2022年人教B版（2019）必修一高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其表示方法 课件(25张PPT).pptx

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1、1.1集合1.1.1集合及其表示方法1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的关系.2.针对不同的具体问题,能够在自然语言和图形语言的基础上用符号语言表示集合.3.会用区间来表示数集.集合1.集合的含义:把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集,记作.2.元素:组成集合的每个对象都是这个集合的元素.3.集合中元素的特点:确定性,互异性和无序性.若两个集合中的元素完全相同,则称它们相等.4.元素与集合的关系:a属于集合A,用符号表示为aA;a不属于集合A,用符号表示为a A.几种常见的数集集合的表示方法1.列举

2、法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.2.描述法:一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为x|p(x).这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法.常见的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号表示NN+或N*ZQR区间及其表示设a,b是两个实数,而且ab.定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a,bx|axb半开半闭区间a,b)x|axb半开半闭区间(a,bx|axa开区间(

3、a,+)x|xa半开半闭区间(-,ax|xa开区间(-,a)判断正误,正确的画“”,错误的画“”.1.某班个子很高的女生虽然不多,但仍然可以组成一个集合.()2.集合xN*|x5是用描述法表示的一个集合.()3. x|x|2.()4.x|x2-5x+6=0=2,3.()5.任何集合都可以用区间来表示.()6.由1,1,2,2,3,3组成的集合可用列举法表示为1,1,2,2,3,3.()3如何理解集合中元素的特点集合中元素的特点(1)确定性作为一个集合中的元素,必须是确定的,也就是说,给定一个集合,这个集合的元素也就确定了.(2)无序性对于一个给定的集合,集合中的元素并无先后顺序,即任何两个元素

4、都是可以交换顺序的.(3)互异性对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.这就是说,集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素.破疑典例()已知集合A中含且仅含有三个元素a+1,3a,a2+1,若1A,求实数a的值.解析当a+1=1时,a=0,3a=0,a2+1=1,不满足集合中元素的互异性,舍去.当3a=1时,a=,a+1=,a2+1=,符合题意.当a2+1=1时,a=0,a+1=1,3a=0,不满足集合中元素的互异性,舍去.综上可知,实数a的值为.易错警示1.解题时易忽视集合中元素的互异性,认为a=0也符合题意,导致解题错误.2.解与集合相关

5、的问题时,还要注意集合中元素的无序性,列出所有方程,防止漏列方程导致错误.1343109某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中形成的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分.集合表示方法的合理选择问题1.此抛物线上所有点构成的集合是有限集还是无限集?提示:抛物线上有无数个点,构成的集合是无限集.2.宜用什么方法表示此抛物线上所有点构成的集合?提示:无限集宜用描述法表示.3.水喷出的最大高度构成的集合宜用什么方法表示?提示:宜用列举法表示.列举法和描述法各有优缺点,应根据具体问题确定采用哪种表示方法,一般遵循最简原则.当集合中元素较多或有无限个

6、时,不宜采用列举法.1.使用列举法表示集合时应注意以下几点:(1)元素个数少且有限时,要全部列举出来,如1,2,3,4;(2)元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如“从1到1000的所有自然数组成的集合”可以表示为1,2,3,1000;(3)元素个数无限但有规律时,也可以采用列举法表示,如“自然数集N”可以表示为0,1,2,3,.2.使用描述法表示集合时应注意以下几点:(1)写清楚代表元素的形式,如数或点等;(2)说明该集合中元素的特征性质;(3)不能出现未经说明的字母;(4)所有描述的内容都要写在大括号内,用于描述的内容力求简洁、准确.拔高问题4.怎样确定直线y=x+1与抛物

7、线y=-x2+4x的交点有几个?提示:可画图观察(或联立方程,解方程组).5.怎样用列举法表示直线y=x+1与抛物线y=-x2+4x交点构成的集合?提示:联立方程求解.破疑典例1.()用描述法表示下列各集合:(1)2,4,6,8,10,12;(2)2,3,4;(3).解析(1)x|x=2n,nN*且n6.(2)x|2x4,xN或x|(x-2)(x-3)(x-4)=0.(3).1 2 3 4 5, ,3 4 5 6 7*n|,N6n2x xnn且2.()用适当的方法表示下列集合.(1)被3除余2的整数组成的集合;(2)方程(x+1)(x2-2)=0的解组成的集合;(3)直线y=x-1,y=-x+

8、1的交点组成的集合;(4)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合.思路点拨:(1)类比奇数表示为x=2k+1,kZ的方法.(2)求出方程的解后用列举法表示.(3)联立直线的解析式,求出交点后用集合表示.(4)结合平面直角坐标系第二象限内点的坐标的符号特征表示.解析(1)被3除余2的整数可表示为3k+2,kZ,用集合表示为x|x=3k+2,kZ.(2)解方程(x+1)(x2-2)=0得x=-1或x=,用集合表示为-1,-,.(3)由解得故两直线的交点为(1,0),用集合表示为(1,0).(4)代表元素取有序实数对(x,y),用描述法表示为(x,y)|x0.2221,1,yxyx 1,0,xy3.

9、()用列举法表示下列集合.(1)A=;(2)B=y|y=-x2+9,xZ,yN*;(3)C=(x,y)|y=-x2+6,xN,yN.6ZZ3xx思路点拨:根据集合的表示方法,分析集合中元素的特征,用列举法表示集合.解析(1)要使x,是整数,则|3-x|必是6的约数,当x=-3,0,1,2,4,5,6,9时,|3-x|是6的约数,A=-3,0,1,2,4,5,6,9.(2)由y=-x2+9,xZ,yN*,可知0|x|2,且为整数.当x=0,1,2时,y=9,8,5,符合题意,B=9,8,5.(3)点(x,y)满足条件y=-x2+6,xN,yN,则有C=(0,6),(1,5),(2,2).63x0

10、,6,xy1,5,xy2,2,xy在含参数的集合中,研究参数的值(取值范围)对集合有何影响,和根据条件确定参数的值(取值范围)是常见的问题,如何解决此类含参数的问题?问题1.已知集合A=x|2x+a=0,若2A,如何确定参数a的值?提示:由2A得2满足限制条件2x+a=0,因此22+a=0,解得a=-4,故a的值为-4.2.已知集合A=x|2x+a0,若1 A,2A,如何确定参数a的取值范围?提示:1 A,21+a0,a-2.又2A,22+a0,a-4,-4a-2.3.已知集合A=x|x=m2-n2(m,nZ),如何判断3是不是集合A中的元素?提示:可以取特殊值验证,令m=2Z,n=1Z,得x

11、=m2-n2=4-1=3,所以3A.集合中含参数问题的解法求解含参数的集合问题,若参数的取值对解题有影响,常对参数进行分类讨论.1.对参数进行准确的逻辑划分.如在研究方程ax+b=0时:(1)方程ax+b=0中,一次项系数a确定方程的类型,当a0时是一元一次方程,当a=0时不是一元一次方程;(2)当a0时,按一元一次方程求解,当a=0时,看b是不是0.2.求参数值的问题先用条件列出等式,再解方程(组)求值,最后再用互异性检验参数的值是否符合题意.解题时要注意:(1)列等式时要考虑到元素的无序性,元素的无序性主要体现在:给出对象属于某集合,则它可能等于集合中的任一元素;给出两集合相等,则其中的元

12、素不一定按顺序对应相等;(2)元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验,同一集合中的元素要互不相等.破疑典例1.()已知集合A=x|ax2+2x+1=0,aR.(1)若A中只有一个元素,求a的值;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围;(3)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.思路点拨:先定性:确定方程是一元一次方程还是一元二次方程;再定量:计算=4-4a的值,判断实数根的个数.解析(1)当a=0时,原方程为2x+1=0,此时x=-,与题意相符;当a0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,由=4-4a=0得a=1,原方程的解为x1=x2=-1,与题意相符.故当a=0或a=1时,原

13、方程只有一个解或两个相等的解,此时A中只有一个元素.(2)A中至多有一个元素,则A中只有一个元素或没有元素.当=4-4a1时,原方程无实数解.结合(1)知,当a=0或a1时,A中至多有一个元素.12(3)A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素,当有两个元素时,由0得a1,结合(1)可知当a1时,A中至少有一个元素.陷阱分析当二次项系数含参数时,应分其为0和不为0两种情况来讨论,防止漏掉二次项系数为0的情况导致解题错误.对含有“至多”“至少”等不确定字眼的问题,要能准确理解其含义,防止漏解导致错误.2.()实数集A满足条件:1 A,若aA,则A.(1)若2A,求A中一定含有的其他元素;(2)

14、集合A能否为单元素集?若能,求出A;若不能,说明理由;(3)若aA,求证:1-A.解析(1)若2A,由于21,则A,即-1A.-1A,-11,A,即A.A,1,A,即2A.由以上可知,若2A,则A中一定含有另外两个元素-1和.11a1a11211( 1) 121212111212(2)不能.理由如下:假设A是单元素的实数集,则有a=,即a2-a+1=0.=(-1)2-411=-30,方程a2-a+1=0没有实数根,A不能为单元素集.(3)证明:若aA,a1,则A,A,即1-A.3.求参数的取值范围时,先用条件列出不等式(组),再解不等式(组)得到参数的取值范围,最后再用互异性检验参数的取值范围是否符合题意.11a11a1111a1a