课时21860_7.3.1 离散型随机变量的均值-7.3.1 离散型随机变量的均值.docx

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1、 7.3.1 离散型随机变量的均值一、内容与内容解析1.内容：离散型随机变量均值的定义，随机变量的均值与样本均值的联系与区别，离散型随机变量均值的性质，利用组合数解决实际问题.2.内容解析：（1）离散型随机变量均值的定义：我们的目的是构造一个数值，用来描述随机变量取值的平均水平.设取有限个值的离散型随机变量X，它的分布列为pi=P(X=xi)，i=1，2，n.可以直接构造以pi为xi的权重的加权平均数i=1nxipi，来描述X取值的平均水平.由于随机变量的均值和方差都是度量性的概念，而度量因比较而产生，因此教科书并未直接给出均值的定义，而是以比较两名运动员的射箭水平为问题情境，以频率稳定到概率

2、为依据，由X观测值的频率分布稳定到X的分布列，观测值的平均数（样本均值）稳定到i=1nxipi，将样本均值的稳定值定义为随机变量的均值这种方法揭示了样本均值与随机变量均值（总体均值）的关系，为用样本均值估计随机变量均值提供了依据 随机变量的均值（数学期望）是样本均值的稳定值，它是客观存在的如果随机变量的分布列已知，期望值唯一确定；如果随机变量的分布列未知，可由样本均值进行估计（2）随机变量的均值与样本均值的联系与区别：了解随机变量均值与样本均值的关系，可以进一步深入理解随机变量均值的意义为此教科书设置了一个观察栏目，以掷骰子为例，已知出现点数X的均值为3. 5，利用计算机模拟掷骰子重复60次和

3、300次的试验各进行6组，用图形表示掷出点数的平均数观察图形可以看到掷出点数的平均数具有随机性，但随着试验次数的增大，点数的平均数逐渐稳定到3. 5实际上，频率稳定到概率是样本均值稳定到随机变量均值的特殊情形在教学中，还可以再多进行几次模拟试验，类比事件的频率稳定到概率，了解样本均值的特点及其与随机变量均值的关系 （3）离散型随机变量均值的性质：随机变量的均值有许多性质，我们主要研究其线性运算性质E(aX+b)=aE(X)+b. 该性质根据定义不难直接证明在教学中，可引导学生类比平均数的性质或根据均值的意义，先猜出结果再计算证明在后面的学习中，包括求随机变量的均值、方差及探究方差的性质，都可以

4、进行这方面的训练，这是培养学生直观想象素养的重要途径在教学中，教师可根据学情向学生提出以下问题：设X,Y都是离散型随机变量，如何求E(X十Y）？让学生根据均值的意义，猜出结果也可以进行掷两枚般子的试验，通过求点数之和X十Y的均值，发现结论一般地，有E(X +Y)=E(X)+E(Y).（4）利用均值解决实际问题：本节课是前面学习完随机变量分布列的基础上进行研究的，知识上具有着承前启后的作用.随机变量的均值和方差是概率论和数理统计的重要概念，本节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程.3.教学重点：离散型随机变量均值的意义、性质及应用二、目标与目标解析1.目

5、标：（1）理解离散型随机变量的均值的意义和性质（2）能够根据离散型随机变量的分布列求出均值（3）运用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题 2.目标解析：达成上述目标的标志是：（1）能根据定义求解离散型随机变量的均值.（2）能掌握两个随机变量的均值公式，并熟练求解.（3）可以快速有效的解决常见离散型随机变量的均值应用问题.三、教学问题诊断解析1.问题诊断：（1）让学生理解离散型随机变量均值的定义是教学的难点.实际上我们构造了一个数值，用来描述随机变量取值的平均水平.因为随机变量的均值（数学期望）是样本均值的稳定值，它是客观存在的，学生如果不能体会到为什么引入权重计算加权平均数，不明白为什么

6、要学习离散型随机变量均值，可能会产生对定义公式的陌生感解决方案：以比较两名运动员的射箭水平为具体的问题情境，通过比较两名运动员的射箭成绩均值，从而感知引入均值概念的必要性.（2）让学生体会随机变量的均值与样本均值的联系与区别是第二个教学问题，也是教学的难点.了解随机变量均值与样本均值的关系，可以进一步深入理解随机变量均值的意义随机变量的均值（数学期望）是样本均值的稳定值，它是客观存在的如果随机变量的分布列已知，期望值唯一确定；如果随机变量的分布列未知，可由样本均值进行估计 解决方案：在教学中，还可以多进行几次模拟试验，类比事件的频率稳定到概率，了解样本均值的特点及其与随机变量均值的关系.2.教

7、学难点：对离散型随机变量均值的意义的理解四、教学支持条件希沃白板软件五、教学过程一、 问题导学对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征.例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差. 本节课我们一起来认识离散型随机变量的均值.二、 探究新知探究1.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：如何比较他们射箭水平的高低呢？环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.4

8、0.2类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等，再看稳定性.假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为：甲n次射箭射中的平均环数当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于70.1+80.2+90.3+100.4=9.即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为70.15+80.25+90.4+100.2=8.65.从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.1、离散型随机变量取值的平均值.一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均

9、值或数学期望,数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.Xx1x2xixnPp1p2pipn三、典例解析例1. 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少?分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=1,不中时X=0,因此随机变量X服从两点分布,X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平.解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2， 所以E(X)=1P(X=1)+0P(X=0)=10.8+00.2 =0.8即该运动员罚球

10、1次的得分X的均值是0.8. 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么：E(X)1p+0(1p)=pX10Pp1-p设计意图：例1的教学重点是通过教学活动使学生认识到，对于一般的0-1分布，均值就是事件A的概率，样本均值是事件A发生的频率 例2.抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值.分析:先求出X的分布列,再根据定义计算X的均值.解：X的分布列为𝑷(X=k)= 16,k=1,2,3,4,5,6因此,E(X)= 16(1+2+3+4+5+6)=3.5.求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；(2)求出X取每个值时的概率；(3)写

11、出X的分布列(有时也可省略)；(4)利用定义公式EX=i=1nxipi求出均值探究2. 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. 设a,b都是实数且a0,，则Y =aX+ b也是一个随机变量，那么，这两个随机变量的均值之间有什么联系呢？Xx1x2xixnPp1p2pipn离散型随机变量的均值的性质若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数.特别地:(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身.(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值

12、与这个常数的和.(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立 P(𝑋=0)=&#

13、119875;(A)=0.2, P(𝑋=1000)=𝑃(AB)=0.80.4=0.32,𝑃(𝑋=3000)=𝑃(𝐴𝐵C)=0.80.60.6=0.288,(𝑋=6000)=(𝐴𝐵𝐶)=0.80.60.4=0.192.X的分布列如下表所示：X0100040006000P0.20.480.1280.192𝑋的均值为𝐸(𝑋)=00.2+10000.32+30000.288+600

14、00.192=2336.思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？解：如果按ACB的顺序来猜歌,分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立; (𝑋=0)=(A)=0.2,(𝑋=1000)=(AC)=0.80.4=0.32,𝑃(𝑋=3000)=𝑃(𝐴CB)=0.80.40.4=0.128,(𝑋=6000)=(𝐴CB)=0.80.40.6=0.192.X的分布列如下表所示：X010003

15、0006000P0.20.320.2880.192X的均值为E(X)=00.2+10000.48+40000.128+60000.192=2144.猜歌顺序E(X)/元猜歌顺序E(X)/元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大设计意图：通过解决实际问题，了解风险决策的原则及一般方法.对于例3，选择不同的猜歌顺序，X的分布列是不同的，不能直接进行比较，所以决策的原则是选择期望值E(X)大的猜歌顺序，这称为期望值原则猜对的概率大表示比较容易猜，猜对的概率小表示比较难猜对于教科书边空中的问题，可以让学生列出

16、所有不同的猜歌顺序，分别求出X的分布列和均值，通过比较进行验证实际上，猜3首歌有6 种不同的顺序，不同顺序及其E(X)如表所示例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下三种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元.方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水.方案3：不采取措施，希望不发生洪水.工地的领导该如何决策呢?解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,

17、P(X1=3800)=1.采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,总损失为2000元, 因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.天气状况大洪水小洪水没有洪水 概率P0.010.250.74总损失/元方案1 X1380038003800方案2 X2 6200020002000方案3 X360000100000于是,E(X1)=3800, E(X2)=62 0000.01+2 0000.99=2 600, E(X3)

18、=60 0000.01+10 0000.25+00.74=3 100.因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2能使总损失减到最小,不过,因为洪水发生的随机性,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.设计意图：例4也是利用期望值决策的问题在教学中，重点是使学生领悟利用期望值决策的思想方法，同时也要了解期望值决策的局限性随机变量的期望是一个理论上的均值，如果是大量重复地就同样的问题进行决策，期望值原则是一个合理的决策原则例如，保险公司面对众多的客户，每份保单需要理赔金额的期望值对制定合理的保险费率具有重要的参考意义如果是一次性决策的话，可以

19、采用期望值原则决策，也可以采用其他的决策原则四、小结1. 期望的概念：E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn2. 期望的意义：离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平.3. 期望的计算公式：E(aX+b)=aE(X)+b4.求离散型随机变量的期望的基本步骤：(1)确定取值：理解X的实际意义，写出X全部可能取值；(2)求概率：求出X取每个值时的概率；(3)写分布列：写出X的分布列(有时也可省略)；(4)求均值：利用定义公式i=1nxipi求出均值5.特殊随机变量的均值(两点分布的期望)：E(X)=p.五、 课后作业P66-67练习1、2、3题P71习题7.3的2、3、4、6题六、教学反思本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得.为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标.进一步发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.