2021高考数学全国乙卷理(解析 答案).pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷(参考答案)注意事项:1.答卷前，号生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅空把答题卡上.对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题X一并交回.一、选择题 本题共12小题,每小题5 分.共 60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设 2(z+E)+3(1 T)=，I+6 i,则 m=().A：l-2 i B*1 +2i C*1+i D：1 -i答案：C.解析：设 z=a+

2、bi.则 W =a bi.2(z+司+3(2-3)=4a+66i=4+6i.所以。=L b=l,所以 z=l+i.2.已知集合 S s|,s=2u+，=L n Z,则 S C T=().A：0 B：S C：T D：Z答案：C.解析：8=2+1E Z：当 =2k,k Z 时,S=,|s 二 Ik+1.A r Z;当=2A*+1.k Z 时,S 二1y|s=Ik+3.k W Z).所以T*S,S C T =T.故选C.3.已知命题：3X R.sinj-1;命题(/:YJ*W R.c|r,2 1,则下列命题中为真命题的是().A:p A g B:r p A q C:p A p D:-(p A q)答

3、案：A.解析：p 真,q 真.故选A.4.设函数f(T)=则下列函数中为奇函数的是().A：f(x-1)-1 B：/(X-1)4-1 C：工+1)-1 D：/(r 4-1)+1答案：B.解析：/)一 一】+一关于(-1,-1)中心对称.向右1 个单位，向上1 个单位后关于(0.0)中心对称.所以y=/3 -1)+1 为奇函数.5.在正方体A B CD-AXBXCD中，尸 为 的 中 点,则 直 线PI3与A DX所成的角为().答案：D.解析：如图.NPBC i为直线PI3与.4 5 所成角的平面角.易知小/3 G为正-角形，又 为4,C I中点,所以/P B g=u6.将5名北京冬奥会志愿者

4、分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶I个项目进行培训.每名志愿者只分配到1个项个每个项H至少分配I名志愿者.则不同的分配方案共有（）.A：6()种B:12。种C：2 M)种D：48()种答案：C.解析：所求分配方案数为C,A：=2川.7.把函数y二/）图像上所有点的横坐标缩短到原来的；倍、纵坐标不变、冉把所得曲线向右平移+个单位长度,得到函数y=s in -i）的图像,则/（）=（）.A：呜瑞）B,，呜+三）Ci：sm（2碧）D：sin（2 x 4 治答案：B解析：逆向:y=sin（r亍）一一3期二sinfr+g）朴旭.，的鸣y-sin（9 +合）.故 选B.8.在区间（0,1）与（L 2）中

5、各随机取1个数.则两数之和大于:的概率为（）.4 7 23 k 9 c 2A：-B：-C：X?D：9 32 32 9答案：B.解析：由牌意记，（0,1），1/（1.2）.题目即求工十？；的桩率.绘图如下所示.二一 49.魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经是关于测量的数学著作,其中第一题是测的海岛的刘如图,点 .G在水平线A C上,DE 和 FG是两个垂直水平面旦等而的测成标杆的高度，称 为“表高：E G称 为“表距GC和E H都称为“表目版”与E”的差称为 表目用的差”.则海岛的高A B=（）.表 高x表距米目距的差+表高B：表 福 x表即求目距的差+表距表 高x表距表目距的差表 高 X表 距表口距

6、的差一表高-表 距（第9题图）答案：A.解析：连 接DE交于JU.则.4B=A M+BA/.M B M B x t D（1 I .GC EH、GC-E Ht an 3 t ana i an8 t an arz F G E D E DE D DF 表 高 x 表 即bi“士 表 高,表 距 上占故=GC-E H 二&口 距 的 差,刖入 i=我 目 距 的 差 一 10.设a#0,若工=a为函数/（J?）=a（x-a）2（i -6）的极大值点.则（）.A：a b C：u6 a?答案：D.解析：若。0,其图像如图（I）,此时,。V a b;若a V U,其图像如图（2）,此时,b a 0.心率的取

7、值范围是（）.答案：C.解析：由题意，点5（0 4）设（工小如），则 萼+*=1。/=。气】一 fh故PB2=J*（）4-（物一 6）2=o2（l -患）+就-2如 +b2=一菸诏-2如o +a2+小 6,6 .由题意,当初二 b时,|尸B|2最大.则 w 瓦 d?_ /.w 空 即e J U.苧）.12.设 d =2l nLO Lb=l nl.O 2,c=vT i H -1.P M （）.A：a b cB：b c aC t b a cD:c a b答案：B.解析：设 f(x)=l n(l +x)v T T T r 卜 1.则 ，=/(0.02).易得2(7 7 7-(1+1)/(，)=7 7

8、 7-2，r+2 i一 (1+)+而当上0 时.1十上二 0 1+0 2 2，1+2二 故/”)w 0.所以/)在 0.+x)上单调递减.所以/(0.02)/(0)=0.故b g =0.故”c.综上.a c b.二、填空题 本题共4 小题,每小题5 分,共20分13.已知双曲线C:-y2=1(rn 0)的一条渐近线为限 T+m y=0,则 C的焦距为.m答案：4.=解析：易知双曲线渐近线方程为D=-x,由题意存M=m.庐=1.且一条渐近线方程为y=-.r,则行nmm=0(舍去),m =3.故焦距为2c=4.14,已知向量 a=(L3).b=(3,4),若(a-Xh).L b,则 A 二.3答案

9、：:.o解析：由题意得(a-Xb)b=。，即 15-25A =U,解得入=015.记 A 6 C 的内角A 8.C的对边分别为,6,c,面积为4.B=6 0./+/=3ar,则b=.答案：2 0._解析：SABC=acs i n B =-ac 0.所以 ac=4.由余弦定理、f t2=a2 4-c2 ar=3ac-ac 2ac=8.所以 b=2/2.16 .以图为正视图.在图 中选两个分别作为侧视图和相视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为(写 出 符 合 要 求 的 一 组 答 案 即 可).答案：或 (.解析：由高度可知，侧视图只能为或.(

10、1)(2)侧视图为,如图（1）,平 面P A C，平面ABC.PA-PC=x/2,BA=B。=2.俯视图为.俯视图为，如图（2）.E4 _L平而A 3U PA=l.AC=AB=BC=2.俯视图为.（第16咫图）三、解 答 题 共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17 21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题.考生根据要求作答.图（-）必考题：共5小题.每小题12分，共60分.17.（12 分）某厂研制了 种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用 台III设备和台新设备各生产了 10件产品,得到各件产品该项指标数据如E旧设备9.810.

11、310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.51日设备和新设招生产产品的该项指标的样本平均数分别记为了和讥样本方差分别记为昭和求元产,姆国；I（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果U-F）2 p2则认为新设备牛.产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高）.解：（1）各项所求值如下所示.T=(9.8 4-10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0 4-10.1+10.2+9,7)=10.0,y=(10.1+10.4+10.1+10.0

12、 4-10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,V=,x(9.7 10,0)2+2 x(9.8-10.0)2+(9.9-10,0)2 4-2 x(10.0 10.0)2+(10.1 10.0产+2 x(10.2 10.0产 +(10.3-10.0)2=0.36.4 =，x(KM)1。.3产 +3 x(。-10,3)2+(10.3-10.3)2+2 x(10.4-10.3)2+2 x(10.5-10.3尸 +(10.6-10.3户=0.4.(2)由(1)中数据得9-7=0 3 2 /呻言x O.3 4.显然j；-7 /2.0.1),则m -A P =/2jt+3=1

13、).令/=/5,得 m =(L 2).设平面P M B的一个法向量为n =5.心力,则n C fi=y/irf 0,n-P/i=pif+/-J =0.令/=l,n(0.1.1).所以c o s(m m)=-答.所 以 二 面 角 A -P M -3的 正 弦 值 为 喜.|m|n|y/7 x y/2 1 4 1 41 9 .(1 2 分)2 1记 S”为数列 册 的前n项和 鼠为数列 Sn的前n项枳.己知:+J=2.(1)证明:数列抄”是等差数列;(2)求 6 的通项公式.解：(I)由已知1 F j=2.则-=S”(r?，2).3n M 一3=2 n 26n-1 +2=n bTl b_ (n

14、2 2)“=5.故 b 是以1为苜项,|为公差的等差数列.o Q 71+2 fl-t-1 12 时.bu -二 一；一n+1 n nfn+1)；.32*n=L故。”=/-：-F?n，2，nn+1)20.(12 分)设函数fx =ln(a-r).已知r =0是函数y=j-f(x)的极值点.求。；(2)设函数(/(r)=+&.证明：g(r)1.解：(I)k/(N)r=/(/)+T/3).当上=0时.工 犷=/(0)=ln/i=0,所 以 小=1.(2)由 /(才)=ln(l-),J-1.当 0 V T v 1 时./(ar)=ln(l-r)0.x f(x)x/(x),x+ln(l-x)-x ln(

15、l-z),0.令 1 /二/且，/I),一 1 -f.即证 1 C +ln/-(1 f)ln r X).令/(0 =1 -4-In/-(1 -则ii _(一,/z(t)=1+7 (-1)In f+-j=-1 4-j 4-In i-=In t.所以f(t)在(0 3)上单调递减,在5+8)上单调递增.故f(ty /(!0,得证.21.(12 分)已知抛物线C.产=2py(p 0)的焦点为 且F与阿M :/+4产=I上点的距离的最小值为4.求 :若 点P在M L尸从尸B是C的两条切线.A.B是切点,求尸工8面枳的最大值.解：焦点尸(吗)到 炉+(“+4)2=1的最短距离为 占3 7.所以“一2(2

16、)抛物线y=设4丁2、加).。(心,帆).则4IPA-y=不 工 一 工 一工力+扪=不叫工 一 =不 丁1工一1i/q/Ipn:!/=-$2.且 温=一点-8/-15.tyo-|x iX0-yn IIpzIp B都过点而,则(故IAB:加=/皿 一 n，即期=-r()r -m|曲=针2Ho-%(y=g w -的)，,e2.得工2-2XQX+4如=0,=4xg-16的.=4y所以 AB J1+?.4瑶-16yo=,4 +之./上a-4加,dpAB=所以s 4 P 318=葡 阴,-A B =$K I _ 仙=1宙 _ 4的N =:(一加-12加 一 15)上而 如 w|5,3J.故 当 如=5

17、时，S2P.达到最大,最大值为力彳.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.22.【选修4 一 4:坐标系与参数方程】(10分)在直角坐标系x O y中，C。的园心为f (2,1),半径为1.(1)”出;C的一个参数方程；(2)过 点 门 1)作的两条切战.以坐标踪点为极点山轴正半轴为极轴建立极坐标系.求这两条切战的极坐标方程.J./解：(1)因为。的国I心为(2.1).半径为L故 _ 的参数方程为|1=2 +8”伊为参数).g =1 +sind(2)设切线 y=k(r-4)+1,即上工-；一 Jk+1 =0.故|2._ 1 _妣 十1|=V T+收=可即|2A-|=V T T F,4A-2=1 +必 解 得 k 士辛.故自线方程为 y=?(1-4)+l,y =一 等(一4)+1.故两条切线的极坐标方程为sin6=率cos”1或psmB=噂c o s 6+1.5 J J 求a的取值范围.解：(I)a=1 时,/)=|工 一 1|+|工 +3|,即求|x-1|+|r+3|6的解集.当上2 1时，2 l十 2 2 6,得上2;当一3 工 而由绝对值的几何意义,即求上到。和-3距离的最小值.当工在。和一3之间时最小.此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|-a.3a 2-3 时,2+3 0,得。一 5；此时 不存在.综上,a .