2021届超级全能生高考数学联考试卷(理科)(4月份)(丙卷)(含答案解析).pdf

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1、2 0 2 1届超级全能生高考数学联考试卷（理科）（4月份）（丙卷）一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合4=x e z|-2 c x W 3 ,B=xR|0W x 4,则力nB=()A.%G /?|0%3 B.x G Z|-2 x o）的一个顶点到它的一条渐近线的距离是右则?的值是（）A.1 B.2 C.3 D.49 .如图是某人按打中国联通客服热线1 0 0 1 0,准备借助人工台咨询本手机的收费情况，他参照以下流程，拨 完 1 0 0 1 0 后，需按的键应该是（）1 0 .已知0 a b 1,则()A.3 b 3 a B.(I gay l o gb3 D.(|)a 1

2、=1，a2-:(2)当 为奇数时，a”=.15.如果(1+x+x2)(x-a)5(a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含P 项的系数为.16.抛物线/=16X焦点与双曲线冬一9=1 的一个焦点重合，则曲 线 实 轴 长 为.三、解答题(本大题共7 小题，共 82.0分)17.在AABC中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若B=三,且(a-b+c)(a+b-c)=(I)求 cosC的值；(11)若 1 =5,求 ABC的面积.18.如图，在空间几何体A-8C D E 中，底面BCCE是梯形，且CDBE,CD=2BE=4,Z.CDE=60,4DE是边长为2 的等边三角

3、形.(1)若 F 为 AC的中点，求证：B/7/平面AOE；(2)若4C=4,求证：平面ADE 1平面8 c19.在 2016年 6 月美国“脱欧”公投前夕，为了统计该国公民是否有“留欧”意愿，该国某中学教学兴趣小组随机抽查了 50名不同年龄层次的公民，调查统计他们是赞成“留欧”还是反对“留欧”.现已得知50人中赞成“留欧”的占6 0%,统计情况如表：(I)请补充完整上述列联表;年龄层次赞 成“留欧”反 对“留欧”合计1849岁650岁及50岁以上10合计50(U)请问是否有9 7.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关？请说明理由.参考公式与数据：K2-其中n-a+b +c +d(a+D)

4、(c+d j(a+c)(o+a)P(K 2 k)0.1 50.1 00.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 1k2.0 7 22.7 0 63.8 4 15.0 2 46.6 3 57.8 7 91 0.8 2 82 0.(本小题满分1 0 分)选修4 -1 几何证明选讲如图，A8是00的直径，B E 为圆0的切线，点 c 为0。上不同于A、8的一点，A Z)为/懿 门 的 平分线，且分别与BC交于H,与。交于。，与 B E 交于E,连 结 跳 入CD.(/)求证：8。平分之燧因()求证：A H.B H =A E.H C2 1.已知 椭 圆 抛 物 线 C 2 的焦点均

5、在x 轴上，G的中心和C 2 的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点,其坐标分别为(3,-2 ，(-2,0),(4,-4),(V 2,y).(1)求的，C 2 的标准方程；(I I)过点M(0,2)的直线/与椭圆G交于不同的两点A、B,且乙4。8 为锐角(其中O为坐标原点)，求直线/的斜率&的取值范围.(X=ty =4 +4 费(I 为参数)，曲线G的参数方程为为参数)，以。为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 JL 十 siiicp(1)求直线/和曲线G的极坐标方程；(2)若曲线C 2：。=?(。0)分别交直线/和曲线。1 于点4 B,求需.2 3.设。，b,。均为正数，且a+b+c=

6、1.(1)证明：ab+bc+c a w g(2)若不等式。+尤+N t恒成立，求 f 的最大值.b c a【答案与解析】1.答 案:D解析：解：集合4=x6Z|2 xW 3,B=%e R0 x 4,则4 nB=x e Z|0 S x S 3=0,1,2,3).故选：D.由集合的交集的定义，即可得到所求集合.本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题.2.答案：C解析：解：复数z=n =5(2+i)=%!12=2+i,师VI ，肝 攵以 2-i(2-i)(2+i)5 则z i =(2+i)(2-i)=5,故选：C.利用复数的运算法则、共枕复数的性质即可得出.本题考查了

7、复数的运算法则、共较复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.答案：A解析：解：函数的对称中心为(-1,2),排除BC,/(0)=2-3 =-1 0)；则，(a 2d)+(a d)+Q+(a+d)+(a+2d)=5a=100,:.a=20；由2(Q+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d)；.24d=Ila,55-d=-所以，最小的1份为a-2d=20-券=J.o 3故选：A.设五个人所分得的面包为a-2d,Q-d,a,a+d,a 4-2d,(d 0)；则由五个人的面包和为100,得 a 的值；由较大的三份之和的,是较小的两份之和，得”的值；从而得最小的

8、1份a-2 d 的值.本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果.6.答案：D解析：试题分析：由于给定函数解析式，因此可以一一验证，也可以直接利用性质来得到。由 于 函 数 篇=脸，是偶函数，那么可知选项。成立。而对于选项4金Jte -53!=原点巴 J=赢尚学加配不成立。J J选项8 中，购到=懒第营的周期为丁=榭,因此说要使得函数值重复出现至少增加同爆个单位长度,因此不成立。选 项 C 中，显然不是奇函数，因此错误。故选D.考点：本试题主要是考查了函数的解析式应用。点评：对于三角函数来说，根据三角函数的奇偶性的性质以及周期性，来判定结论的正确与否。一般的就

9、是要代入解析式证明左边和右边相等即可，属于基础题。7.答案：C解析：本题考查了利用几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题.由三视图知该几何体是底面为矩形的四棱锥，根据图中数据计算它的表面积即可.解：由三视图可知：该几何体是底面为矩形的四棱锥，如图所示：根据图中数据，计算它的表面积为S S 矩形A B CD+SAPAB+2SAPAD+S aCD1 1 1=3 x 6+-x 6 x 4+2 x-x 3 x 5+-x 6 x 52 2 2=6 0.故选：C.8.答案：C解析：解：根据双曲线方程可知a =；,b=,4 m所以渐近线为y =7X-取:x -y =0,由于顶点(0 1)，,1则距离d =

10、丁 盍=5 1解得巾2 =9,*,7 7 1 3.故选c.先根据双曲线方程求得4和，进而可得渐近线方程和定点坐标，根据顶点到渐近线的距离等于进而求得m.本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题.9.答案：D解析：解：根据流程图，因为准备借助人工台咨询本手机的收费情况，所以按0.故选：D.根据流程图，因为准备借助人工台咨询本手机的收费情况，所以按0.本题考查流程图的作用，正确读图是关键.10.答 案:C解析：解：,0 a b 1,3 a 3%I ga I gb (I gb)2；言 加可得器，1呜3嗨3;针 (处综上可得：只有C正确.

11、故选：C.利用指数函数和对数函数的单调性即可得出.本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.11.答案：A解析：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与构造函数思想，考查恒成立问题，属于中档题.依题意，可得|2 x -l 2 胃 一 专 言=|1+；1-|2-3,令g(a)=|l+?|2；|，利用绝对值不等式可得9(a)m a x =3,于是解不等式|2%-1|3即可得到答案.解：(x X I Z x-l l，/.|a|2 x -1|a 4-1|-2a-1|,又Q*0,令g(a)=|l+p -|2 -,则 g(a)W|l+；+2-；|=3,当0 3,即2 x -1 3 或2 x

12、-1 4 +3 =2 ，A-c o s20 =+sinB,=3 +c o s20 4-2sin9=4 s i n20 +2sin0=5 (s m 0 l)2,1,5 ,5 1 1-=2-l,则 的最小值为一 1.故答案为：-1.利用向量相等，列出方程，通过三角函数的有界性求出的范围，然后求解表达式的最值.本题考查向量平行与函数的最值的求法，二次函数的简单性质三角函数有界性的应用，考查计算能力.14.答案：圣 詈解析：解：(1)正方体G 各面中心为顶点的凸多面体。2为正八面体，它的中截面(垂直平分相对顶点连线的界面)是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所 以 它 的 棱 长=圣(2)以C

13、2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正 方 体 面 对 角 线 长 等 于 棱 长 的|，(正三角形中心到对边的距离等于高的|)，因此对角线为|X=争 所 以&3=喘=，以上方式类推，得&4=患=?，。5=缪=/当为奇数时，斯=(等，故答案为：(1)当；(2)(等(1)根据条件先求出。2，(2)根据条件依次求出。3,。4,。5,然后利用归纳推理得到：为奇数时，曲 的表达式.本题主要考查等比数列得通项公式，以及归纳推理的应用，可以从中找到规律，分奇数项、偶数项讨论，可以求厮通项公式.15.答案：-5解析：本题考查二项式定理的应用，属于基础题.利用赋值法求出“，然后化简已知表达式，求出

14、项的系数即可.解：(1+x+x2)(x-a)s的展开式所有项的系数和为(1+1+12)(1 一 a)5=0,a=1,(1+x+x2)(x-a)5=(1+%4-x2)(x-l)5=(%3-1)(%-l)4=x3(x-I)4-(%-l)4,其展开式中含%4项的系数为盘(一 1)3 以(一 1)。=-5.故答案为-5.16.答案:2V7解析：解：抛物线y2=I6x焦点(4,0)与双曲线5 一9=1的一个焦点重合，可得 2+9=1 6,解得a=夜,所以曲线实轴长为：2 5故答案为：2小.求出抛物线的焦点坐标，然后转化求解即可得到结果.本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.

15、1 7.答案：解：(I )(Q -b+c)(a+b-c)=b e 可得：a2-(6 -c)2=a2-62-c2+2bc=|b c,:.a2=b2+c2 bc,cosA =b2+c2-a2 _ 112bc-14 sinA=V1 c o s2 l =,14贝 k o s C =-c o s M +8）=-cosA cosB +sinA sinB =x-+x ,14 2 14 2 7（D ）由（I ）可得s i n C =V1 c o s2C =等，4 在A A B C 中，由正弦定理，=-%=白，得：=喏=苓=8,sinA stnB sinC sinA 2X114则 S =-acsinB =-x

16、5 x 8 x =1 0 V3.2 2 2解析：（I）已知等式利用平方差公式及完全平方公式变形，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出 c o s C,将得出的关系式代入求出c o s A的值，进而求出s i n A的值，由c o s C =-c o s（4 +8）,利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出c o s C 的值；（口）由 s i n C,a,s i n A的值，利用正弦定理求出c 的值，利用三角形面积公式求出三角形A B C 面积即可.此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.1 8.答案：证明：（1）如图所示，取 D4的中点G

17、,连接F G,G E.尸 为 AC的中点,G F/DC,S.G F=DC.又 DC B E,CD=2B E=4,EB/G F,且EB =G F,.四边形BFGE是平行四边形，B F/EG.v EG u 平面A DE,BF仁平面A DE,：.BF平面 A DE.（2）取。E 的中点H,连接AH,CH.40E 是边长为2 的等边三角形，A H 1 D E,且AH=V3.在ADHC中，D H =1,DC=4,H DC=60根 据 余 弦 定 理 可 得=D H2+D C2 _ 2 D H,D C c o s 6Qo=12+42 _ 2 X 1 X4 x|=1 3,即 HC=V13.在4HC中，A H

18、 =靠,WC=V13.A C=4.所以4 c 2=4“2+”。2,即4HJ_HC.因为 4HJLDE,A H 1 HC,且 DE u 平面 8cO f,HC u 平面 BCDE,DE C H C =H,A H L平面 B CDE.又4H u 平面A DE,平面ADE L平面B CDE.解析：（1）取 D 4 的中点G,连接尸G,G E,证明四边形BFGE是平行四边形，得出BFE G,从而证明BF 平面A DE.（2）取。E 的 中 点 连 接 AH,C H,证明A H 1 O E,求出4 =遮，利用余弦定理求得H C,再利用勾股定理的逆定理判断A H 1 H C,证明AH L平面B C D E

19、,从而证明平面4DE _L 平面BCDE.本题考查了平面与平面垂直的证明，以及直线与平面平行的证明问题，也考查了推理与证明能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.有 97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关.19.答案：解：（I）列联表如下：年龄层次赞 成“留欧”反 对“留欧”合计18 49岁2062650岁及50岁以上101424合计302050（n犷=5。黑 嘉 黑 6）。6.46 5.024,解析：（I）根据50人中赞成“留欧”的占60%,即可得到列联表；（II）利用公式求得K 2,与临界值比较，即可得到结论.本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题

20、的能力，属于中档题.20.答案：（1）结合弦切角定理来证明角相等，从而得到平分问题。（2）利用三角形的相似来得到对应线段的长度之积相等。解析：试题分析：证明：（I）由弦切角定理知上盛嬲=,：疆翩;.2分由 必 盛 豁;比 瞬 姒，海凝=左 期=所以左思窿=/飒 您，即 豳 平 分 汶,.5分（口）由（1）可 知 能=献.所以四骸.斯=“斯常，翻1.7分因为在幽城=2：磁 窗，通 孤 解=心.蹈，所以盛愚翻绘S感就璘，所 以.=隹，即4球.龌=澳 爵 湘.10分.翘窿即：感/螂=/姆 初.考点：本试题考查了几何证明的知识。点评：解决该试题的关键是对于平分角的求解，可以利用角相等，结合弦切角定理来

21、得到角相等的证明，同时利用相似三角形来证明对应边的乘积相等，培养分析问题和解决问题的能力，属于中档题。221.答案：解：（1）设抛物线。2：y2=2 p x,。羊 0）,则?=2p,（x4 0）,把四个点（3,-2代），（-2,0）,（4,-4）,（隹 当分别代入验证，得至火3,2 K），（4,一4）在抛物线上,.2p=竽=4,.抛 物 线 C2的标准方程为：y2=4%.设椭圆G 的标准方程为冬+=l（a b 0）,把（-2,0）,（或 马分别代入，得：2.椭圆G 的标准方程为会+y2=1.（口）过点M（0,2）的直线/与椭圆G 交于不同的两点A、B,且N40B为锐角（其中。为坐标原点）,直线

22、x=0不满足条件，设直线/：y=kx+2,A（x1,y1）,B（x2，y2）*由 7 +2 =1,得(i+4 1)/+i6kx+12=0,(y=kx+2=(16fc)2-4 x 12(1+4k2)0,A k G(-oo,-y)U(y,4-oo),%!4-%2=-1 6 k12l+4k2 9 i+4fc2 Z710B为锐角,OA OB=+V1V2 o，:.04-OB=xrx2+yty2=xix2+2)(/cx2+2)=(1+/C2)%I%2+2 k g +x2)+4 0,k(1+fc2)x+2/c x+4 0,J 1+4/c2 l+4k2解得-2 k 2.由，得一 2 k 曰或曰 k 由 彳+y

23、-二 得(1+4k2)x2+16kx+12=0,ly=kx+2由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线/的斜率上的取值范围.本题考查抛物线、椭圆的标准方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，考查抛物线、椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题.22.答案：解：直线/的参数方程为鼠=4+8为参数)，转换为直角坐标方程为y =4-b x.fx pcosd根据，y=psinO 转换为极坐标方程为p s 出6 +V3pcos0=4.x2+y 2 =p2曲线C l 的 参 数 方

24、 程 为:；鲁 脚(W 为参数)，转换为直角坐标方程为/+(y -1)2=1,整理得:%2+y2-2y =0,pcosd根据，y=psind 转换为极坐标方程为：p=2sin0,x2+y 2 =p2(2)曲线C 2：。=1 90)分别交直线/和曲线6于点4,B,所以解得看3同理p=2sin9d=-3解得PB=V 3,所 以|0川靠4解析：(1)直接利用转换关系，把直线的参数方程和曲线的参数方程转换为直角坐标方程，最后转换为极坐标方程.(2)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要

25、考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23.答案：(1)证明：由小+炉 3 2a b,b2+c2 2bc,c2+a2 2ca,可得小+62+c2 a b +b e +caf(当且仅当Q =b=c 取得等号)由题设可得(a +b +c)2=1,即小+炉+2ab+2bc+2ca=1,即有3(a b +b e +ca)1,即a b 4-6 c +c a 2 a +2Z)+2c,b c a b c a故+Q+2 Za+b +c =l,当且仅当a =b=c=：取得等号).b c a 3不等式恒成立，所以，的最大值为1.b c a解析：(l)a2+b2 2ab,b2 4-c2 2bc,c2-+-a2 2 c a,由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证；(2)+b Z 2 a,-+c 2 b,-+a 2 c,运用通过综合法求出不等式的最小值，即可求解f 的最 匕 c a大值.本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法证明，考查推理能力，属于中档题.