2021届超级全能生高考数学联考试卷(理科)(5月份)(甲卷)(含答案解析).pdf

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1、2021届超级全能生高考数学联考试卷（理科）（5月份）（甲卷）一、单 选 题（本大题共1 2小题，共 60.0分）1 .若集合4=幻团W 1 ,B =x|呼S 0 ,则4 nB为（）A.-1,0）B.（0,1 C.0,2 D.0,1 2.已知复数z】=l +i,Z 2=2,在复平面内，复数Z i 和Z 2所对应的两点之间的距离是（）A.V 2 B.2 C.V 1 0 D.43.以下命题中正确命题的个数是（）个（1）连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出 现“正面向上、反面向上各一个”的机会比出现“两个正面朝上”的机会大（2）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；（3）一组

2、数据的方差越大，说明这组数据的波动越大（4）某地气象局预报说，明天本地降水概率为7 0%,则明天本地有7 0%的区域下雨，3 0%区域不下雨：（5）如果某种彩票的中一等奖的概率为就，那么买1 000张这种彩票一定能中一等奖.A.0 B.1 C.2 D.34.已知点4（0,百），8（3,2遮），若 圆 C：（X l）2+y 2=（）上恰有两点，N,使得 M 4 B和 N 4 B 的面积均为V 5,则 r 的取值范围是（）A.（1,3）B.（1,2）C.（0,3）D.（0,2）5.已知co s 砥+。）=|,6为第三象限角,则s i n（一 盘+0）+s i n（等+6）=（）A.B.|C.|D.

3、6.把函数g（x）=s i n（x +的图象向右平移；个单位可以得到函数f（x）的图象，则/）等于（）A:B.3 C.-1 D.12 2F 砌*F 3 1 ,*i7.I 警 茄 书 一 M 警百-一1 5的展开式中各项系数之和为3,则该展开式中常数项为（）.k 叼I 军 空A.40 B.1 60 C.0 D.3208.在 A B C 中，A=60,AB=2,AC=3,C M =则 而 屈=（）9.1 0.设/（是定义在发上的偶函数，且满足/（1+力=/一 力 是/（X）的导函数，当 了 中,司 时，0 仙 0,贝呵数=./W-s i n谁 一 3开,3川上的零点个数为A.2 B.4 C.6 D

4、.810,直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）A.一条直线不相交 B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交 D.无数条直线不相交11.过抛物线y 2 =4 x的焦点作直线交抛物线于4（%,%）,8（%2，、2）两点，若%1+刀2=10，则弦AB的长为（）A.16 B.14 C.12 D.1012 .若石，外分别是函数/（%）=%-2一 久，g（x）=虫0。2%-1的零点，则下列结论成立的是（）A.X%2 B.X-y%2 1 C.1 D.Xi%2 1二、单 空 题（本大题共4小题，共2 0.0分）%113 .P（x,y）的坐标满足条件y 014 .已知双曲线/一 =i（a 0）,它

5、的渐近线方程是y =2 x,则 的值为15.在A4 B C中，sinA=sinB=,a =l,则/?=_ _ _ _.3 216.四棱锥P-4 B C D的底面为正方形,P C _ L底面ABC Q,P D=4 D=1,则点8到平面P AC的距离为.三、解 答 题（本大题共7小题，共8 2.0分）17 .设数列 即 的前项和为又，%=1,a =+2（n-l）,（n e W*）.（I ）求数列 的通项公式册；（口）是否存在正整数n使得+1+?-（n -=2 0 15成立？若存在，求出n的值;若不存在,请说明理由.18.一几何体如图所示，四边形ABCO是等腰梯形，AB/CD,4 DAB=60.FC

6、，平面 ABCD,CB=CD=CF=1.(1)求 证:AC 1Y BCF；(2)求二面角F-B D-C的余弦值.1 9.某工厂随机抽取处12件 A 型产品和18件 B 型产品，将这30件产品的尺寸编成如图所示的茎叶图(单位：cm),若尺寸在175c”?以上(包括175cm)的产品定义为“标准件”，尺寸在175cm以下(不包括175cm)的产品定义为“非标准件”B7 8 9 92 4 S 8 93 4 5 6(1)如果用分层抽样的方法从这30件“标准件”和“非标准件”中选取5 件，再从这5 件中选取2件，那么至少有一件是“标准件”的概率是多少？(2)若从所有“标准件”中每次随机抽取1件，取后不放

7、回，抽 到“A 型标准件”就结束，且抽取次数不能超过3 次，用 X表示抽取结束时抽到“8 型标准件”的个数，试写出X 的分布列，并求出X 的数学期望.2 0.已知抛物线y=/在点做2,4)处的切线为m.(1)求切线山的方程；(2)若切线m经过椭圆5+g=l(a 6 0)的一个焦点和顶点，求该椭圆的方程.21.设函数/(尤)=e*+sinx(e为自然对数的底数)，g(x)=ax,F(无)=f(x)-g(x).(1)若。=2,且直线x=t(t2 0)分别与函数/Q)和g(x)的图象交于P,Q,求 P,Q 两点间的最短距离；(2)若x 2 0时，函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方，求

8、实数a 的取值范围.22.在直角坐标系M万中，曲线C 的参数方程为匕:；肥 (a为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正(y-since半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐方程为pcos。+psind-4.(1)求曲线C 的普通方程和直线/的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线/的距离的最大值.2 3.(用分析法或者综合法证明)已知a 6,求证：V 3 -V a 5 -V a 6.【答案与解析】1.答案：B解析：解：.集合/=%|%|工 1 =%|-1 W X W 1 ,B=x 0 =%|0 x 2 ,/n B=x|0%1 =(0,1 -故选：B.利用交集的定义和不等式的性质求解.本题考查

9、交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用.2.答案：C解析：解：复数Z i=l+i,Z 2 =2 对应的点的坐标分别为(一 1,1),(2,0),所以复数Z 1 和Z 2 所对应的两点之间的距离是，(-1 -2)2 +1 2 =V 1 0.故选：C.先利用复数的几何意义得到两个复数对应的点的坐标，然后由两点间距离公式求解即可.本题考查了复数几何意义的应用，两点间距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.3.答案：C解析：解：对于(1)，连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出 现“正面向上、反面向上各一个”的概率为：出 现“两个正面朝上”的概率为:，故(1)正

10、确；对于(2),将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，方差均没有变化，故(2)错误；对于(3),一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大，故(3)正确；对于(4),某地气象局预报说，明天本地降水概率为7 0%,则明天本地下雨的可能性为7 0%,不下雨的可能性为3 0%,故(4)错误；对于(5),如果某种彩票的中一等奖的概率为就，那么买1 0 0 0 张这种彩票不一定能中一等奖，故(5)错误.故正确的命题的个数是2 个，故选：C分别计算出连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出 现“正面向上、反面向上各一个”的概率和出现“两个正面朝上”的概率，可判断(1);分析一组数据中的每个数据都减

11、去同一个数后，平均数与方差的变化情况，可判断(2)；根据方差的实际意义，可判断(3)；根据概率的实际含义，可判断(4),(5).本题以命题的真假判断为载体考查了概率的定义及实际意义，平均数与方差，难度不大，属于基础题.4.答案：A解析：根据题意，由A、8 的坐标求出线段|4B|的长度，由三角形面积公式分析可得M、N 到直线AB的距离相等，且都是1,由AB的坐标可得直线AB的方程，求出点C到 AB的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案.本题考查直线与圆的方程，涉及直线与圆的位置关系，注意分析M 满足的条件，属于基础题.解：根据题意，4(0,再)，8(3,2b)，则|4 8|=7 不 谷=2百

12、，若AMAB和 的面积均为百，则 M、N 到直线AB的距离相等，设 M、N 到直线AB的距离均为“，则有：x 2 遮 xd =遮，则d=l,又由4(0,E),B(3,26)，则直线AB的方程为-次 y+3=0,若圆C上有两点M,N,使得 AMB和 M4B的面积均为 机，则直线MN与 AB平行，且圆心C 到直线A 8的距离d=麒=2,分析可得：l r )=一/则sin(-口+。)+sin(等+。)=-sin最 一。)+sin塔 +。)=一|-g=一,故选：A.利用诱导公式sin哈 一。)、再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得sin(瑞+。)的值，可得要求式子的值.本题主要考查诱导公式、同角

13、三角函数的基本关系，要特别注意符号的选取，属于中档题.6.答案：A解析：解：函数g(x)=s i n(x +的图象向右平移 个单位可以得到函数/(x)的图象，/(%)=sinx,/-/兀、.7 T 1./(-)=s i n-故选：A.根据函数y=4 s 山+R)的图象变换，可以得到/(x)=s i nx,即可求出/(朗.本题考查函数y=Asinx+w)的图象变换，考查学生的计算能力，是一道基础题.7.答案：C_劣 飞解析：令x =1,得2 +a =3,二 a =1,由喘 Q x)，-。i =(一1),.25-t x5-2 r,令5 -2 r =1(即得 r =2,(1)2 2 3 蜀=8 0；

14、令5-2=一1 得=3,(1 尸2 2 曙=一 4 0,所以展开式中常数项为一4 0 X 2 +8 0 x 1 =0.8.答案：C解析：解：画出图形如图：建立如图所示的坐标系，在 A B C 中，A=6 0 ,AB=2,AC=3,所以B(2,0),C(|,竽)，而=(,苧)，由 而=3丽，=3(2-x,-y),解得x =M y=8 z 8宿=(果 怜,配=(心,苧),所 以 祠 同=故选：C.画出图形，建立坐标系，求出8,C的坐标，得到M 的坐标，然后求解向量的数量积即可.本题考查向量的数量积的求法，向量的坐标运算，考查计算能力，是中档题.9.答案：C解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、

15、余弦函数的图象与性质、函数的奇偶性与周期性,考查了函数的零点转化为两个函数图象的交点，考查了数形结合的能力，考查了推理能力.解：.当X e 0同 时,0 fx)1,/(%)为偶函数,二 当x 6 3兀,3兀 时,0 /(%)0,尤时，为单调减函数；x e pn 时，f(x)为单调增函数,V X 6 0,兀 时,0 /(X)1,又因为在R上的函数/Q)是最小正周期为2兀的偶函数，在同一坐标系中作出y =s i n x和y =/(乃草图象如下：由图知y =/(x)-s i n x在 一3 ,3网上的零点个数为6个，故选：C.10.答案：C解析：解：直线与平面平行，由其性质可知：.这条直线与平面内的

16、任意一条直线都不相交，A一条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故A错误；8、两条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故B错误；。、无数条直线不相交，说明有其它直线与其相交，无数不是全部，故。错误;故选：C.根据直线与平面平行的判断定理，若直线与平面平行则这条直线与平面内的任意一条直线都不相交,从而求解.此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握.11.答案：C解析：解：抛物线方程为y 2 =4 x,.p

17、=2,可得抛物线的准线方程是x =-l,过抛物线/=4 x 的焦点尸作直线交抛物线于4（%i，%）B（X 2，y 2），根据抛物线的定义，可得|4 尸|=与+（=/+1,BF=X2+1=X2+1,因此，线段 A B 的长=AF+BF=X1+X2+2,又T x1+x2=1 0,AB=x1+x2+2=1 2.故选C.根据抛物线的方程求出准线方程是x =-1,结合抛物线的定义可得/F|=%+1 且|B F|=x2+l,两式相加并结合X i +%2 =1 0,即可得到|4 B|的值为1 2.本题给出抛物线焦点弦4 3 端点4、8 的横坐标的关系式，求 AB的长度，着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单

18、几何性质等知识，属于中档题.12.答案：B解析：解：由设X ,M分别是函数/（X）=X -2-X 和g（x）=x l o g 2%-1 的零点，可知X 1 是方程2 =:的解；x2是方程:=1 0 g 2 的解：则x2分别为函数y =3 的图象与函数y =2 和函数y =l o g 2 的图象交点的横坐标；设交点分别为4（%，已），B（X2,1）知 0 X i 1；又因为y =2 乂 和y =l o g 2%以及y =5 的图象均关于直线y =%对称，所以两交点一定关于y =x 对称,由于点4（右七），关于直线y =x的对称点坐标为,右），所以刀2 =有打 刀2 =1 故选：B.函数的零点即方

19、程的解，将其转化为图象交点问题，又有函数图象特点，得到交点的对称问题，从而求解本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想、数形结合思想，是中档题.13.答案：专5（X 1解析：解：满足约束条件）4 2 的可行域如图所示：2.x+y -2 之 0X 2 +y 2表示可行域中动点p（x,y）到原点距离的平方由图可得P与A重合，即x =l,y =2时，/+y 2取最大值5当户与8重合，即0 8与直线2 x +y -2 =0垂直时，/+y 2取最小值?故/+y2的取值范围为七,5 故答案为:冷5 X 0最大值和最小值，可得答案.本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中分析出/+八 表示可行域中动点P

20、Q,y）到原点距离的平方是解答的关键.14.答案：2解析：解：根据题意，双曲线的方程为：x2-g=l(a 0),其焦点在X轴上，其渐近线方程为：y=ax,又有其渐近线方程是y=2%,则有,a=2；故答案为：2.根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为：y=a x,结合题意中渐近线方程可得a=2,即可得答案.本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程计算方法.15.答案：迪2解析：解：在A4BC中，sinA=sinB=.a=1.32由正弦定理得：号 =-4,sinA sinB解得：b=逑.2故答案为：逆.2直接根据题意，利用正弦定理求出结果.本题考查的知识要点：正弦定理的应用及相关

21、的运算问题，属于基础题型.16.答案：当3解析：解：以。为坐标原点，以0A为x轴，以OC为y轴，以。P为Z轴，建立空间直角坐标系，四棱锥P-4BCD的底面为正方形，PD 1 底面 ABCD,PD=AD=1,4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),P(0,0,1),AP=(-1,0,1)AC=(-1,1,0).AB=(0,1,0).设平面尸AC的法向量记=(x,y,z),则元.存=0,zn-AC=0 点 B 到平面P A C 的距离d=辔=瞿=4|n|y3 3故答案为：立.3以。为坐标原点，以D 4 为 x 轴，以0 c 为），轴，以 D P为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量

22、法能求出点2 到平面PAC的距离.本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.17.答案：解：(/)数列 an 的前项和为S”的=1,即=+2(n-l),(n eN*).所以Sn=nan-2(n-l)n,n 2时，0n=Sn-Sn_i=nan-2(n-l)n (n-l)an_x+2(n-2)(n 1)可 得-C Ln-l=4所以 Qn 为%=1,d=4的等差数列所以an=1+(n-1)4=4n-3.(6分)()an=4n 3,Sn=nan 2n(n-1)=(2n l)n=2n 1=&+包+包=上 空 二2九=九21 2 n 2=n2-（n-l）2=2015=

23、n=1008存 在.（12分）解析：（/）利用已知条件求出又=na“-2（n-l）n,利用斯=S”Sn_ i，推出a n-a n-i=4,判断也 共 为等差数列，求解通项公式.（）利用第一问以及已知条件推出金=2 n-1,求出数列的和，然后求解方程判断即可.本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查计算能力.18.答案：解：（1）证明：连结AC,lz .四边形A8CD是等腰梯形，.ABCD,/A AD AB=60,/.ADC=AB CD=120,J CB=CD,：.Z.CDB=/LCBD=30,x/乙:Z.ADB=Z.ACB=9 0 ,即4c 1 BC,v FC ABCD,AC A.F C,又

24、BC CFC=C,AC _L面 BCF.（2）解：由（1）知力C J.C B,则C4=BD=俗以 C为原点，C 4 为 x 轴，C B 为)，轴，C F 为 z 轴，建立空间直角坐标系，F(0,0,1),8(0,1，0)，喈，心,0),向量运=(0,0,1)是平面B D C的一个法向量，设沅二(%j,z)是 平 面 尸 的 一 个 法 向 量，n m-B D=x-y =0则 _ 2 2 ，rn-FB=y z=0取 丫=1,得记=(百,1,1),则c o s =+=个，|m|-|n|V5 5 二面角F -B D-C 的余弦值为g.解析：(1)由已知得4 AD B =9 0,由4 c l B C,

25、FC A B C D,得AC _ L 尸 C,由此能证明AC J L 面BCF.(2)以 C为原点，C A 为 x 轴，C B为y 轴，C F 为 z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面8 O C 的一个法向量和平面3 O F 的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角F -B D-C 的余弦值.本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.1 9.答案：解：(1)读取茎叶图中数据，“标准件”的个数为1 2,“非标准件”的个数为1 8按分层抽样抽取5 件，这 5 件中，“标准件”的个

26、数为5 x|=2,“非标准件”的个数为5x=3设事件4 =”从 2 件标准件和3 件非标准件中选2 件，至少有一件是标准件”则P(4)=1_P=1_*=5答：至少有一件是“标准件”的概率是看(2)易知X可能取值为0,1,2,3.事件“X =0 =A ；“X =1”=8 A”；“X=2”=BBA”；“X=3=BBB”P(X =0)=袈=|；0 次=1)=第=泉 P(X =2)=臀=蠢25=3)=警=表 2 J 8 1,2 J。1 1 2 *1 2 J 0故 X的分布列如下X0123P23833455155 数学期望 E(X)=0 x|+l x 9 +2 x 白+3 白=高6 33 55 55 l

27、ob解析：(1)按分层抽样抽取5件，这 5 件中，“标准件”的个数为5 x =2,“非标准件”的个数为5 x-=3,30利用对立事件的概率公式，可求至少有一件是“标准件”的概率；(2)X可能取值为0,1,2,3,求出相应的概率，可计算出X 的分布列及数学期望.本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识.20.答案：解：由y=x2,得:y=2x,yx=2=4,所以，抛物线y=/在点(2,4)处的切线方程为丁一4=4 0 2),即y=4 x-4,切线机的方程：y=4 x-4；(2)切线/的方程：y=4 x-4,交x 轴于点4(1,0),即椭圆的焦点(1,0),交 y

28、轴于点B(0,-4),即椭圆下顶点(0,-4),c=1,b=4,a=V17 椭圆的方程:-+=1.17 16解析：(1)求函数的导数，利用导数的几何意义确定切线的斜率；(2)求出切线与x 轴、y 轴的交点，即可求c,b,a,本题考查了函数的切线方程，及椭圆的方程，属于基础题.21.答案：解：(1)因为Q=2,所以|PQ|=e+sint-2t.令九(%)=e*+s讥 -2，即 九 (%)=ex+cosx-2,因为九(%)=ex sinx,当%0 时，ex 1,-1 sinx 0,所以九(%)=e*+cosx 2在(0,+8)上递增,所以h(x)=e+cosx 2 九(0)=0,X 6 0,+8)

29、时，九(%)的最小值为九(0)=1,所以IPQI加n=1(2)令 0(%)=尸(%)F(x)=ex-ex+2sinx 2 ax,则“(x)=ex-ex+2cosx 2a,S(x)=0(x)=ex-ex 2sinx,因为S(x)=e+ex-2cosx 。当 0时恒成立，所以函数S(%)在0,+9)上单调递增，S。)5(0)=0当 6 0,+8)时恒成立；故函数“(%)在0,+8)上单调递增，所以0 0)(0)=4-2a在 6 0,+8)时恒成立.当a W 2 时，z(x)0,0(x)在 0,+8)单调递增，B|J 0(x)(0)=0.故a F(-x)恒成立.当a 2时，因为“(x)在 0,+8)

30、单调递增，所以总存在与 6(0,+8),使0(x)在区间 O,x o)上。(X)0,即。(x)在区间 0,%)上单调递减，而0(0)=0,所以当x 0,%0)时，0(x)2 不符合题意，故符合条件的a的取值范围是(-8,2 .解析：根据题意可知f(t)=g(t),令九(x)=e*+s 出x -x(x 2 0),求出其导函数,进而求得九(x)的最小值即为P、Q两点间的最短距离.(2)令。(x)=F(x)F(-x)=ex-ex+2sinx 2 a x,函数y =F(x)的图象恒在y =尸(x)的图象上方，等价于。(x)2 0 恒成立，求出其导函数，可求出租。)的单调性，进而可求得a的取值范围.本题

31、主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查了转化思想、分类讨论思想，属于中档题222.答案：解：(1)曲线C的普通方程为会+y 2 =1,直线/的直角坐标方程为x +y-4=0.(2)设曲线C上的点坐标为P(2 c o s a,s i n a),则P到直线I的距离d =衣sa+：“a-4|=阪 咚-4|,.当 s i n (a +尹)=一1 时，d 取得最大值蓊=2&+手.曲线C上的点到直线/的距离的最大值为2&+手.解析：(1)根据参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的对应关系得出答案；(2)根据距离公式得出距离“关于a 的表达式，利用三角恒等变换得出距离的最大值.本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，距离公式的应用，属于基础题.23.答案：证明：要证，a 3 Vt t 4 /a 6 VA/a 4 +A/Q 5,只需证明：yj(Q 3)(d 6)V yj(a-4)(a 5),只需证明：(a 3)(a 6)V(Q 4)(Q 5),只需证明：Q?一 9Q+1 8 6时，a 3 7a.4 y/a 5 Va 6.解析：要证A/a 3 7a 4 7a 5 7a 6,只需证明：7a 3+7a 6 Va 4 +y/a 5,两边平方，化简可得.本题考查用分析法证明不等式，用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件.