矩阵理论第一二章典型例题1高等教育微积分高等教育大学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 矩阵理论第一二章 典型例题 一、判断题 1An为 阶实对称矩阵，nRx对中的列向量，T|x|x Ax定义,|x|x则为向量 的范数.()提示：因为非负性不成立，故结论错误。2设An为 阶Hermite 矩阵，12,n 是矩阵 A 的特征值，则2221|nmiiA.()提示：An为 阶Hermite 矩阵222212|(,)|HmnmAUdiagU 2212|(,)|nmdiag21nii.3.如果m nAC，且0A，()HAAAA,则2|AAn.()提示：AA为幂等矩阵AA的特征值为 0 或 1。又0A,AAA秩()=秩()1 0AA1 是AA的特征值2|max()HiAA

2、AAAAmax()iAA=1 4.若设nxR，则212|xxnx.()提示：2222221221|xxxxx，11|niixx1|1niix 2 1/21(|)niinx2|nx 5.设m nAR的奇异值为12n，则2221|niiA.()6.设n nAC，且有某种算子范数|，使得|1A，则11|()|1|EAA,其中E为n 阶单位矩阵.()提示：学习必备 欢迎下载 111()()()()EEA EAEAA EA11()()EAEA EA 11|()|()|EAEA EA1|()|EAEA 1|1|()|1|1|EEAAA 7.设2HAEuu(其中，E 为 n 阶单位矩阵，2|1nuCu且)，

3、则2|mAn ()提示：(2)HHHAEuu(2)HHEuu 2HEuu A (2)(2)HHHAAEu uEu u224HHHHEu uu uu uu uE 2|()HmAt rAAn 8.设n nAC为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()|r AA.()9.设nnCA可逆，nnCB，若对算子范数有1|1AB，则BA可逆.()10.设 A为mn矩阵，P为 m 阶酉矩阵,则 PA与 A有相同的奇异值.()11.设n nAC，且 A的所有列和都相等，则()r AA.()12.如果12(,)Tnnxx xxC，则1|minii nxx是向量范数.()13.设,n nAC则矩阵范数mA与向量的 1-范数相

4、容.()14、设n nAC是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有1IA,其中I为单位矩阵.()二、设m nAC，,|max|iji jAmna，证明:(1)|A为矩阵范数;(2)|A为与向量 2-范数相容.三、试证：如果 A为 n 阶正规矩阵，且Axx和Ayy，其中，那么 x 与 y正交.证：A为 n 阶正规矩阵HAUU AxxHUUxxUxUxxUxxx 为非负性不成立故结论错误设为阶矩阵是矩阵的特征值则提示为阶矩阵如果且则提示为幂等矩阵的特征值为或又秩秩是的特征值若设则提示设的奇异值为则设且有某种算子范数使得则其中为阶单位矩阵提示学习必备欢迎下载设其中同的奇异值设且的所有列和都相等则如果则

5、是向量范数设则矩阵范数与向量的范数相容设是不可逆矩阵则对任一自相容矩阵范数有其中为单位矩阵二设证明为矩阵范数为与向量范数相容三试证如果为阶正规矩阵且和其中那么与正交范数使得设为任意给定的正数为矩阵的谱半径证明至少存在一个矩阵范数使得五设矩阵是酉矩阵证明的所有特征值满足不等式六设是上的相容的矩阵范数矩阵都是阶可逆矩阵且及都小于或等于证明对任意矩阵定义了上的一个相容的学习必备 欢迎下载 1(,)Tnxxx设,0iix 时 AyyHUUyyUyUyyUyyy ,0iiy时 (,)0 x y 0,()Hx yUxUyHHx U UyHx y,x y 四、(1)设(1)n nACn为严格对角占优矩阵，1

6、 12 2(,)nnDdiag aaa，其中(1,2,)iiain为 A 的对角元，E 为 n 阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数|使得1()1r EDA.(2)设n nAC,为任意给定的正数，()r A为矩阵的谱半径。证明：至少存在一个矩阵范数|A使得|().Ar A 五设矩阵 U 是酉矩阵,12diag(,)nAa aa,证明:UA的所有特征值满足不等式|maxminiiiiaa.六.设|a是n nC上的相容的矩阵范数,矩阵,B C都是 n 阶可逆矩阵,且1|aB及1|aC都小于或等于 1,证明:对任意矩阵n nAC|baABAC 定义了n nC上的一个相容的矩阵范数.七 设A是可逆矩阵,是A

7、的一个特征值,对于任意的算子范数|,证明11|A.八.设A是 Hermite 矩阵()HAA，且A的特征值12n，证明矩阵A的Rayleigh 商恒等于1.九已知n nC中的两种矩阵算子范数|a与|b,对于任意矩阵n nAC,验证 为非负性不成立故结论错误设为阶矩阵是矩阵的特征值则提示为阶矩阵如果且则提示为幂等矩阵的特征值为或又秩秩是的特征值若设则提示设的奇异值为则设且有某种算子范数使得则其中为阶单位矩阵提示学习必备欢迎下载设其中同的奇异值设且的所有列和都相等则如果则是向量范数设则矩阵范数与向量的范数相容设是不可逆矩阵则对任一自相容矩阵范数有其中为单位矩阵二设证明为矩阵范数为与向量范数相容三试

8、证如果为阶正规矩阵且和其中那么与正交范数使得设为任意给定的正数为矩阵的谱半径证明至少存在一个矩阵范数使得五设矩阵是酉矩阵证明的所有特征值满足不等式六设是上的相容的矩阵范数矩阵都是阶可逆矩阵且及都小于或等于证明对任意矩阵定义了上的一个相容的学习必备 欢迎下载|abAAA 是n nC中的相容矩阵范数.十设矩阵m nrAC的非零奇异值为12,r(0r),求证 1221|().rFiiA 十一.设矩阵n nAC可逆,矩阵范数|是nC上的向量范数|v诱导出的算子范数,令()L xAx,证明:|11|1max|()|min|()|vvvxvyL xAAL y.证明:根据算子范数的定义,有|1max|()|

9、xL xA,11100|1|10|111|maxmax|min|min|()|min|y A xxyyyyA xyAAyxAyAyL yy,结论成立.十二.设矩阵n nAC为单纯矩阵,证明:A的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵n nHC,使得HA为 Hermite 矩阵.证 明:(充 分 性)(0)Axx x,(0,)HHHHx HAxx HxR x Hxx HAxR,R.(必要性)A为单纯矩阵,所以11,(,),niAP DPDdiagR,令HHP P,则1HHHAP PPDPP DP为 Hermite 矩阵.十三.(1)设矩阵()ijn nAa,则,|max|aiji jAna

10、是矩阵范数.(2)设,nx y p qC,矩阵HHAxpyq,xy,pq其中，求2|mA.为非负性不成立故结论错误设为阶矩阵是矩阵的特征值则提示为阶矩阵如果且则提示为幂等矩阵的特征值为或又秩秩是的特征值若设则提示设的奇异值为则设且有某种算子范数使得则其中为阶单位矩阵提示学习必备欢迎下载设其中同的奇异值设且的所有列和都相等则如果则是向量范数设则矩阵范数与向量的范数相容设是不可逆矩阵则对任一自相容矩阵范数有其中为单位矩阵二设证明为矩阵范数为与向量范数相容三试证如果为阶正规矩阵且和其中那么与正交范数使得设为任意给定的正数为矩阵的谱半径证明至少存在一个矩阵范数使得五设矩阵是酉矩阵证明的所有特征值满足不等式六设是上的相容的矩阵范数矩阵都是阶可逆矩阵且及都小于或等于证明对任意矩阵定义了上的一个相容的