重庆市南川三校联盟2023年高考数学二模试卷含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.总体由编号为01,02,.39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如

2、表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）60666142440665356658544844053596216202321452415248926622158676637541995842367224A.23B.21C.35 D.322.已知实数集R,集合A=x l x ,则AC（CR3）=（）I VX-2JA.x|lx2 B.x|1 x3 C.x|2x3 D.xl x0/0）的焦距为2 c,焦点到双曲线C的渐近线的距离为券c,则双曲线的渐近线方程为。A.y=土下 x B.y-+/2x C.y=x D.y=2x7.已知复数二满足z（l+i）=

3、4-3 i,其中i是虚数单位，则复数z在复平面中对应的点到原点的距离为（8.已知函数/（x）=cos2x+百sin2x+l,则下列判断错误的是（）A.Ax）的最小正周期为万 B./（x）的值域为C.f（x）的图象关于直线，=看对称 D.7（x）的图象关于点（一?,0）对称9.设/为 定 义 在R上的奇函数，当xNO时,/（x）=log2（x+l）+o?一。+1（。为常数）,则不等式/（3%+4）一5的解集为（）A.（-oo,-l）B.（-1,+0/0）的左、右焦点，A 3是c的左、右顶点，点产在过月且斜率为立a b-4的直线上，2X2钻为等腰三角形，ZABP=1 2 0,则C的渐近线方程为（）

4、行A.y=x B.y=2x C.j =x D.y=y/3x2 312.已知函数/（）=/7+-2的零点为,”，若存在实数使f 一0V一Q+3=O且区1,则实数a的取值范围是（）717 一A.2,4 B.2,-C.3 D.2,3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已 知 实 数,且 一。=匕 一/，由 加=_+幺的最大值是_2a b14 .已知 A(4,0),P(a,a+4),圆 0:f +y 2=4,直线 PM,P N 分别与圆。相切，切点为 M,N,若 MR=RN，则I A R|的最小值为.x+-3m16 .已 知 忖=20，”在 方 向 上 的 投 影 为 布，则 a 与

5、力的夹角为.三、解答题：共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .(12 分)如图，在平面直角坐标系直力中，以x 轴正半轴为始边的锐角a 的终边与单位圆。交于点A,且点A的纵坐标 是 典.10(1)求 co$(a-z j 的值：(2)若以x 轴正半轴为始边的钝角B的终边与单位圆。交于点B，且点B的横坐标为一冷，求 a +6的值.18 .(12 分)已知 0 Qg,函数/(x)=R sin(2 x+e)-cos?x.2 2(1)若 8 =5,求/(x)的单调递增区间；(2)若/(2)=-：，求 sin。的值.19 .(12 分)已知函数F(x)=,x3 +x2+2 a,G(x

6、)=a l n x,设/(x)=F (x)-G(x).6(1)当。=一3 时，求函数/(力的单调区间；(2)设方程r(x)=c(其中C 为常数)的两根分别为a,(a 4),证明：/“里 乎)l 时，g(x)0；(ID)确定a 的所有可能取值，使得f(x)g(x)在 区 间(1,+oo)内恒成立.22.(10分)在 0 4 8。中，角 4,B,C 的对边分别是a,b,c,且向量/=(2a c,Z?)与向量”=(cosC,cos8)共线.(1)求 B；(2)若 b=3 出,a=3,且 AZ)=2 O C，求 8。的长度.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四

7、个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5 个个体的编号.【详解】随机数表第1行的第4 列和第5 列数字为4 和 6,所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,2 1,其中落在编号 01,02,.39,40 内的有：16,26,16,24,23,2 1,依次不重复的第5 个编号为21.故选：B【点睛】本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.2.A【解析】0可得集合B，求出补集CRB，再求出A C(CRB)即可.【详解】由 J

8、 x-2 0,得x2,即 8=(2,+oo),所以 CRB=(F,2,所以 AC(C&8)=(1,2.故选:A【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算，属于基础题.3.C【解析】先用诱导公式得/。)=-sin(x-二=cosjx+，再根据函数图像平移的方法求解即可.【详解】函数/0)=-5皿卜一:1|=以%1+?)的图象可由丁=递减后递增._Sy.2T IT/T X.3 0 5ir _/x ,故选：c【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.4.A【解析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上【详解】结合题意，绘制图像COS X向左平移g个单位得到，如图所示J

9、(x)在宗江上先,计算点P的坐标，计算斜率，即可.要计算三角形P A F 周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，P F=P N,所以P F +P A=P A+P N A N A G,故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为,所以斜1-0 _ 4率为 厂=一号，故选A.-14【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等.5.D【解析】将复数化简得z=l+2i1=1-22,即可得到对应的点为(1,-2)，即可得出结果.【详解】z=二 =?+?。+?=l+2z=z=l-2z,对应的点位于第四象限.1-z(l-z)(l+z)故选:D.【点睛】本题考查复数的四则运算

10、,考查共轨复数和复数与平面内点的对应，难度容易.6.A【解析】2 26利用双曲线C：5-方=1(。0/0)的焦点到渐近线的距离为半C,求出。，。的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线C：0-营=1(4 0,。0)的焦点(。,0)到渐近线/”+故=0的距离为*,可得：=C,可得2 =立，-=73,则C的渐近线方程为旷=瓜.777 2 c 2 。故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出。力的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.7.B【解析】利用复数的除法运算化简Z,复数z在复平面中对应的点到原点的距离为|z|,利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数-在复平面中

11、对应的点到原点的距离为I z|,4-3/(4-3 z)(l-z)1-7/1 7 .z=-=-=-=-1.1 +z 2 2 2 2考故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.8.D【解析】先将函数/(x)=cos2 x+G sin2 x+l化为/(x)=2 sin(2 x+l,再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】f(x)=cos 2 x4-V3 sin 2 x+1可得/(尤)=2 g.cos2 x+*.sin2 x+1=2 sin(2 x+)+l2 7 r 2JI对 于A,/(x)的最小正周期为T=；=

12、?=，故A正确；2对 于B,由一 可得1(无)3,故B正确；jr jr对 于C,正弦函数对称轴可得：2与+=攵)+一,(Ze Z)6 21 JT解得：/=Z +,(%Z),2 67T当=0,Xo=-,故C正确；6jr对 于D,正弦函数对称中心的横坐标为：2 Xo+=%；r,(keZ)61 jr解得：xo=-k.7T+,(k G Z)若 图 象 关 于 点 对 称，则=左 乃+二=f-2,解得x 2.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.10.D【解析】中位数指一串数据按从小（大）到 大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数

13、指一串数据的算术平均数.【详解】由茎叶图知，甲的中位数为80+x=8 6,故x=6；7 帖也出将将 78+82+8O+y+89+91+93+97 e c乙的平均数为-=88,解得y=6,所以x+y=12.故选：D.【点睛】本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.11.D【解析】根据PA8为等腰三角形，NABP=120。可求出点尸的坐标，又由PR的斜率为也可得出a，c关系，即可求出渐4近线斜率得解.【详解】因为尸AB为等腰三角形，ZABP=nO,所以IPS|=|AB|=2a,ZPBM=60,:.xp=|PB|cos60+a=la,yp=|PB -sin 60=6 a,i

14、_ 拒a-0 _ 6乂 kpF=-二，PF,2a+c 42a=c/.3/=h2，解得2=6,a所以双曲线的渐近线方程为y=土 瓜,故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.12.D【解析】易知/(x)单调递增，由/(I)=0可得唯一零点m=1,通过已知可求得0 W 4 2,则问题转化为使方程Y 一分 +3=0在区间 0,2上有解，化简可得。=x+l+j-2,借助对号函数即可解得实数”的取值范围.【详解】易知函数/(x)=e i+x 2单调递增且有惟一的零点为加=1,所以|1 一区1,.OWnWZ,问题转化为：使方程x2-ajc-a+3=0在区间 0,2上有解，即a=正 虫

15、=区+1二2(叶1)土4=%+1 +_2在区间 0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数尸”+1+占-2在区间 0,2的值域为 2,3,.2 a 可得。？=。+/?一 匕b2=a+b a2m il_ _ Z 7 2 d a+b a a+b b贝（j M =一 +一 =-+-ah a h=I1 H-b-4+lAd-a-b.-h a.-1-Q -Z?+2a b a h由 几 何 意 义 得 夜-1,1+3,则+为求最大值则当过点A或点3时a+h取最小值，可得用=血-1 +1 +0-9 9冬2=竽+1所以/=贵+土 的 最 大 值 是 述+1a b 2【点睛】本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意

16、义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度。14.2 yli【解析】由M R =R N可知R为中点，设。（天,为），M（x,y）,N（X 2，%），由过切点的切线方程即可求得P M ;xtx+yy=x+=4,P N:x2x+y2y=4,2（毛，%）代入西/+%为=4,%与 +了2y o =4,则汽（尤2，%）在直线町）+）%=4上，即可得MN方程为）+）为=4,将xa=a,y0=a+4,代入化简可得a（x+y）+4y-4=0,（1V/1V则直线MN过定点。（一 1）,由O R _ L M N则点R在以。为直径的圆T:x+上+y-I 2）V 2；

17、=-,则2|A R I m in=A T-r.即可求得.【详解】如图，由M R =R N可 知R为MN的中点，所以OR工MN,PR1MN,p设尸（七,%）,M（%，x）,则切线P M的方程为y-必=一 土（彳一七）,X即 P M:X/+y y =x；+y；=4,同理可得 P N:x2x+y2y=4,因为 P M,P N 都过（方,功），所以X/+乂 =4,%2%+丫2y o =4,所以N（X 2，%）在直线町）+3%=4上，从而直线MN方程为xx+yy0=4,因为玉）=a,%=Q+4,所 以 依+（a +4）y =4=a（x+y）+4 y 4=0,即直线MN方程为a（x +y）+4y -4=0

18、,所以直线MN过定点Q（-1,1）,（i y（i V i所 以R在 以OQ为直径的圆T：x+y =上，2）2）2所以|A R U,=A T r =#=2 V L故答案为：2母.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查圆的切线方程，定点和圆上动点距离的最值问题，考查学生的数形结合能力和计算能力，难度较难.15.1【解析】x +y -3 0,且满足约束条件2x-y +220,的图象为y m,由图可知当y =l o g 2光与y =3-x交于点B(2,l),当直线y =加过B点时，m取得最大值为1.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、

19、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16.-6【解析】由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小.【详解】a在8方 向 上 的 投 影 为c o s =瓜，:.c o s =二&=,即夹角为.1 12 V 2 2 6故答案为：6【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)-(2)a+p =5 4【解析】(1)依题意，任意角的三角函数的定义可知,sin a =，进而求出c o s a=

20、叵.1 0 1 0在利用余弦的和差公式即可求出cosL-I.(2)根据钝角 的终边与单位圆交于点8,且点B的 横 坐 标 是-#，得出c o sP=-弓，进而得出Si n(3=乎，利用正弦的和差公式即可求出s i n (a +，)=与，结合 为锐角，/为 钝 角，即可得出。+的 值.【详解】解：因为锐角a的终边与单位圆交于点A,点A的 纵 坐 标 是 叵,10所以由任意角的三角函数的定义可知,s i a =巫10从而 c o s a =/1 -s i n2 a 10 于 是c o s(把 c o s a c o s型+s i n a s i n型I 4 J 4 4(2)因为钝角耳的终边与单位圆

21、交于点5,且点3的横坐标是-4,5所以 c o s0 =,从而s i n (3=-y/1 -c o s2(3 =-于是 s i n (a +4)=s i n a c o s f3+c o s a s i n /?V i o f 3 7 1 0 2_V210 I 5 J 10 5 2因为a为锐角,为钝角，所以a +从而。+尸=电.4【点睛】本题本题考查正弦函数余弦函数的定义，考查正弦余弦的两角和差公式，是基础题.1 8.(1)一1+左 肛，+左乃(k w Z)；(2)+._ 3 6 6【解析】(1)利 用 三 角 恒 等 变 换 思 想 化 简 函 数y=/(x)的 解 析 式 为/(无)=加

22、小+2卜；，然后解不等式-+2k7T 2 x+-+2k7T(k e Z),可 得 出 函 数v =的单调递增区间;2 6 2由，0=一；得 出3呜+。)=字并 求 出c o s。)的值，利用两角差的正弦公式可求出s i n(p的值.【详 解】(1)当e =(时,/()=s i n 2x+I 3-c o s2 x=ls i n 2 x +2 2、c o s 2 x1+c o s2x722 x+V-,4 4 2 2 I 6 j 24 TT因此，函 数y=/(x)的 单 调 递 增 区 间 为 一+kn,+k/r(Z:e Z)(2)34M+2g4V 3 J 3 2c 7 1 7 1 T l 5 万

23、71 71 5 O 0 一,:.+(p ,一 一+0 V ,2 3 3 6 2 3 6=-937C7%n任+作且。正I2 1 3 J 2 0确 定增区间，由 尸。)0得0 x3,由/（x）3,故函数/（x）在（）,3）上单调递增，在（3,+8）上单调递减.（2）证明：由条件可得/（犬）=一+2-色，xo,ru）=-i+4 X X方 程/（x）=c的两根分别为a,（a。确定增区间，由r（x）C 2 2,“为奇数n，,=()为偶数n、2r=0ZC；CL.2Q,为奇数rt Ir=0=:N o e-;一Z G；CL 2 -?为偶数 n、2故认n)=G”.【点睛】本题考查组合数、二项式定理，考查学生的逻

24、辑推理能力，推理论证能力以及分类讨论的思想.2 1.（I ）当xe（0,）时，f（x）0,/（x）单调递减；当 xe（含,+8）时，f（x）0,幻单调递增；（I I）详见解析；（H I）awg,+8）.【解析】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（I）问，对/（X）求导，再对a进行讨论，判断函数的单调性；第（I I）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论，第（i n）问，构造函数（x）=/（x）-g（x）（xi）,利用导数判断函数（幻的单调性，从而求解a的值.试题解析：(I)f(x)=2 a x-=2 a x

25、 l(%0).X X当。4 0时，/(为 0时，由/(X)=0 有 x=r.72a当X(0,蓑)时,当(x)vo,/(X)单调递减当x e(=,+8)时，f(x)0,/(x)单调递增.(I I 】令s(x)=el-x，则s(x)=e-l.当x l 时，s(x)0,所以e T x,从而g(x)=L-1 0.(I D)由(I I),当x l 时，g(x)0.当a WO,%1时，/(*)=。(一一1)一111%g(x)在区间(l,+oo)内恒成立时，必有。0.1 1当 0 a 1.2 J 2a由(i)有 了(吉)0 所 以 此 时 g(x)在区间a，+8)内不恒成立.当a N：时，令(x)=/(x)

26、-g(x)(x l).、叫 .I rz、c 1 1 1-x 111 X)2x+1 尤2 2x+1当x l 时，h(x)=2.ax-1 z e x-1；-=-0.x x xxx x x因此，在区间(1，+8)单调递增.又因为力(1)=0,所以当 1时，h(x)=f(x)-g(x)o,即因x)g(x)恒成立.综上，a e,+oo).【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.求函数的单调性，基本方法是求了(X),解方程/(x)=o,再通过了(X)的正负确定f(x)的单

27、调性;要证明不等式f(x)g(x),一般证明f(x)-g(x)的最小值大于0,为此要研究函数/?(x)=f(x)-g(x)的单调性.本题中注意由于函数(幻的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较新颖，学生不易想到,有一定的难度.22.(1)B =(2)B D =M3【解析】(1)根据共线得到(2a-c)cos5=co sC,利用正弦定理化简得到答案.(2)根据余弦定理得到c=9,cosC=孟，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】(1)加=(2a-c,。)与 =(cosC,cos3)共线，(2ac)cosB =b c o s C.即(2sin A-sinC)cosB=si

28、n BcosC,:.2sin Acos B=sin(B+C)=sin A即sinA(2cosB-1)=0,VsinA*O,Acos5=-,VBe(0,),2JT(2)b=3币,a=3,B =,在 ABC中，由余弦定理得:cs 人立士Q =,54=0.2ac2x3xc 2贝!Jc=9或c=-6(舍 去).:.cos Ca2+b2-c2 9+63-81-12ah2x3x377-2 s ucuu UUlU,：A D -2 D C t,D C =卜 S在一 BOC中，由余弦定理得:BD2=CB2+C2-2CBD CCOSC=9+7-2X3XV7X =19,2V7 BD=M.【点睛】本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.