CD是ABC的中线，且CD AB，用向量方法证明 ABC是直角三角形CADB【证明】如图，设 所以 因为 ，所以CDDA所以 因此CACB结论成立则 因为 03拓拓 展展 提提 升升Expansion And Promotion平面平面向量向量基本定理基本定理已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke

9、2与 ke1e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_平面平面向量向量基本定理基本定理已知ABC的重心为G，求证：.04归归 纳纳 总总 结结Sum Up平面平面向量向量基本定理基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使 a=1e1+2e2平面向量相等的充要条件平面向量相等的充要条件平面向量相等的充要条件平面向量相等的充要条件 如果e1，e2不共线，且a=1e1+2e2，b=1e1+2e2，那么05课课 后后 作作 业业Homework After Class平面平面向量向量基本定理基本定理已知e1，e2不共线，且a=e1+2e2，b=ke1-e2，若a/b,求实数k的值.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE=xAB+yAD，则x2+y2=.