矩阵的逆的典型例题高等教育微积分高等教育大学课件.pdf

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1、ML32006 题目：设A、B、AB都可逆，证明AB11可逆，且 ABA A+BB=B A+BA()11111 涉及的知识点 知识点一：矩阵的逆 知识点二：矩阵的运算 解题方法 需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题.内容：如能证明第一个等式成立111 BA()1B BA()A即1111 ABB ABA()(),因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证111ABA ABBE()().下面给出四种证法.1.定义法.2.用定义直接验证，运算过程不同.3.定义法，运算过程不同。4.恒等变形.解题过程（详细过程）第一种证法 第一步：()()()()()()()()()()1111

2、111111111111ABA ABBA A ABBBA ABBE ABBBA ABBB B ABBBA ABBBBAABBE 需要配音或重点提示的文字：无 第二种证法 第一步：()()()()()()()()1111111111ABA ABBEBAABBB BBAABBBABABBE 需要配音或重点提示的文字：无 第三种证法 第一步：ABA ABBA A ABBBA ABBEBAABBEBAABBEBABABEBAEBAE()()()()()()()()()()()()()1111111111111111111 需要配音或重点提示的文字：无 第四种证法 第一步：将11AB恒等变形，得到 AB

3、AAB B()1111 或 ABBAB A()1111 对上两式分别求逆，即 ()()()()ABB ABAABA ABB11111111 需要配音或重点提示的文字：无 学生常犯的错误 需要配音或重点提示的文字：无 内容：错误地推出ABAB()111.相关例题一 题目一：设A，B，ABE为同阶非奇异矩阵，试证：（1）AB1为非奇异矩阵；（2）ABA()111也是非奇异矩阵，并求其逆阵.解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证.解答：（1）因 ABAEBABBBABE B()11111 故 0,ABABE B11即AB1为非奇异矩阵.阵运算及证明矩阵可逆的综合题内容如能证明第一个等式成立即因而第二

4、个等式也成立下证第一个等式成立只需证下面给出四种证法定义法用定义直接验证运算过程不同定义法运算过程不同恒等变形解题过程第一步详细过程第一种重点提示的文字无第四种证法第一步将恒等变形得到或对上两式分别求逆即需要配音或重点提示的文字无学生常犯的错误需要配音或重点提示的文字无内容错误地推出相关例题一题目一设为同阶非奇异矩阵试证为非奇异矩阵也是非奇异矩阵且相关例题二题目二设均为正交矩阵试证解题思路利用正交阵的定义证解答因为均为正交矩阵所以成立从而方法总结需要配音或重点提示的文字无内容证明逆矩阵的和可逆常根据定义来证利用矩阵运算的基本性质得到了方（2）因 ABAABABABAABEABAABABABAB

5、ABAAA BAEBAEA()()()()()()()()()()()()1111111111111111111111)由已知条件，00ABAE,得A10 BAE()10 故 0 ABA)（111,即 11AB)（为非奇异矩阵，且 11111ABABAEAA BAE)（11 相关例题二 题目二：设A，B，AB均为正交矩阵，试证：111ABAB()解题思路：利用正交阵的定义证.解答：因为,A B AB均为正交矩阵，所以 11AABB,，1()()ABAB成立.从而 111ABABABAB()()方法总结 需要配音或重点提示的文字：无 内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性

6、质得到了方法 1，2，3,也可用恒等变形.阵运算及证明矩阵可逆的综合题内容如能证明第一个等式成立即因而第二个等式也成立下证第一个等式成立只需证下面给出四种证法定义法用定义直接验证运算过程不同定义法运算过程不同恒等变形解题过程第一步详细过程第一种重点提示的文字无第四种证法第一步将恒等变形得到或对上两式分别求逆即需要配音或重点提示的文字无学生常犯的错误需要配音或重点提示的文字无内容错误地推出相关例题一题目一设为同阶非奇异矩阵试证为非奇异矩阵也是非奇异矩阵且相关例题二题目二设均为正交矩阵试证解题思路利用正交阵的定义证解答因为均为正交矩阵所以成立从而方法总结需要配音或重点提示的文字无内容证明逆矩阵的和可逆常根据定义来证利用矩阵运算的基本性质得到了方