《电磁场和电磁波》课后习题解答(第一章).docx

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1、第一章习题解答【习题L1解】【习题L2解】【习题L3解】11)要使A_LB,则须散度A.B = O所以从 A8 = 1 + 3 +8c = 0可得：3 + 8c = l即只要满足3b+8c=1就可以使向量二和向量二垂直。(2)要使A|3,则须旋度AxB = 0所以从可得 b二-3, c=-8【习题L4解】A = 12欧+93 + 外 , B = aex+ bey,因为 BJ_A,所以应有 = 0即(12ex+9ey+bey = 12a+ 9b =。又因为同=1；所以J片+仁=i；(2)3_4由，解得二土彳力二与1【习题L5解】由矢量积运算规则B= A? C ax a2 a3 = (4z- a3

2、y)ex + (%x- qz)e + (qy- a2x)ezX y z=Be+Be+Be x x y y z z取一线元：dl =exdx+eydy + ezdz则有dx _ dy _ dz则矢量线所满足的微分方程为或写成dx _ dy“x y zz/7=攵(常数)axy-a2x求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用以下方法d(ax)d(a2y)aa2z - w3ya2a3x- aa2z aa3y - a2a3xydy也=k xdx x(a2z - a3y) y(a3x- axz) y-a2x)由m2）式可得d(a2y) = k(a2a3x- aa2z)ydy = k(a3xy -

3、 ax yz) 4) 对分别求和 所以矢量线方程为【习题L6解】矢量场 A = (oxz + fbx +(勿 + 冲2)外 +(2-z? +SZ-2 冲z)q假设A是一个无源场,则应有div A二0即： div A =4 =空 +空1+ = 0 dx dy dz因为 A = axz + x2 A, = by + xy2 A二=z -z2 + cxz-2xyz所以有div A =az+2x+b+2xy+l-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+l=O得 a=2, b= -1, c= - 2【习题L7解】设矢径r的方向与柱面垂直，并且矢径不到柱面的距离相等(r=a)所以，=1杰=1

4、rds=a ds - a2兀ahJs【习题L8解】cc0 = 3x y A = x yzey + 3xy ez而 rot(/)A) = V x (4) = x A + Vx Aa弛f弛正池乂 Sx Sy z 6z=Gxyex + 3x2ey所以+ 9x3/er -18x2y3e?+6x3y2zez= 3x2y2(9x-x2)ev -9yey + 4xzez 【习题L9解】所以rot A = Vx A =exddxA-eydA.ez d dz 4&+SA)X _ z、Sz dx ?%,+dx dy )ez(l + l)& +(4xz 4xz)e)+(2y 2丁)a = 0由于场A的旋度处处等于6

5、 所以矢量场A为无旋场。【习题L10解】令 ln(x2 + / + z2)=C, x2 + y2 + z2 = ec, e。=1+4+9=14 因此C=lnl4Y + y2+z2=14为等值面方程【习题LU解】求函数0 = 3/ 一,3在点M(2,3)处沿曲线y=x2 -1朝X增大一方的方向导数解:函dxJ = 6孙 |(2,3)=36在 L 取一点(x,y) y=x2-l(x2)沿L的方向的方向余弦为:x2Axx-21coscr =/=- =/2)2 + (y - 3)。r+4x + 5因为 A/f0 则(x,y)f (2,3)一14所以 cos a = f= cos B =V17V17又因

6、为dl dx dy24-【习题LU解2求函数0 = 3/ V在点m(2,3)处沿曲线y=f _1朝x增大一方的方向导数 曲线y在M点沿所取方向的切线斜率为：所以应7 = 4因此，方向余弦为所以所求的方向导数为【习题L12解】标量场(/) = -r该标量为一个以直角坐标系的o点为球心的球面.求切平面的方程1 1 1该平面的法线向量为=耳4+国与+国2 根据平面的点法式方程，得平面方程为整理，得：x+y + z = J5【习题L13解】【习题L14解】 矢量A的方向余旋为满足题意方向导数：【习题L15解】【习题L16解】所以【习题L17解】【习题L18解】（1）证明（A + B）=x A+近:+无

7、袅( A ex+ Ayey+A 瓦+Bxex+Byey+Bz瓦)=（A,+BJ+A（ A、+ 民）+（A+艮）二必+迫+出+ 包+&旭dx dy dz dx dy dz得证一 d d d -(2) v.()=(gx+ ev可 + 瓦煌(二小枭阴+右舒+仁袅阳）一 /乂函彳。久一（人函一 /乂函彳八仁+ 4菽）+6石+ 4而）+仇（金+蝮）SA 一、4/一 3。 - 3。 _dxdz+/切+4仁菽+e方+乙= VA + AV得证【习题L19解】【习题L20解】 所以【习题1.21解】【习题L22解】证明：令 则左边二又由题得同理有故等式右边二故左边二右边，得证【习题1.23解】【习题L24解】证

8、毕。【习题L25解】由题意可知:左二?（）= （）duvezdx匕（夕）+R=V(/Vv +vV/)二 v +Vv +vV*V/ +V /*V v =/V2v + vV2/ + 2V /zV v即证【习题L26解】解:a2dx2二一 a1 sinff xsin p y eSy2=伊sincr xsin /3 y e/z/2sinff xsin (3 yerza2dz2=修 + /一/I sin。xsin (3 ye7Z =0；a22 -n-2r cos n(p(r)+7a2+ -r =0&2满足拉普拉斯方程。(2)解：在圆柱形坐标中，拉普拉斯算子可表示为:nT- cos n(p=0, 也2 3满足拉普拉斯方程;【习题L27解】 【习题L28解】 【习题L29解】