2021届超级全能生高考数学联考试卷(文科)(3月份)(甲卷)(含答案解析).pdf

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1、2021届超级全能生高考数学联考试卷（文科）（3月份）（甲卷）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合4 =x N|x W 6,B =x E R 2-x 2 ,则A C B =()A.0,5,6B.5,6C.4,6D.x|4 x 62.已知步=一1,复数z =E，则|z|=（）A.1 B.V 2 C.2 D.V 33.从集合 a c 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合 a,b 的子集的概率是（）5.A.1 B.|C.；8 8 2已知a =(L -3),6=(6.m).若a 加贝力2a 好等于A.80B.160C.4 6D.4而等数 加中，a 2=,a 5 =24 3 a 的

2、前项和为()A.81 B,120 C.168 D.19 26.如果执行如图的程序框图，那么输出的S =黑，那么判断框内是()A.f c 2013?B.k 2013?D.k 2014?若两直线y =x +2k与y =2x +k+1的交点在圆产+y 2=4上，则大的值是（）A.2或一1 B.g或 1 C.或 D.-2或 28.已知函数/(x)=2，n(l+x)a x 的导数为/(%),且/I=0,则函数g(x)=f(e X)c o s x 图象的大致形状是()1 0.己知倾斜角为60。的直线/通过抛物线y 2=轨 的 焦 点，且与抛物线交于A,B两 点,则弦|4 B|=()A.8 B.v C.16

3、 D.73311.在三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长都是，则点尸到平面A B C 的 距 离 为()A.V6a B.渔a C.在a D.3 312.双曲线C：江-=1 的左、右 顶 点 分 别 为 人 2，点 P在 C上且直线P4的斜率的取值范围4 5是G，i),那 么 直 线 斜 率 的 取 值 范 围 是()A.(式)B.已|)c,(|,|)D,(|.|)二、单空题(本大题共4小题，共 20.0分)x 4-y 213.设 变 量 满 足 约 束 条 件 无-y l,则目标函数z =-2x +y 的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.t y 0”的否定是.三、解

4、答题(本大题共7 小题，共 82.0分)17.已知a、b、c 分别是 A B C 的三个内角A、B、C所对的边.(1)若ABC 的面积 SAABC=芋 c=2,A =6 0 ,求 a、b 的值;(2)若4=:,a-/15 b=4,求边 c 的大小.18.日本东京将举办第32届夏季奥林匹克运动会，简称为“奥运会”，为了解不同年龄的人对“奥运会”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在2070岁之间的100人进行调查，经统计，“年轻人”与“中老年人”的人数之比为2：3.关注不关注合计年轻人30中老年人合计5050100(1)根据已知条件完成上面的2 x 2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否关注

5、“奥运会”与年龄段有关；(2)现采用分层抽样的方法从中老年人中选取6人进行问卷调查.若再从这6人中选取2人进行面对面询问，求事件“选取的2人中至少有1人关注奥运会”的概率._ n(ad-bc)2_(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K 2 k0)0.0500.0100.0013.8416.63510.82819.如图，在四棱锥P-A B C。中，底面ABC。为菱形，B A D=6 0,。为A O的中点，PA =P D；(1)求证：平面PQB 1平面P A D；(2)若平面24。JL平面A8CD,P2=4B=2,点M满 足 近=3而，求四棱锥M-BCDQ的体积.AB2 0 .在平面直角坐

6、标系寐物中，点周到两点,蹦-工瞰，,巡 盘期的距离之和为鬟J5,设点患 的轨迹为曲线公.(1)写出T 的方程；(2)设过点，勒乳顺的斜率为机陵津 I)的直线事与曲线。交于不同的两点震，腰，点1P在髀轴上,且 阈 图=|网,求点1P纵坐标的取值范围.2 1 .已知函数f(x)=e 2 x-a 2%,其中e 为自然对数的底数.(I )讨论函数f(x)的单调性；(1 1)设。6,证明：函数/(%)有两个零点与，x2(xr x2),且力+I n/乂 2 2 伉a.2 2 .在平面直角坐标系x。)，中，曲线G的参数方程为；黑3 为参数)，以坐标原点。为极点，尤 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C

7、2 的极坐标方程为夜p s 讥(。-J)=1.(1)求曲线G的普通方程与曲线C 2 的直角坐标方程；(2)曲线G与C 2 相交于尸、Q两点，求过P、。两点且面积最小的圆的标准方程.2 3 .已知函数/(#)=。-1|+1一2|,记/(%)的最小值为一(1)解不等式：f(x)2 =x G R x 4 ,所以A C lB =5,6 .故选：B.先化简集合A、B,再求出4nB的值.本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目.2.答案：A解析：解：【解法一】.2 =-1,复数2 =宗=智 耗=三 衅=一，1+1(l+l)(l-l)1-12A|Z|=1.【解法二】？=1,复数z =m，l+l上|=归=五

8、=1.11 1 1+1|i+i|G 不故 选:A.【解法一】根据复数的运算法则，先化简复数z,再计算模长|z|；【解法二】根据复数积(或商)的模等于模的积(或商)，直接计算即可.本题考查了复数的化简与运算问题，解题时利用商的模等于模的商，能简化运算，是基础题目.3.答案：C解析：解：集合 a c 的子集有 a ,b,c ,a,b,a,c,b,c,a,b,c),0,共 8 个,其中。,a ,b ,a,b 这 4 个集合是集合 a,b 的子集,从集合 a,，c 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合 a,b 的子集的概率为去故选C.写出集合 a/,c 的所有子集，找出其中是集合 a,b 的子集，代

9、入古典概型概率公式计算.本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.4.答案：C解析：本题考查向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，向量的模.先由两个向量垂直得出根的值，再由向量的坐标运算及向量的模求出结果.解：由两向量垂直可得6-3m=0,则m=2.故。一刃=(26)(6;)=(-45-8):2 a-5|=J(-4):+(-8):=4#-故选C.5.答案：B解析：解：因为詈=等=勺 327解得q=31=y =|=3则数列 an 的前4 和S4=兰 亨=20故选B根比数列的性质可知之等令 3,列出方程即可求出值利用彳即可求出3 的值，然后利用等比数首和比，根据等数列的前“和的公式即可 an 的前和

10、.此题考查学灵活运用比数列性质及等比数列前项和的简求值，是一中档题.6.答案：A解析：解：由程序框图知：算法的功能是计算s=a+3+菽 篇 =1 一+的值，4X3 T lX (TlT X)T lV I 输 出 5=黑，n=2013.2014 跳出循环的k值为2014,.判断框的条件为：k 2013?或k a =l,所以9。)=(点 -l)c o s x,因为“(t)=(7-l)c o s(-x)=W-C O SX(券-1)C O SX =(1 -高)C O SX =-g(x)，所以g(x)为奇函数，且当X e (0 5)时，有g(x),V3A h=a-3即点P到平面ABC的距离为遮a.3故选：

11、c.由已知求得AB=8C=AC=&a,求出三角形ABC的面积，再由吸=%-ABC列式求解点到平面A8C的距离.本题考查利用等体积法求点到面的距离，是基础题.12.答案:D解析：解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为公(一 2,0)、42(2,0)，设点P(a,b)(a#2),则-9=1 ，由 式 可 得?=宁，代 入 得%1,kpAz=：，56(”)，1 2解析：解：由约束条件-yw i作出可行域如图所示,y 0 时，y=Jy 求导函数，求出切线的斜率，即可得出切线方程.本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，正确求出切线的斜率是关键.15.答案:330解析：解法一、由an=7i(?i+

12、l),直接计算可得：Qi+Q2+a9=l x 2 +2 x 3 +3 x 4 +4 x 5 +5 x 6 +6 x 7 +7 x 8 +8 x 9 +9 x 10=330.解法二、(公式法)由%=n(n+1)=n2 4-n,可得 Sn=(l2+22+彦)+(i+2+n)n(n+l)(2n+l).n(n+l)n(n+l)(n+2)=-1-=-,6 2 3可 得+%+=S9=330.故答案为：330.方法一、直接法，计算即可得到所求和；方法二、由数列的求和方法：分组求和，结合“个正整数的平方和公式和等差数列的求和公式，化简整理，计算即可得到所求和.本题考查数列的求和方法，本题可以运用直接计算法或分

13、组求和结合公式法，考查运算能力，属于基础题.16.答案：3%o G R,XQ SXQ 1 0解析：解：命题为全称命题，则命题的否定为：3xoe/?,x -e x0-l 0,故答案为：3%o e xo-e xo-1 b=4,二由余弦定理得：a2=b2+c2 2bccosA,B P 1 5 =1 6 +c2 4 c,解得：c =2 土 V 3.解析：(1)利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积及C,s i M 的值代入求出。的值，再利用余弦定理求出a的值即可；(2)利用余弦定理列出关系式，把 m 江 c os A的值代入求出c 的值即可.此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定

14、理是解本题的关键.18.答案：解：年轻人共有1 0 0 x|=4 0 人，中老年人共有1 0 0 x|=6 0 人.关注不关注合计年轻人3 0 1 04 0中老年人2 0 4 06 0合计5 0 5 01 0 0所以K2 的观测值k =。6,6 7 1 0,8 2 8,40 x60 x50 x50 3故有9 9.9%的把握认为是否关注“奥运会”与年龄段有关；(2)抽取的6 位中老年人中有4人不关注,记为4,醺 4,4,2 人关注，记为取出2，设“选取的2人中至少有1 人关注奥运会”为事件A.从 6人中选2 人的选法有：(乙乙)，(儿 4),(乙 4)，(4,B Q,(A2IA3),(4,4 4

15、),(4 2,8 1),(&，4),(心，4 4)，(4,8 1),(4，W),(4,B l),(A4,B2),回&),共 1 5 种,其中有9 种情况满足题意，故 P Q 4)=|.解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于基础题.(1)计 算“年轻人”和“中老年人”各有多少，填写列联表，计算K2 的观测值，对照临界值得出结论；(2)用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.19.答案：(1)证明：由条件得，BPQ L A D -B Q 1 A D，=40 1 平面(28,PQ C B Q =Q.又4D u 平面PA D,所以平面PQB 1平面PA

16、D.(6分)(2)解：v PQ L AD,平面PAD，平面 ABC。=AD,且平面PAD 1 平面 A B CD,P Q，平面 A B CD,P A =A B =2,底面 A8CQ 为菱形，B A D=6 0 ,。为 AQ 的中点，PA =PD,-PQ=V3,S 四 边 形BCDQ G +2)*显=注，由 定=3丽 得，点M到平面B C D Q的距离是PQ,VM-B CDQ=R 四 边 形BCDQPQ=1(12分)解析：(1)根据条件和线面垂直的判定定理得：力。，平面P Q 8,再由面面垂直的判断定理证明出平面PQB J 平 面 PA D-,(2)根据面面垂直的性质定理的条件得：PQ A B

17、C D,再由条件求出P。、S四 边 形BCDQ和点闻到平面B C D Q的距离，代入三棱锥的体积公式求出四棱锥M-BCDQ的体积.本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判断定理和性质定理的综合应用，以及三棱锥的体积公式的应用.20.答 案:(1)匕升/=工 坐 谶-猴 堂a q q|解 析:试题分析：解：(1)由 题 设 知|国 叫 出,举|=域*离 阳|,根据椭圆的定义，舅的轨迹是焦点为矗，其，长轴长为暑垂的椭圆,*sj设其方程为马普5=宽潮*.!；?蹄 犷则 =1减=石，演=：!，所以。的方程为江达屋=工篝您籍需项F -碉FM书舞铲_缭=厕.感=窿.设巍敌国瀚，般&%蛾，则“片 强=病

18、近，减=福若设 魂?的 中 点 为 题 则 酶=舟，瞬=瀛 池-砥=-的加即徽党十亳f因为超胃胸，所 以 直 线 府 的 垂 直 平 分 线 的 方 程 为 婵 出 一 =-弓 的K-TI，“酷”*：i ，量 酶、r能_ 3.令第=尊解得，聪=耐行=;1 13 板 T T 当肥*港时，因为驾也书工逆乐序，所以勉/脸,立；旋 啊4当张Y领时，因为雪鞋年3工一驾底，所 以 一 立 期“产：蒯./4 -综上得点孽纵坐标的取值范围是1-在，睁Q理a W&|.4 4考点：椭圆的方程点评：关于曲线的大题，第一问一般是求出曲线的方程，第二问常与直线结合起来，当涉及到交点时,常用到根与系数的关系式:=泌（敏F

19、出 国 爆 净 第=8虬浏导）。潮21.答案:解：(I )/z(x)=e2x-a2=(ex+a)(ex-a),Q 0,故f(%)单调递增，当 l n(-时,ff(x)0,故/(%)在R上单调递增，a 0时，当 Z)。时，/(%)Z 0,故/(X)单调递增，当 V 仇 a时,f(x)0,故f(%)单调递减,/(%)在(-8,伍Q)上单调递减，在 Q,+8)上单调递增，综上所述，当a 0 时，/(%)在(-8,a)上单调递减，在|7na,+8)上单调递增.(口)证明：由(I)知,当 Q e时，/(%)在(-8 na)上单调递减,在 仇Q,+8)上单调递增,/(%)至多有两个零点，v a e,/(I

20、)=1e2 a2 0,由零点存在性定理知，/(久)在(0,1)上有一个零点%i，又,(%)在(-8,仇Q)上单调递减，在 Zna,+8)上单调递增，.当 =a时，f(x)取最小值f(mQ)=a2(-Ina),v a e,f (Ina)e),则”(a)=a-0,故九(a)在(e,+8)上单调递增，2 当 a e 时，h(a)/i(e)=y-2 0,f(2lnd)=合62Ina)0,由零点存在性定理知，/(%)在(a,2 a)上有一个零点%2，f (%)有且仅有两个零点1，%2，且0 V 1 Ina x2 Ina-1=In 即 1+In/V&，,+In/e),由零点存在性定理知，/(x)在()a,

21、2仇a)上有一个零点 2,求出0 /1 Ina x2 n a 1 lnp 从而证明结论22.答案：解：(1).曲 线 G 的参数方程为；二 索:9”为参数)，.由俨=低讥中消去参数仍得曲线G 的普通方程为1 +y2=1,ly=cosp 3 曲线C2的极坐标方程为近psin(0-力=1,A psind pcosO=1,即y-=1,即y=%+1.，曲线C2的直角坐标方程为y=x+l；(2)过尸、Q 两点且面积最小的圆是以线段尸。为直径的圆，令f(/,月)，(?(%2，%)由可+、1,得2/+3%=0,ly=%+1所以Ki+x2=-,X1X2=0,y1+丫2=+%2+2=3，二圆心坐标为(一1,)，

22、又 半径 r=PQ=：J(1 +)2)Qi+&)2-4 x 6 2 1=乎，过 P、Q 两点且面积最小的圆的标准方程为(x+)2+(y-1)2=解析：本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查圆的标准方程的法，考查中点坐标公式、弦长公式、直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.(1)曲线C1的参数方程消去参数0,能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程转化为psin。-pcosd=1,由此能求出曲线C2的直角坐标方程；42 2T +y=1,得2/+3X=0,由此y=x 4-1利用中点坐标公式求

23、出圆心坐标，利用弦长公式求出半径，由此能求出过P、。两点且面积最小的圆的标准方程.23.答案：解：(1);函 数/(乃=3 1|+比 一 2|,不等式/(x)W x+l,即 忧-1|+氏 一 2|0 刀+1,1%+2-x x+1 ,或 :二一xW x+1 ，或 :二：+x-2 W x +l ，解求得|x 1.解求得1%2,解求得2%4,综上可得不等式的解集为x|x|(x-1)-(%-2)|=1,当且仅当 1 S x W 2时，取等号，故/(x)的最小值为k=1.若2a+b=k=l,-+|=4,则 =4,GPa/j=a(l-2a)=a 2a2=4,a b ab ab、化简可得，2a2 Q+4=0,由于=一3 1 0,故此方程无解，故不存在正数、b,同时满足：2a+b=k,-4-=4.a b解析：(1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.(2)利用绝对值三角不等式求得女的值，若2a+b=k=1,2-b+4,可得2a2 Q+4=0,由于=-31 0,故此方程无解，故 不 存 在 正 数b,同时满足：2a+b=k,-+-=4.a b本题主要考查绝对值三角不等式的应用，解绝对值不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.