重庆市铜梁2023学年高考数学一模试卷含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在 A/WC 中，c o s A s i n 3网 （）A.充分而不必要条件 B.必要

2、而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.在直角坐标系中，已知A（1,0）,B（4,0）,若直线x+3-1=0上存在点P,使得照|=2|尸叫则正实数,的最小值是（）A.-B.3 C.D.J33 33.已知，：训%,则下列说法中正确的是（）5 2A.是假命题 B.。人4 是真命题C.pv（-q）是真命题 D.p/（F）是假命题4.下列不等式成立的是（）A.而 5T B-（J （J c.%异嗔5 D.图 趴5.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00 12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5 分钟的概率是（）

3、6.在(1 一B 5+(1-6 +(1-)7+(1-乃8的展开式中，含 F 的项的系数是()A.74 B.121 C.-74 D.-1217.根据如图所示的程序框图，当输入的工值为3 时，输出的）值等于（）A.1B.eD.e-28.如图，圆。是边长为2 G的等边三角形ABC的内切圆,其与8。边相切于点。，点M为圆上任意一点,8M=x3A+j3O (x,y e R),则 2x+y 的最大值为()1 1.如 图 是 二 次 函 数 一 法 的 部 分 图 象，则函数g(x)=alnx+/(x)的零点所在的区间是()A.0B.百C.2D.2夜9.已知向量。=:(3sinx,-2),6=(l,cosx

4、)，当4_1匕时，cos 2%+-j=()_121266A.B.C.D.131310.复数二满足z(1)=词,则 复 数z等 于()A.1-ZB.1 +zC.2D.-2A.B.C.(1,2)D.(2,3)12.设 a =l o g 3().5,b=l o g02 0.3,c=2 -3 则。，dc 的大小关系是()A.a b c B.a c b C.c a b D.c b a二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.函数/(x)=71o g2x-2 的定义域是.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为P

5、,各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设 X为其中成活的株数，若 X的方差。X=2.1,P(X=3)P(X=7),贝|=.15.在三棱锥PA B C 中，三条侧棱R 4、P B、PC 两两垂直，P B =PA +1,PA+P C =4,则三棱锥P-A B C 外接球 的 表 面 积 的 最 小 值 为.16.已知产为抛物线C：V=4 x的焦点，过 尸 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线12,直线4 与。交于A、B 两 点,直线4与 C 交于O、E 两点，贝！|AB|+|O E|的最小值为.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1

6、2 分)已知函数/(x)=e -x+；x 2.(1)若 0 工 2，且/(%)=/()，求证：须;“2)x2+ax+b,求+A 的最大值.18.(12分)在平面直角坐标系X。)，中，点 P是直线/:x =1上的动点，口(1,0)为定点，点。为 PF 的中点，动点M满足MQ-Pb=(),且=设点M 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)过点尸的直线交曲线。于 A ,B 两点，T为曲线C 上异于A,3 的任意一点，直线：E4,分别交直线/于。，E 两点.问ZD E E 是否为定值？若是，求 ND E E 的值；若不是，请说明理由.19.(12分)如 图，在正四棱锥P-A B C。中，底面正

7、方形的对角线4。,8。交于点。且 0 尸=，4 日2（1）求 直 线成与平面PC D 所成角的正弦值；（2）求锐二面角B-PD-C 的大小.20.（12分）一张边长为2，的正方形薄铝板A B C D （图甲），点 E,尸分别在A B,上，且 A E =C E =x （单位：加）.现将该薄铝板沿E F 裁开，再 将 如 E 沿。折叠，A D C E 沿。尸折叠，使。A,。重合，且 A C 重合于点”，制 作 成 一 个 无 盖 的 三 棱 锥 形 容 器（图乙），记该容器的容积为V （单位：,/），（注：薄铝板的厚度忽略不计）图甲（1）若裁开的三角形薄铝板E F B 恰好是该容器的盖，求 x,V

8、的值;（2）试确定x的值，使得无盖三棱锥容器D-M砂 的 容 积 V最大.21.（12 分）已知/（x）=k+4（a wR）.（1）若“力 引 2%-1|的解集为 0,2,求“的值；（2）若对任意xeR,不 等 式/（x）=l +3 s i n（x +工）恒成立，求实数。的取值范围.4丫2 2422.（10分）己知点E,产分别是椭圆。：=+=1（。人0）的上顶点和左焦点，若 E F 与圆/+:/=相切于矿 b 3点 T,且点丁是线段所靠近点七的三等分点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线/:y =Ax+?与椭圆C只有一个公共点p,且点尸在第二象限，过坐标原点。且与/垂直的直线/与圆/=8相交

9、于A,8两点，求 处面积的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】由余弦函数的单调性找出cosA 8,再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos A sin 8”的充分必要条件.【详解】余弦函数y=cosx在区间（0,%）上单调递减，且0 A ，0B B,:.a b,由正弦定理可得sinA sin3.因此，“cos A sin 3”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力,属于中等题.2.D【解析】设点P

10、（l m y,y）,由|B4|=2|P,得关于的方程.由题意，该方程有解，则A 2 0,求出正实数机的取值范围,即求正实数m的最小值.【详解】由题意，设点尸（1一阳,y）.附=2|叫.附2=4|*，即（1-m y_ ）-+J=41（l-m y-4）-+y2,整理得（加2 +1）产+8/孙+12=0,则 =（所）2-4（，2+1卜1220,解得,n N 百 或 m W-百.m 0,：.m /3,用n i n -故选：D.【点睛】本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.3.D【解析】举例判断命题P与g的真假，再由复合命题的真假判断得答案.【详解】当 与 1时，1 81无。（，故。

11、命题为假命题；2记/（x）=6-X的导数为尸（X）=/一1,易知/（x）=*-x在（-8,0）上递减，在（0,+o o）上递增，V（x）/（0）=1 0,即D 无 R,e x,故命题为真命题；”（F）是假命题故选D【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题.4.D【解析】根据指数函数、对数函数、幕函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【详解】对于A,0 一,sin cos ,A错误；2 4 2 211对于B,y=在R上单调递减，.(g j l,10g1-=10g,2.-.log,|log)c错误；2 2 2 3对于D，.y

12、=)在R上单调递增，D正确.故选：D.【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和寻函数的单调性.5.C【解析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】x y设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为以12：oo点为开始算起，则有 在平面直角ly-x 5坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域,1 0?1 0!创 0 1 0-1 仓$5 ap 2 2 _ 1 0,1 0 8故选：C【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数

13、学运算能力.6.D【解析】根据(1 一 叶+(1 -X)6+(l-a+(l X)8,利用通项公式得到含/的项为：(仁+以+窝+图)(X),进而得到其系数，【详解】因为在(1 X)5+(1 X)6+(1 X)7+(1 X)8,所以含/的项为：(仁+仁+C；)(-x j ，所以含的项的系数是的系数是-(或+容+管+或),=-（10+20+35+56）=-121,故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，7.C【解析】根据程序图，当x0继续运行，x=l-2=-l/3x+百 y-/3,sin 8=3x 11 +sin 6x=-3八 cos0 sin

14、。4 2./人 ,4,2x+y=d-1-=sin(e+0)+一 2.cosO sin。2 J3 3 3 3 3+3 3故最大值为：2.故 答 案 为C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.9.A【解 析】根 据 向 量 的 坐 标 运 算 求 出 的-CS(2X+9部p即可求解.【详 解】-2Q _Lb，ctb=3sinx-2cosx=0,.tanx=1 7ry.八 2sinxcosxcos 2x+=-sin2

15、x=-I 2)sin-x+cosx2tanx _ 12tan2 x+1 13*故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.10.B【解 析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.【详 解】复数 z 满足 Z(l ，)=|1 -G i|=2,2 _ 2(1 +0T /(l-z)(l +z)=l +i,故 选B.【点 睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题.1 1.B【解 析】根据二次函数图象的对称轴得出b范 围，y轴截 距，求 出。的范围，判 断g(x)在区间端点函数值正负，即可求出结论.【详 解】：f(x

16、)=x2-b x+a,结合函数的图象可知，二次函数的对称轴为x =g,0/(0)=1,。-2-1-2,:f (x)=2 x-b 9所 以g(x)=a l n x +f(幻=。1 1 1%+2%-/?在(0,+8)上单调递增.又 因 为ga l n-+l-Z?0,所 以 函 数g(x)的零点所在的区间是故选:B.【点 睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.1 2.A【解 析】选 取 中 间 值。和1,利 用 对 数 函 数y =i o g 3*,y =i o g.2x和 指 数 函 数y =2的单调性即可求解.【详 解】因为对 数 函 数y =l o g,X在(),+巧 上 单 调

17、 递 增，所以 kg 0.5(l o g?1 =0,因 为 对 数 函 数V=l o g0 2 X在(),+8)上单调递减,所以 0=log0 21 log02 0.3 2。=1,综上可知,a b 0/.x 4,故定义域为4,+oo）14.0.7【解析】由题意可知：X B（10,p）,且%（*=3）：”=7），从而可得/值.【详解】由题意可知：X B（10,p）10p（l-p）=2.1 fl002-100p+21=0P（X=3）0.5:.p=0.7故答案为：0.7【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题.15.14万【解析】设尸A=x,可表示出P

18、 B,P C,由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积.【详 解】设P A =x则P C =x+1,P C =4 x,由P A PB,P C两两垂直知三棱锥P-A B C的 三 条 棱PA,PB,P C的棱长的平方和 等 于 其 外 接 球 的 直 径 的 平 方.记 外 接 球 半 径 为r,2r =,JX2+（X+1）2+（4-X）2=J 3f -6 x+17当 x=l 时，2%=,%0=半,5表=4兀（半）=14兀.故答案为：14%.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等

19、于这三条侧棱的平方和.16.16.【解 析】由题意可知抛物线C:V=4 x的 焦 点F:（1,O）,准 线 为x=-1设 直 线4的 解 析 式 为y =Z（x-1）直 线4,4互相垂直/,的 斜 率 为-:K与抛物线的方程联立 7（*一1）,消 去y得 产2_（242+4）犬+公=0设点 4（%,乂）8（-%）,。（&,必），0（%4，%）2左 2+4 2；+4由跟与系数的关系得芭+=失算，同 理 工+5=告一kF根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离*|T I B I =%+1+/+1,同理|DE=毛+1 +尤4+12 2+4：.AB+DE=+4=8 +p-+4A:2

20、8+2 J而=16 ,当且仅当 k2=1 时取等号.F故 答 案 为16点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径；(2)圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析；(2)2【解析】(D利用导数分析函数y =/(x)的单调性，并设玉 ，则 不 0,将 不 等 式/(七 型 0等价转化为证明X+w0,构造函数(x)

21、=/(x)-/(X),利用导数分析函数y =/i(x)在区间(F,o)上的单调性，通过推导出/2(不)0来证得结论；(2)构造函数G(x)=x-奴，对实数。分。-,利用导数分析函数y =G(x)的单调性，求出函数丁=6(力的最小值，再通过构造新函数/)：/-/,利 用 导 数 求 出 函 数y =/“)的最大值，可得出a h+)的最大值.【详解】(1)f(x)ex-+x,/(x)=e、+l 0,所 以,函 数y =/(x)单调递增，所以，当x 0时，/(6 =/(x)单调递减；当x0时，/(x)0,此时，函数y =/(x)单调递增.要证/(土 户)0,即证芯+0.不妨设西，则王0，下 证/一%

22、,即 证/(司)=/(*2)/(一%)，构造函数(x)=/(X)-/(-x)=e，x+x +x +鼻%2)=e x 2 x(x 2。/-2 =0,所以，函数 =人(可在区间(一8,0)上单调递增，.%。，即/(%)-/(一%)0,即/(七)=/(3)0,一玉 0且函数y =/(x)在区间(0,+“)上单调递增，所以2-%，即玉+龙2 0，故结论成立;(2)由+ox +恒成立，得e x N or+Z?恒 成 立，令G(x)=e*-公，则 Gf(x)=e -1-4 Z.当。0,函 数y =G(x)在R上单调递增，当x-8时，G(x)f-oo,不符合题意；当。=一1 时，ab+b =0 t 当a 1

23、时，令G(x)0,得x ln(a+l),此 时，函 数y =G(x)单调递增；令G (x)0,得x (+l)2-(a+1)-I n(0,设0(7)=/一J lnf,则=-2 1 nf).当0 r 0,此 时 函 数y =单调递增；当r 时，0,此 时 函 数y =夕(。单调递减.所 以，函 数y =0(。在y 处 取 得 最 大 值，即 以。2=8(8)=%因此，(。+1)人的最大值为【点 睛】本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于难题.rr1 8.(1)J=4x；(2)是 定 值，Z D F E =-.2【解 析】(1)设

24、出M的坐标为(x,y),采 用 直 接 法 求 曲 线C的方程；,%)，7令,%)，求 出4 7方 程，联 立 直 线/方 程 得。点的坐标,同 理 可 得E点的坐标，最 后 利 用 向 量 数 量 积 算E E即可.【详 解】(2)设A 5的 方 程 为x =9+l,，乂)，(1)设 动 点M的 坐 标 为(x,y),由MP=20F(/IGR)知M PO F，又P在 直 线/:x =1上,所以尸点坐标为(Ty),又F(l,o),点Q为P b的中点，所以。呜)，P F =(2,_y),M 2=(X,今设直线A 5的方程为x =)+l,代入V=4x得/一4疗一4 =0,设B(-,y2),v2 卜

25、-y-%-4则乂+以=4，x%=-4,设T(斗,打)，贝y；x +%，4-4 4所以AT的直线方程为y-%=一(x-咚)即y =一x+3，令=-1,则M+N o 4 y +%y+%三案，所以0点的坐标为1箕)，同理E点的坐标为1箕三)，于是)=7，黑；),F E=(-2,4),所 以 皿.此=4 +%十 为）用 4 /乂）。4 =4+-4 y o（+%）+1 6M +%+%y跖 +（%+%）%+T y j-1 6%+16-4+4ry0+yMl叱鬻0告-6=。，从而皿四1T所 以/。庄=”是定值.2【点睛】本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要

26、涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.1 9.(1)迈；(2)6 0 .3【解析】(1)以O E,O F,。尸分别为X轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系，设底面正方形边长为2,再求解B P与平面PC。的法向量,继而求得直线肝与平面P CD所成角的正弦值即可.(2)分别求解平面B P D与平面P D C的法向量，再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.【详解】解：(1)在正四棱锥P-A B CD中,底面正方形的对角线A C,B D交于点0,所以O P _ L平面A B C D,取A B的中点E,B C的中点F,所以。P,O E,。尸两两垂直，故以点。为坐标原点，以

27、。瓦O F,0P分别为K轴,轴,z轴，建立空间直角坐标系.设底面正方形边长为2,因为民所以OP=L所以 3(1,1,O),C(-1,1,0),0(-1,-1,0),尸(0,0,1),所以 3P1),设平面P CD的法向量是=(x,y,z),因为 CD =(O,2,O),C P =(l,-l,l),所以 C D n=-2 y=09C P n=x-y +z=0,取 尸1,贝iJ.y=0,z=-1,所以=(1,O,T)所以 cos B P n _ V 63，所以直线B P与平面P C。所成角的正弦值为逅3(2)设平面3P D的法向量是=(x,y,z),因为 3-(-1,-1,1),加=(-2,-2,

28、1),所以 8 P 后-尸 y +z=0,B D-n=-2x-2y=0,取 x=l,则 y=T,z=O,所以“=(L 1,0),由(1)知平面P C。的法向量是=(1,0,1),、m-n 1所以c o sV机,=时 同=5所以 V 2,ri =60,所以锐二面角B-P D-。的大小为60 .【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题，属于中档题.20.(1)x =l,V =|；(2)当x值为6-1时，无盖三棱锥容器。一M E尸的容积丫最大.【解析】(1)由已知求得x =l,求得三角形8尸的面积，再由已知得到M D _ L平面EA,代入三棱锥体积公式求V的值;(2)由题

29、意知，在等腰三角形M F中，M E =M F =x,则E F =&(2-x),c o sN E M F =，写出三角形面积,X求其平方导数的最值，则答案可求.【详解】解：(1)由题意，A E 7为为等腰直角三角形，又 A E =C F =x,BE=BF=2-x(0 x ,fx)=x3-8(x-l)=(x-2)(x2+2x-4),0 x 0,当x e回1,2)时，f(x)0,当x =石 1时，S A.-有最大值.由(1)知，M D _ L平面E A ,该三棱锥容积的最大值为V u gs.F.M。，且MD=2.当=百-1时，/(X)取得最大值，无盖三棱锥容器。一M瓦 的容积V最大.答:当x值 为

30、逐-1时，无盖三棱锥容器O-MEF的容积V最大.【点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题.21.(1)a=l；(2)(-o o,2【解析】(1)利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出。的值；(2)利用绝对值不等式求出f(x)+x-a 的最小值，把不等式/(x)=1+虚si n(x +f)化为只含有。的不等式，求出不等式解集即可.【详解】(1)不 等 式/(黄,2九一1|,即|x+a 32%一1|两边平方整理得3炉-(2a+4)x+l-a2 3 a2,解得,即 a v 0；综上所述，a的取值范围是（-吟2【点睛】本题考查了

31、含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题.2 222.（1）.+与=1；（2）（0,4 6-4.【解析】（1）连接“，由三角形相似得，。72=，7尸=，进而得出。2=6,=0炉=0+石7 2=2,写出椭圆C的标准方程；y=kx+m（2）由2 得，（3左2+1）/+6 k噂+3m2 6=0,因为直线/:y=Ax+m与椭圆。相切于点p,A=0,-F=16 2 3 kfn m/_解得x=R，y=:一，因为点P在第二象限，所以左 0,m 0,所以?=，6公+2,设直线/与/垂直3H+1 3 k+交于点。，贝！1归。|是点P到直线/的距离，设直线/的方程为y=；x,则|尸。|=#

32、-正,求 出PAB面积的取值范围.【详解】1 2 4解：（1）连接，由 EOTsqOFT可得OT2=ET.7F=a.a=,/=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,2 2椭圆C的标准方 程 上+汇=1；6 2y=kx+m由炉”16 2得，（3斤2+1）%2+6knr+3m2 6=0,因为直线/：丁 =依+?与椭圆。相切于点P,所以4=（6也7）2-4（3r+1）（3-6）=12（6公+2-病）=0,即 加=+2,解得X =-3 km3 k2+m-V-32+l即点P的坐标为-3 km m3甘+13公+1因为点P在第二象限，所以左0,m0,所以m-46尸+2，-3厄k 夜、&2+1 J3A2+1所以点P的坐标为设直线I与/垂直交于点Q,则|PQ|是点P到直线I的距离,设直线/的方程为），=一!，1此+上_ 2 向 _ 2 后 2 拒 242-飞 右+4+出+：+2栏=右=娓 一6，当且仅当次2=即 二=时，|PQ|有最大值遍 一 ,所以s.；X4 0 X|尸加一4,即APAB面积的取值范围为（0,4A/3-4,【点睛】本题考查直线和椭圆位置关系的应用，利用基本不等式，属于难题.