2021届超级全能生高考数学联考试卷(理科)(4月份)(甲卷)附答案解析.pdf

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1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.2 0 2 1届超级全能生高考数学联考试卷（理科）（4月份）（甲卷）单 选 题（本大题共12小题，共60.（）分）设 集 合 叵I,叵I,回，则 回 S（）A.回 B.0 C.0 D.0在复平面内，复数z=1+另寸应的点的坐标是（）A.（1,2）B.（1,|）C.（1,-|）D.（1,-2）将长为L的木棒随机折成3段，则3段构成三角形的概率是（）A.l B.；C.1 D.1己知。为平面直角坐标系的原点，尸2为双曲线捻一=l（a 0,b 0）的右焦点，E为。尸2的中点，过双曲线左顶点4作两渐近线的平行线分别与y轴交于C,。两点，B为双曲线的右顶点，若四边形4C

2、BD的内切圆经过点E,则双曲线的离心率为（）A.2 B.V2 C.V3 D.3已知偶函数叵 ，当 国 时，冈，设区冈，则（）A.0 B.0 C.0 D.0将函数f （%）=cos（2%-g）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数丫=g（x）的图象，则函数g（x）的最小正周期是（）A.B.n C.27r D.47r已知向量五,后满足W 1E，|苍|=1，曰|=2，则|2 五一方|=（）-焉2V2兀T2cV34SA.COA.cC14-12-DD.在（X+2）6的展开式中，常数项为（）A.160B.64C.20D.81 0.单位正方体ABC。&B1C1O在空间直角坐标系中的位置如

3、图所示，动点M(a,a,0),N(0,b,l),其中O W aW l,0 4 6 式1.设由“，N,。三点确定的平面截该正方体的截面为E,那么()A.对任意点M,存在点N使截面E为三角形B.对任意点M,存在点N使截面E为正方形C.对任意点M和N,截面E都是梯形D.对任意点N,存在点M使得截面E为矩形11.双曲线应-艺=1的离心率e=()A.5 B.V5 C.更 D.-2 4(2%2 3%012.已知函数为=2 013.已知幻y满足条件y NO,则/+y 2 的 最 小 值 为.%+y 214.设P是椭圆捻+=l(a b 0)上一点，过椭圆中心作直线交椭圆于力、B 两 点,直线PA、PB的斜率分

4、别为七，k2,且 七 七=-$则 椭 圆 离 心 率 为15.在A ABC中，a=2cm,b=3cm,C=p 则 ABC的面积为 c m2.16.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是CC的中点,则 下 列 判 断 中 正 确 的 是 .四边形BFDE在底面4BCD内的投影是正方形；四边形EBFD在底面ADZM内的投影是菱形；四边形EBFD在面ADZM内 的 投 影 与 在 面 内 的 投 影 是 全 等的平行四边形.三、解 答 题（本大题共7 小题，共 8 2.0 分）1 7.各项均为正数的数列 aj中，%=1,S&是数列5 的前建 项和，对任意律6 N*,有2 S n =2 吗+

5、an-1-（1）求数列 斯 的通项公式；（2）记%=2 ,求数列 与 的前n 项和1 8.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时.（1）估计第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务的概率;（2）X 表示至第2 分钟末己办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.1 9.1 8.（本小题满分1 2 分）如图，已知四边形A B C D 为正方形，上平面.。），C F 且E A =岛5=2（第18题图）（1）求证：平面R

6、DF；求二面角E-R D-F的余弦值。2 0.已知抛物线C的方程为y2=2px(p 0),C上 一 点 到 焦 点 的 距 离 为2.(I)求抛物线C的方程及点M的坐标；(U)过点P(l,0)的直线，与抛物线C交于点4，B,与y轴交于点Q,设m=4而，证=而，求证:A +是定值.21.已知函数/(x)=ax-1在x=0处的切线的斜率为1.(1)求a的值；(2)求/(%)在 0,2上的最值.22.已知曲线电,E2的极坐标方程分别为p=4cos0,p-co s(0-；)=4,绕极点将曲线用逆时针旋转角a,a e(0)，得到曲线(1)当a=时，求曲线E3的极坐标方程；(2)当E3与 芯2有且仅有一个

7、公共点时，求心23.已知函数f(x)=氏一1|,不等式/(x)+f Q-1)5的解集为 制m%0,y 0,nx+y+m=0,求证：x 4-y 9xy.参考答案及解析I.答案：B解析：试题分析：s s.S S 叵 故选B考点：1、列举法表示集合；2、集合的交、补运算.2.答案：D解析：解：在复平面内，复数z=1+2=1+卑=l-2 i对应的点的坐标是(1,一2).I-1-1故选：D.利用复数的运算法则及其几何意义即可得出.本题考查了复数的运算法则及其几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.答案:B解析：解：设M =3段构成三角形”.x,y分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为L-x

8、-y.Q=(x,y)|O x L,0 y L,0 x+y L-%-y,即x+y g；x+(L-x-y)y,即y x,即x ,y p x .9.答案：A解析：解：在（X+：）6的展开式中，由通项公式7+1 =重.2丁%6-2，令6 2r=0,求得r=3,可得展开式的常数项为C”2?=1 6 0,故选：A.在二项展开式的通项公式中，令x的基指数等于0,求出r的值，即可求得常数项.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题.1 0 .答案：A解析：解：对于4当N与C重合时，满足题意，A正确；对于B,对任意点M,存在点N使截面E为正方形，没有正方形，截面可以是

9、矩形、梯形、三角形;所以B不正确；对于C,对任意点M,存在点N使截面E为正方形，没有正方形，截面可以是矩形、梯形、三角形;所以C不正确；对于D,对任意点M,存在点N使截面E为正方形，没有正方形，截面可以是矩形、梯形、三角形;所以。不正确；故选：A.利用平面的基本性质判断选项即可.本题考查平面的基本性质的应用，考查空间想象能力.11.答案：D解析：解：双曲线的方程是W 一注=116 9A a2=16,b2=9,:.c2=a2 4-b2=25 a=4,c=5.离心率为ea 4故选。.由双曲线方程求出三参数a,b,c,再根据离心率e=,求出离心率.a本题的考点是双曲线的简单性质，考查由双曲线的方程求

10、三参数，考查双曲线中三参数的关系：C2=a2+b212.答 案:D解析：本题主要考查分段函数的应用，方程的根与函数图象交点的关系，导数法求最值，其中将问题转化为a=空 言 有 正 根，是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.ex若函数/(%)(2x2 3x,x0=*。的图象上存在两点关于y轴对称，则函数y=。的图象有交点.即a=经 券 有 正 根，进而利用导数法求出g(x)=ex三 坪 的 最 值，可得答案.解:(2x2 3x,x0函数/(%)飞，的图象上存在两点关于y轴对称,则函数丫 =擀,欠 0 的图象有交点,即ae*=2x2 3%有正根,即a=学有正根令g(x)=2%2-3%则 gO

11、)-2炉+7%-3令g(x)=0,贝i j x =%或x =3,由0 x 3时，g(x)0,由 x 0,可知当x 时，g(x)取极小值一e V，当x =3时，g(x)取极大值9 e-3,又由当x 0或x-+8时，g(x)r 0,故当芯=5寸，g(x)取最小值_ e，当x =3时，g(x)取最大值9 b 3,即实数a的取值范围是 _ e V,9 e-3 .故选：D1 3.答案：2解析：解：满足约束条件的可行域如下图示：又；Z =/+必 所表示的儿何意义为：点到原点距离的平方.由图可得，图中阴影部分中满足要求的点的坐标为：4(1,1)；此时：z=/+y2的最小值为2.故答案为：2.先画出约束条件的

12、可行域，根据Z =/+y2所表示的几何意义，分析图形找出满足条件的点，代入即可求出Z =+好 的最小值.平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案.1 4.答案:更2解析：解：设n),B(-m,-n),即 有 当+弓=1,a2 b2又设P G w o)，即有您+居=1，两式相减可得,审+管=。，即 有 钊XQ-mzb2则k i=詈3k2xQ-m儿+nx0+m9j t yS-n2 b2 1fc1i/c2=-7-7=-7=-/XQ-TJI2 a2 4即为a =2b,

13、c=V a2 b2=a2-a2=a,4 2即有离心率为e =：号.故答案为：,设4科凡），8（科-n）,又设P（X o，yo）,分别代入椭圆方程，作差，再由直线的斜率公式，化简整理，结合离心率公式计算即可得到所求值.本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率的求法，注意运用作差法，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题.6答案：苧解析：解：由 三 角 形 的 面 积 公 式 得 到 的 面 积 为:MinC=*2x3xs iW=；故答案为：津.2根据三角形的面积公式解答.本题考查了三角形面积公式的运用；属于基础题.16.答案：解析：解：对于，由投影的概念可得四边形BF CE 在底面4 B C

14、D 内的投影为BCDA,是正方形，则对；对于，四边形BF DE 在底面ADDA内的投影为AM DE,A M A E,则为平行四边形，则错；对于，四边形BF CE 在面ABB4 内的投影是BE B N,则为平行四边形，且与平行四边形AM DE 全等，则对.故答案为：.运用投影的概念，可得四边形BF DE 在底面4 B C 0 内的投影为BCD4,即可判断;四边形BF CE 在底面4/T Z M 内的投影为AM DE,A M A E,则为平行四边形，即可判断;四边形BF DE 在面力BBA内的投影是8 N 4 E,BE B N,则为平行四边形，即可判断.本题考查正方体中的投影问题，考查空间想象能力

15、，属于基础题.1 7 .答案：解:由 2 S n =2 磷+an 1 得2 S n+i =2 ai +an+i -1 -，得2 an+i =2(碌+1 -吗)+(an+1-an),即：2(dn+1+。“)(即+1 an)(,an+l+an)=(an+l+an)(an+l _ 2 ali _ 1)=0,数列&J 各项均为正数，:2。江+1 -2 斯=1,即即+1-即=.数列 an 是首项为1，公差为5 的等差数列，二数列 2)=0.5；X =1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X =1)=P(Y=1)

16、P(Y 1)+P(Y=2)=0.1 X 0.9 +0.4 =0.4 9；X =2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X =2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1 X 0.1 =0.0 1.所以X的分布列为X012p0.50.4 90.0 1E X =0 x 0.5 +1 x 0.4 9 +2 x 0.0 1 =0.5 1.方法二：X所有可能的取值为0,1,2.X =0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X =0)=P(Y 2)=0.5；X =2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X =2)=P(_Y=1)P(Y =1)=0.1 X 0.1 =0.0

17、1；p(x =1)=1 P(X=0)-P(X=2)=0.4 9.所以X的分布列为X012p0.50.490.01EX=0 x 0.5+1 x 0.49+2 x 0.01=0.51.解析：略19.答案：(1)为 z 轴建立直角坐标系，则主直线又因由(1 从而所以出 比 5 口角即可由(1)知向量热为平面B Z F的法向量“(0,0,2),设平面E B D的法向量为n=(x,y,z)_ _ 正明，计算中常则,即(厂 令Z =1倚 入=-逝)=&n-ED=0 -j 2x-2z =0-n EC 2 J i d .刁、也尔回垂直以及求二面故 c o s =|C|2V 1 0 1 020.答 方 所以二面

18、角E-B D-F的余弦值为零 抛物线上一点M(|,6)到焦点的距离为2,由 抛 物 线 的 定 义 可 得：=2,p=l,抛物线的方程为y2=2%,m2=2 x p m=土遮抛物线的方程，M(|,V3),(口)当直线1的斜率不存在时不符合题意，故直线1的斜率k必存在且不为0.直线I过点P(l,0)，.设直线，的方程为y=k(x-l)(/c=0),当x=0时y=-k,.点 Q坐标为(0,-k),设B(x2,y2),由卜 得 丫 =k-k，整理得 ky2 一 2y-2k=k H,；.=4+8/0,2Q yi+、2=%,y，2=-2,Q4=%+k)，PA=(%i 1,%)-Q A=APA/.(x1,

19、y1+fc)=A(x1-l,y1),+攵=Ayi，即2=竽，同 理 可 得 四=竽，y iyz,:+=如+如=2%+k()=2 +泡=1.y】yz J1V2-2故a+从 是定值.解析：(1)由抛物线的定义可得|+=2,”=1,得出抛物线的方程，把M点的横坐标代入求出M点纵坐标.(11)设直线1的方程为)/=卜0-1)(卜片0),设4(乙,%)，B(x2,y 2),由题意得点Q坐标为(0,一外，由人得ky2-2y-2k=0;k 彳 0,：.=4+8fc2 0,由韦达定理得y1+y2=3 y ly 2=-2,ly LX用向量坐标表 示 四=a 刀，得，=*产，同理可得“=智，再分析化简4+得出常数

20、.本题主要考察了利用抛物线的定义求抛物线的方程，直线和曲线相交的应用以及方程根与系数关系应用，和向量坐标表示，还考查了一定的逻辑推理与运算能力.21.答案：解：(l)f(x)=(ax+a)ex,f(0)=1=a=1.(2)由(1)知，f(x)=(x+l)ex,./(x)在 0,2 上单调递增，f(X)min=f (。)=/(X)max=f(2)=2e2.解析：本题主要考查了导数在切线方程中的应用，函数的最值，属基础题.(1)利用导数求出f(%)在 =0处的斜率，利用点斜式写出直线方程；(2)/(%)在 0,2 上单调递增，所以最小值f(0),最大值f(2).22.答案：解：,曲线的极坐标方程为

21、p=4cos仇,.p2=4pcos。,即p?4pcos9=0,曲线瓦的普通方程为/+y2 _轨=0.即(一 2)2+y2 =4.将瓦绕极点逆时针，后得到%，屈 的圆心为(遮,1)，半径为2.殳的普通方程为(X 遮)2+(y I)2=4.即产+y 2 23%2y=0,3的极坐标方程为P?-2y/3pcos9 2psin0=0,即P=4cos(。(2)v%的极坐标方程为P *c o s(8 )=4,即 j p c o s。+号p s i z i。4 =0,%的普通方程为掌 +y y 4 =0，即 +y 4 V 2=0.E3的圆心坐标为(2c o s a,2s i n a),半径为2,当E3与%有且

22、仅有一个公共点时，场与 石3相切，:.衣0+20-4何=2,.sEa+cosa=&或s讥a+cosa=3/(舍).两边平方得s i n 2a=1,a 6 (0,:.。解析：(1)求出%的普通方程，和旋转后的普通方程，再转化为极坐标方程；(2)分别求出与，晶的普通方程，根据公共点个数判断位置关系，列出方程解出本题考查了极坐标方程与普通方程的互化，简单曲线的极坐标方程，属于基础题.23.答案：解：(1)/(%)+/(%1)5即为|%1|+归-2|5,等价为 f：+2T 5 或或.2 5,解得一 1 x 1或 1 x 2或2 x4,所以原不等式的解集为 x|-1 x 0,y 0,可得工+工=(4 x+y)(-+-)=5+-+5 +2 化*=9,xy x y x y yl x y当且仅当y=2 x=决寸等号成立，故:+9,即x+y N 9 xy.解析：(1)由题意可得|x-l|+|x-2|5,由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集,即可得到原不等式的解集，进而得到m,n的值；1 1(2)由(1)可得4 x+y=1,运用乘1法和基本不等式，证得;2 9,%y本题考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查分类讨论思想和基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题.