2021届“超级全能生”高考数学联考试卷(文科)(3月份)(甲卷)附答案解析.pdf

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1、2 0 2 1届“超级全能生”高考数学联考试卷（文科）（3月份）（甲卷）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合 2=xx2 x 20,B=xy=lg 在区间（3,3）上任取一实数 x,则 x&A C B的概率为（）A.：B.；C.D.三8 4 3 122.将某新电动车的续航里程数统计如图所示，则该款电动车的续航里程数的中位数约为（）3.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,cm/n,那么 ABC一定是（）A.锐角三角形C.等腰三角形4.己知复数z满 足:|z+1+2t|=|z-1|,A.1 B.V55.若z=l+i,则Z5+同-1的值为（A.2V2 1 B.2+1

2、其中向量访=（a?,炉），n=（tan A,tanB）,且B.直角三角形D.直角三角形或等腰三角形则团的最小值是（）C.立 D.V22）c.7 1 +3 D.272+16.5个车位分别停放了4 B,C,D,E,5辆不同的车，现将所有车开出后再按A,B,C,D,E的次序停入这5个车位，则在4车停入了B车原来的位置的条件下，停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是（）7.两座灯塔4和B与海洋观察站C的距离分别为10km和20km,灯塔4在观察站C的北偏东15。方向上，灯塔B在观察站C的南偏西75。方向上，则灯塔4与灯塔B的距离为（）A.1 0 V 5/c m B.1 0由k m C.1 0 V

3、3/c m D.30km8.执行如图所示的程序框图，若输入a =7,b =l,则输出S的值为（）开始A-1 6/B.1 92-,S=0C.3 4-1D.s o S=Sab a=aA结束9 .椭圆的长轴长与短轴长之和等于其焦距的百倍，且一个焦点的坐标为（旧,0）,则椭圆的标准方程为（）A.亡+、2 =1 B.+/=i c.日+注=1 D.丘+=14 z 4 8 5 8 51 0 .已知y =ax+b与函数f（x）=2lnx+5和g（x）=/+4都相切,则不等式组 R ：、所确定的平面区域在/+丫2 +2%-2丫-2 2 =0内的面积为（）A.2 7 r B.3 7 r C.6 7 r D.1 2

4、兀1 1 .一个三角形的两个内角为4 5。和3 0。，如果4 5。角所对的边长是4,贝 心0。角所对的边长为（）A.2 7 6 B.3 V 6 C.V 2 D.3迎1 2 .已知函数/（%）=）；：；,满足对任意的实数与中不，都 有 誓 詈 0成立，则实数a的取值范围为（）A.（-0 0,2）B.弓,2）C.符,2）D.（一叫第二、单 空 题（本大题共4小题，共20.0分）1 3 .化简：AB+BC=.%+y -7 11 5.过双曲线捺一，=190/0）的一个焦点?作渐近线的垂线2,垂足为M,1交y轴于点E,若F M =2 M E，则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为.1 6,直三棱

5、柱A B C-(侧棱与底面垂直)的底面 AB C 为等边三角形，且各顶点都在同一球面上，若AB =4&=2,则 此 球 的 表 面 积 等 于.三、解答题(本大题共7小题，共 8 2.0分)1 7 .己知无穷数列阿T 的各项均为正整数，区 为 数列同的前万项和.(I)若数列网T 是等差数列，且对任意正整数忏都有1=(S1 1r成立,求数列同 了 的通项公式；(口)对任意正整数，从集合|外生,Q 中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与届有 二 五 一 起 恰好是1 至瓦全体正整数组成的集合.(i)求 月 益 的值；(i i)求数 列 阿

6、T 的通项公式.1 8 .一个多面体的三视图和直观图如图所示，已知H,M,N 分别是D E,AF,B C 的中点.(1)求证：MN 平面C OEF；(2)求证：M N L A H；(3)求多面体A-C D EF 的体积.1 9 .为了参加数学选拔赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下：理科：7 9,8 0,8 1,7 9,9 4,9 2,8 5,9 0文科：9 4,8 0,9 0,8 1,7 3,8 4,9 0,8 0(1)计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥更好；(2)若在成

7、绩不低于9 0分的同学中随机抽出2人进行培训，求抽出的2人中至少有1 名理科组同学的概率.20.已知函数/(X)=I n x +a(：-l).a 6 R.(I )若/(x)0,求实数a取值的集合；XyXi(I I)当Q=0时:对任意工(0,+8),令*3=7 7 K Z 7 7 7?证明I%3 0),分别过点4 B 作直线y =-t 的垂线，垂足分别为C,D,如图.(1)若。1。(0 为坐标原点)，求t 的值；(1 1)过用作直线4 8 的垂线交(7。于点乂记4 2。，B DO,Zk A B N 的面积分别为S i，S2,S 3,若2(S 1+S2)=3S3,求直线I 的方程.2 2 .己知在

8、平面直角坐标系尤O y 中，曲线C 的 参 数 方 程 为 蓑:鬻，(a 为参数)，A,B 在曲线C上，以原点。为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，4 B 两点的极坐标分别为4(P 1),OB(P 2 5)(I)求曲线C的极坐标方程；(1 1)设曲线(：的中心为“，求A M A B的面积.I I 3 1 1 u.2 3.体小题满分1 3分)已知函数/蝌 =-.*-/,-w-s r，,居舒原其中“圈 愚(1)求函数演电图的单调区间；(2)若函数阴&图在区间:鸳硼内恰有两个零点，求般的取值范围；(3)当知=可时，设函数洲物在区间因 圈 上的最大值为幽卿，最小值为阚卿，记鸳 螂=躯 脾-螂 卿

9、.求函数式冲在区间 T-即上的最小值.参考答案及解析I.答案：c解析：解：；力=xx2 x -2 0 =(-1,2),8 =叩=电 汾=(-1,1),所以4 n s =x|-l%-|-y-|-l=O；即z=x+yi对应的点为(x,y)在直线%+y+1=0上，.|z|的最小值是原点(0,0)到直线x+y+1=0的距离：即团的最小值等于：=故选：C.设出复数z,根据|z+l+2i|=|z 1|,求出其满足的条件，进而求得结论.本题考查复数的模的计算、复数的代数表示法及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.5.答案：B解析：z z+|z|-l=2 +&T =l+、也，故选B6.答案：A

10、解析：解：现将所有车开出后再按4,B,C,D,E的次序停入这5个车位，4车停入了B车原来的位置，基本事件总数ri=花=24,停放结束后恰有1辆车停在原来位置上包含两种情况：B车停在4车原来位置上包含的基本事件个数为：程，B车没停在4车原来位置上包含的基本事件个数为：京1，停放结束后恰有1辆车停在原来位置上包含的基本事件个数m=+谶 屐=9,停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率p=：=5号.故选：A.先求出基本事件总数n=At=2 4,停放结束后恰有1辆车停在原来位置上包含两种情况：B车停在4车原来位置上包含的基本事件个数为：4，B车没停在4车原来位置上包含的基本事件个数为:clc b由此能

11、求出停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率.本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.7.答案：B解析：本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题.先根据题意确定44cB的值，再由余弦定理可直接求得4与B的距离.解：由题意可知，乙4cB=180+15-75=120,AC=1 0km,BC=20km,由余弦定理得 4B=J100+400-2 x l0 x 2 0 x(-|)=10V7/cm.故选B.8.答案：D解析：解：模拟执行程序，可得Q=7,b=l,S=0顺序执行语句，S=7,不满足条件a b,执行循环体，b=2,a 6,S=19不满足条件a b,执

12、行循环体，b=3,a=5,S=34不满足条件a 0),h(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,又八(1)=0,h(t)=/+2 ln t-1只有一个零点t=1,即方程仁)2+2 ln -l=0仅有一个根a=2,b=3.则不等式组-%-ay+3 0,.x+b y-2 。化为%2y 4-3 0,x 4-3y-2 0J在平面直角坐标系内作出：二名 I E(与%2+y2+2%一 2y-22=0 的区域如图:.人 I o V 乙 U直线-2y+3=0与直线x+3y-2=0均过圆心(一1,1),-(-1)-T T设两直线的夹角为。，由到角公式可得：tan8=-4 M r=l，则。=?阴影

13、部分的面积为:X兀x(2V6)2=37r.o故 选:B.由题意可得b=2吗+3=4-9即$+2/n|-l =0,换元后利用函数零点的判定列式求解a,b的值，可得不等式组表示的平面区域，画出图形，再由到角公式求两直线的夹角，再由圆的面积公式求解.本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定及其应用，训练了到角公式、圆面积公式的应用，考查计算能力，是中档题.11.答案：c解析：解：设4 5。角所对的边长为a,3 0。角所对的边长为b,则正弦定理得一%=，sm45 sin30故选：C.根据正弦定理建立条件关系即可得到结论.本题主要考查正弦定理的应用，比较基础.1 2.答案：D解析

14、：解：对任意与力2,都 有 驾 乎 2 f a -2 0由于函数f(x)=f(x)=唇 _ 1/2，得到/(a -2)(i)2-r(a 2-解得：所以aS?(a T 8故选：D由题意得到函数是一个减函数，由此列不等式组a -2 0对应的平面区域如图,L 1则鬻的几何意义是区域内的点到定点Q(-3,-l)的斜率，观察可知%c 言式纵(2，由A(l，6),/工2=0解得6(12,-5),可得一卷w翳3曰一1=、3月 一1、1 2/2 2 2当 庭？时，卜=S*_ SM=g.3%_ ；_(，3恒_：)=3曰而|生=也满足鼠=3 1所以，数列屐J的 通 项 公 式 是=3】考点：等差数列通项公式，递推

15、关系求通项18.答案：解：由三视图可知：平面Z B C D 1平面AB F E,2D 1平面4B F E,四边形48C D是边长为2的正方形，底面4B F E是边长为2的正方形，M,N分别为力F,B C的中体慢国(1)证明：取B F的中点P,连接M P,NP.又M,N分别为4F,B C的中点.NP/CF,MP/AB,5LAB/EF,可得M P E F.M P平面C D E F,N P平面C C E F,又M P CNP=P,MP 仁平面C D E F,NP 仁平面C D E F.二平面M N P 平面C D E F；M N 平面 C D E F.(2)证明：由题意AH I D E,：AD J

16、平 面 AB F E,A AD 1 E F.又F E 1 4 E,A D H A E =A,FE _ L 平面AC E,FE LAH,：D E n E F =E,A H，平面C D E F,MN 平面 C D E F,.-.AH A.M N,即 MN1 4 H；(3)解：由(2)可知力H 1平面C D E F.S四边形QDEF=EF,DE=2 x 2V 2-4V 2,A H =V 2A-CDEF=三 X V 2 X 4/2=解析：由三视图可知：平面AB C。1 平面4 B F E,力。1平面4 8 尸。四边形4 B C 0 是边长为2的正方形，底面4B F E 是边长为2的正方形，M,N 分别

17、为4F,B C 的中点.(1)取B F 的中点P,连接M P,NP.又M,N分别为AF,B C 的中点.利用三角形中位线定理、面面平行的判定定理可得：平面M N P 平面C D E F,即可证明M/V 平面C D E F.(2)利用线面垂直的判定与性质定理可得：4H _ L 平面C D E F,即可证明M N _ L 4 H；(3)利用匕-C D E F =,X AH X SCDEF即可得出.本题考查了线面平行与垂直的判定及其性质定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19.答案：解：(1)从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好，理由如下：理科组

18、同学成绩的平均数五=；X (7 9 +7 9 +8 0 +8 1+8 5+9 0 +9 2 +9 4)=8 5,8方差为:s f =(79-85)2+(79-85)2+.+(9 5-8 5产 _-=33.58文科组同学成绩的平均数五=；X (7 3+8 0 +8 0 +8 1+8 4 +9 0 +9 0 +9 4)=8 4,8方差为：S2=(73-8 4尸 +(8 0-8 4 +(94-8 4产8=4 1.7 5,由于看 焉，s f v s/,所以理科组同学在此次模拟测试中发挥更好.(2)设理科组同学中成绩不低于9 0 分的3人分别4,B,C,文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a,b,c

19、,则从他们中随机抽出2人有以下15种可能：AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Be,Ca,Cb,Cc,ab,ac,be.其中全是文科组同学的情况有ab,ac,be三种，记“抽出的2人中至少有一名理科组同学同学”为事件M则P(M)=1-=1，解析：(1)根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解.(2)得出成绩不低于90分的同学有理科3个，文科3个，用列举法求出基本事件数，求出对应的概率.本题主要考查了古典概型及其计算公式，以及平均数和方差公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.20.答案：(/)解：/(乃=一9=爰.。0).当a S 0 时，f (x)0,函数f(%)在(0

20、,+8)上单调递增,又/=0.因此0 V 无V 1时，/(%)0 时，可得函数/(%)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，.X=Q时，函数/(%)取得极小值即最小值，则/(a)=Q+1 a 0.令g(Q)=Ina+1-Q,g =0.g(a)=；-1=拶，可知：a=l 时，函数g(a)取得极大值即最大值，而g(l)=0.因此只有a=1时满足f(a)=lna+l-a 0.故 a=1.实数a取值的集合是口.2.()证明：当。=0时，/(x)=I n x,则工=,X3 x2-x1由(/)可知：Inx+-1 0,(%0).e*Inx 1-当且仅当=1时取等号.由(/)可知：x 1).0 /

21、1，.In 这 三一 1=口:一 一.4 3 Xi综上可得：7 即1%3 0).对a 分类讨论即可得出单调性极值与最值.进而得出a 的取值集合.X 2()当Q=0 时，/(%)=Inx,则2 _ =，眸-也七=%,由(/)可知：工+二 一 1 工0,(%0),根据0 vX3 X2-Xl x2xl X 1，In 言 1 即可证明已，.由(/)可知:Inx 1).同理可证明：x3 Xi本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.2 1.答案：解：(I)由题意可得，直线4 B 的斜率必存在，设直线4 B 的方程为丫

22、=k x +t,设4(如 力)，B(x2,y2)则C(x i，-t),D(x2,-t),联立方程组已2=T+；可得/一 4 收一 4 t =0,=4 y所以与 4-%2=4 k,xrx2=-4 3因为O C 1 OD,所 以 二-O D =xrx2 4-t2=t2 4 t =0，解得 =0(舍)或=4,故 t =4：(口)由(1)可知/+%2 =4k,xrx2=-4t(*),所以+的%1 x2|=4v l +k27 k2+t,直线MN的方程为y =-x +3令y =-3 则由N=2 3所以N(2 如 T),直线力8 的方程为依-y +t =O,则点N到直线A B 的距离为d w =竿要，z V

23、l+k2所以S 3 =y AB dN=4 t2+，不妨设%T 0,由几何关系可知,2(S 1+S2)=+t)I%l|+a+t),|小1 =久 2 丫 2 +t(%2 -%1)，又因为蜡=4y i，所以上式=(以-%i)+t(x2-%i)=：l%i -x2|x i +x2|2-xixzl+-工2 I，将(*)代入化简，上式=4 VF不1(4/+2)，又 2(S 1+S 2)=3s3,由可得，4V/c2+t(4f c2+2 t)=12 t(/c2+l)V f c2+t(3)，又因为A B 过点(-1,2),所以2 =-k+t,即=k+2,代入可得，3 4 +2 1 +k+2 =0,即(k+1)(3

24、/k+2)=0,因为方程仅有一个解，则k=l,所以直线 的方程为y =-x +l.解析：(I)直线4 B 的斜率必存在，设直线4 B 的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，利用向量垂直的坐标表示化简，即可求出t 的值；(H)利用弦长公式表示出|4B|,求出直线MN的方程，求出点N的坐标，由点到直线的距离公式求出点N到直线4 B 的距离，表示出S 3,2(SI+S 2),再利用4 B 过点(-1,2),消去3 得到关于k的方程，求解k的值，即可得到答案.本题考查了直线与抛物线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进

25、行研究，属于中档题.2 2 .答案：解：(1)由曲线。的参数方程为后;；禽，(a为参数)，得(x-3)2+(y-4)2 =2 5,即 2 +y 2 6%8y =0,.曲线C 的极坐标方程为p =6cosd+8s i n。：(U)4 B 两点的极坐标分别为4(P i，J B(p 2 片)，可得4(4+3 祗 B(8q)，AB=J(4+3 V 3)2+6 4-2(4+3 7 3)8 1 二 5V 3设曲线C 的中心为M,M到4 B 的距离d =-(岁)2 =|M A B 的面积S =-x-x 5V 3 =.2 2 4解析：(I)利用三种方程的转化方法，求曲线C 的极坐标方程；(U)求出4,B 的坐

26、标，可得|4B|,设曲线C 的中心为M,求出M到4 B 的距离，即可求 M 4 B 的面积.本题考查三种方程的转化，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.2 3 .答案：(1)函数单调增区间为卜一 一 1为 巧+x)；减区间为卜-L a l；(2)|；(3)函数 目在 上 的 最 小 值 为 2.解析：试题分析:广一门一a 1工一=I x-1 I I x-a I,由115=0,得出函数的极值点，进而列出表格，写出函数|7苗 的 单 调增、减区间即可；(2)结合(1)中所求，得出判断：在 卜 内 单 调 递 增,在 1。内单调递减,进而得出函数_ _ _ _ _ _ 1/

27、(-3)0 ,从中求解即可得出回的取值范围;*/(0)0(3)根据H及(1)中的结果，作出判断国在内单调递增,在卜1 内单调递减,在向内单调递增，然后分p r=T、卜(7 2卜 卜 e -2,-1 三种情况进行确定函数 网 了 的最大值与最小值，进而确定西 在 各 段的最小值，最后比较这三段的最小值，即可得出所求西 的 最 小值.试题解析：(1)|/I,v l =.v +1 l-a i.v-0)X1T ：-1)FT/(X)07 Wr(T a)F(a+x)0Frr函数单调增区间为卜一x：-l l，i x+x 7；减区间为卜L a j(2)由知|/(x)在卜31 1内单调递增，在 卜1。内单调递减

28、所以函数在卜3。内恰有两个零点,7(-3)0当且仅当)(0)0解 得 回 的 取 值 范 围 是(3)a=l:/(x)=-xa-x-l,由(1)知：历7在 内 单 调 递 增,在(-!内单调递减,在口3 内单调递增当卜=1 J/-m =/(-l)-/(_ 4)=1 8卜/+3 -1+3 ,|7?不在-1 单调递增,在 1/+3 单调递减.-J/i n =/(-1)=一二.最小值是|7通 与|/a+3)的较小者|/(r+3)-/(r)=3(r+l)(r+2),I,/re(-4,-2,m(t)=f(t)：,g)=-/(r),在，e(-4,-2递减，最小值为g(-2)=-i-/(-2)=73?可 以 合 并 卜 T-2|re L-1-1,r+3 e _L2,|-l:le/J+3最大值为|7 E与|/+3)较大者,最小值为|7 与 西 较小者|7W在-2 1 ，问上单调递增i_ _ r (-2)(T)J(l)(r+3)S/(2)而/(I)=/(-2)=-:/(-1)=/(2)=-_ _ _ 3 JF T.-.V(r)=/(-l)=-,W(r)=/(1)=-.-.g(0 =-3 j 3综上，函数再在上的最小值为之3考点：1 ,函数的导数与单调性；2.函数的最值与导数；3.函数与方程的思想；4,分类讨论的思想.