课时21851_6.3.1二项式定理-6.3.1二项式定理.1.docx

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1、 6.3.1二项式定理(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第三册第六章) 一、教学内容二项式定理.二、教学目标1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；2.会应用二项式定理求解二项展开式；3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.三、教学重点与难点重点：应用二项式定理求解二项展开式难点：利用计数原理分析二项式的展开式.四、教学过程设计1、问题探究上一节学习了

2、排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的a+bn展开式的问题。问题1：我们知道 a+b2=a2+2ab+b2, a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？（2）根据你发现的规律，你能写出a+b4的展开式吗？（3）进一步地，你能写出a+bn的展开式吗？我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则， a+b2=a+ba+b=aa+b+ba+b=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2可以看到，a+b2是2个a+b相乘，只要从一个a+b中选一项（选a或b），再从另一个a+b中选一项（选a 或b），就得到展开式的一项，于

3、是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，a+b2的展开式共有C21C21=22项，而且每一项都是a2kbk（ k=0,1,2）的形式.我们来分析一下形如a2kbk的同类项的个数.当k=0时，a2kbk=a2，这是由2个a+b中都不选b得到的，因此，a2出现的次数相当于从2个a+b中取0个b（即都取a）的组合数C20，即a2只有1个；当k=1时，a2kbk= ab，这是由1个a+b中选a，另一个a+b中选b得到的，由于b选定后，a的选法也随之确定，因此， ab出现的次数相当于从2个a+b中取1个b的组合数C21，即ab只有2个；当k=2时，a2kbk= b2，这是由2个a+b中选b得到的，因此

4、，b2出现的次数相当于从2个a+b中取2个b的组合数C22，即b2只有1个；由上述分析可以得到a+b2=C20a2+C21ab+C22b2问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出a+b3，a+b4的展开式吗？ 类似地，用同样的方法可知a+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3a+b4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b41二项式定理(ab)n_ (nN*)(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有_项(3)二项式系数：各项的系数_ (k0,1,2，n)叫做二项式系数CanC

5、an1bCan2b2CankbkCbnn1 ； C2二项展开式的通项公式(ab)n展开式的第_项叫做二项展开式的通项，记作Tk1_.k1 ； Cankbk二项式定理形式上的特点(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.(2)二项式系数都是Cnk(k=0,1,2,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n.(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.2、典例解析例1.求x+1x6的展开式. 解：根据二项式定理x+1x6

6、=x+x16=C60x6+C61x5x1+C62x4x2+C63x3x3+C64x2x4+C65x1x5+C66x6=x6+6x4+15x2+20+15x2+6x4+x61.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.例2.（1）求1+2x7的展开式的第4项的系数；（2）求2x1x6的展开式中x2的系数.解：1+2x7的展开式的第4

7、项是T3+1=C73173 (2x)3 =C7323 x3=358 x3=280 x3因此,展开式第4项的系数是280.（2）2x1x6 的展开式的通项是C6k(2x12)6k(x12)k=C6k26kx6k2k2=C6k26kx3k根据题意，得 3k=2，k=1，因此，x2的系数是（1）25C61=192.二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数Cnk(k0,1,2,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为Cnk.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=C7317-3(2x)3,其二项式系数是C73=35,而第4项的系数是C7323=280.五、课堂小结1. 二项式定理；2. 运用通项公式求指定项或指定项的系数.六、课后作业1、课本P31 练习1,2,3，4,5 （做在课本上）2、课本P34 习题6.3 4、5