高中数学函数的单调性奇偶性周期性对称性及函数的图像中学教育高中教育中学教育高中教育.pdf

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1、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像(一)复习指导 单调性：设函数 yf(x)定义域为 A，区间 MA，任取区间 M 中的两个值 x1，x2，改变量xx2x10，则当yf(x2)f(x1)0 时，就称 f(x)在区间 M 上是增函数，当y=f(x2)f(x1)0 时，就称 f(x)在区间 M 上是减函数 如果 yf(x)在某个区间 M 上是增(减)函数，则说 y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间 M 叫做 y=f(x)的单调区间 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取 x1，x2，当 x1x2时判断相应的函数

2、值 f(x1)与 f(x2)的大小 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的 对于 y=f(x)型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令 u=(x)，然后分别根据 u=(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律 此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述 奇偶性：(1)设函数 f(x)的定义域为 D，如果对 D 内任意一个 x，都有xD，且 f(x)=f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数 f(x)的定义域为 D，如果对 D 内任意一

3、个 x，都有xD，且 f(x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数 函数的奇偶性有如下重要性质：f(x)奇函数f(x)的图象关于原点对称 f(x)为偶函数f(x)的图象关于 y 轴对称 此外，由奇函数定义可知：若奇函数 f(x)在原点处有定义，则一定有 f(0)=0，此时函数 f(x)的图象一定通过原点 周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)成立，则函数 f(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期 关于函数的周期性，下面结论是成立的(1)若 T 为函数 f(x)的一个周期，则 kT也是 f(x)的周期(k为

4、非零整数)(2)若 T 为 y=f(x)的最小正周期，则|T为 y=Af(x+)+b 的最小正周期，其中 0 对称性：若函数 y=f(x)满足 f(ax)=f(b+x)则 y=f(x)的图象关于直线2bax 对称，若函数 y=f(x)满足 f(ax)=f(b+x)则 y=f(x)的图象关于点(2ba，0)对称 函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用(1)利用平

5、移变换作图：y=f(x)左右平移y=f(xa)y=f(x)上下平移y=f(x)b(2)利用和 y=f(x)对称关系作图：y=f(x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称；y=f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称 y=f(x)与 yf(x)的图象关于原点对称；y=f-1(x)与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称(3)利用 y=f(x)图象自身的某种对称性作图 y=|f(x)|的图象可通过将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分关于 x 轴旋转 180，其余部分不变的方法作出 y=f(|x|)的图象：可先做出 y=f(x)，当 x0 时的图象，再利用偶函数的图象关于 y 轴对

6、称的性质，作出 y=f(x)(x0)的图象 此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究 还要记住一些结论：若函数 y=f(x)满足 f(ax)=f(b+x)则 y=f(x)的图象关于直线2bax 对称，若函数 y=f(x)满足 f(ax)=f(b+x)则 y=f(x)的图象关于点(2ba，0)对称 (二)解题方法指导 例 1设 a0，试确定函数21)(xaxxf在(1，1)上的单调性 例 2讨论xxxf2)(的增减性 例 3f(x)在(，2)上是增函数，且对任意实数 x 均有 f(4x)=f(x)成立，判断 f(x)在(2，+)上的增减性 例 4*已知函数 f(x)的定义域为 R，对任

7、意实数 m，n，都有21)()()(nfmfnmf且当21x时，f(x)0又.0)21(f()求证;1)21(,21)0(ff()判断函数 f(x)的单调性并进行证明 例 5在 R 上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数 量则当时就称在区间上是增函数当时就称在区间上是减函数如果在某个区间上是增减函数则说在这一区间上具有单调性这一区间叫做的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质在给定区间上判断函数增减性最基本的方法就是利有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的对于型双重复合形式的函数的增减性可通过换元令然后分别根据在相应区间上的增减性进行判断一般有同则增异则减这一规律此外利用导数研究函数的

8、增减性更是一种非常重要的方法数叫做奇函数设函数的定义域为如果对内任意一个都有且则这个函数叫做偶函数函数的奇偶性有如下重要性质奇函数的图象关于原点对称为偶函数的图象关于轴对称此外由奇函数定义可知若奇函数在原点处有定义则一定有此时函数 例 6判断下列函数的奇偶性)1lg()()1(2xxxf(2)11)()(xxaaxxf(其中 (x)为奇函数，a0 且 a1)例 7设函数)1,1(1)(2xbxxaxxf是奇函数，判断它的增减性 例 8设 f(x)是定义域为 R且以 2 为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当 x2，3时 f(x)=(x1)2+1，求当 x1，2时 f(x)的解析式 例 9作出

9、112xxy的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性 例 10作出函数的图象(1)1)1(32xy (2)y=|lg|x|例 11(1)作出方程x+y=1 所表示的曲线 (2)作出方程x1+y+1=1 所表示的曲线 量则当时就称在区间上是增函数当时就称在区间上是减函数如果在某个区间上是增减函数则说在这一区间上具有单调性这一区间叫做的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质在给定区间上判断函数增减性最基本的方法就是利有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的对于型双重复合形式的函数的增减性可通过换元令然后分别根据在相应区间上的增减性进行判断一般有同则增异则减这一规律此外利用导数研究函

10、数的增减性更是一种非常重要的方法数叫做奇函数设函数的定义域为如果对内任意一个都有且则这个函数叫做偶函数函数的奇偶性有如下重要性质奇函数的图象关于原点对称为偶函数的图象关于轴对称此外由奇函数定义可知若奇函数在原点处有定义则一定有此时函数 例 12已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)=x2+2x(1)求函数 g(x)的解析式；(2)解不等式 g(x)f(x)x1 例 题 解 析 例 1解：任取 x1，x2(1，1)，且x=x2x10，则)1)(1()1)(11)()(2221211222122212xxxxxxaxaxxaxxfxfy 由于1x1x21，所以x=x2x10

11、，1x1x20，121x0，122x0 因此当 a0 时，y=f(x2)f(x1)0，当 a0 时，y=f(x2)f(x1)0 所以当 a0 时 f(x)在(1，1)上是增函数，当 a0 时，f(x)在(1，1)上是减函数 例 2分析：可先在(0，)上研究 f(x)的增减性，然后根据 f(x)的奇偶性判断其在(，0)上的增减性，而当 x0 时，有,222)(xxxf当且仅当xx2即2x时“=”成立，即当2x时，f(x)取得最小值,2由此可知 x=2是函数单调区间的一个分界点 解：任取 x1，x2(0，2，且x=x2x10 则)21)()2()2()()(2112112212xxxxxxxxxf

12、xfy 因为,2021xxx=x2x10，且02121xx，因此y=f(x2)f(x1)0，故 f(x)在2,0(上是减函数同理可证 f(x)在),2是增函数 量则当时就称在区间上是增函数当时就称在区间上是减函数如果在某个区间上是增减函数则说在这一区间上具有单调性这一区间叫做的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质在给定区间上判断函数增减性最基本的方法就是利有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的对于型双重复合形式的函数的增减性可通过换元令然后分别根据在相应区间上的增减性进行判断一般有同则增异则减这一规律此外利用导数研究函数的增减性更是一种非常重要的方法数叫做奇函数设函数的定义域为如果对内

13、任意一个都有且则这个函数叫做偶函数函数的奇偶性有如下重要性质奇函数的图象关于原点对称为偶函数的图象关于轴对称此外由奇函数定义可知若奇函数在原点处有定义则一定有此时函数又由),(2)(xfxxxf可知 f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，所以可知 f(x)在2,(上是增函数，在)0,2上是减函数 综上所述，xxxf2)(在2,(和),2上是增函数，在)0,2，2,0(上是减函数 例 3解：任取 x1，x2(2，)，且 x1x2，则由 2x1x2得 24x14x2 因为 f(x)在(，2)上是增函数，所以有 f(4x1)f(4x2)而由已知又有 f(4x1)=f(x1)，f(4x2)=f(x2)

14、，所以 f(x1)f(x2)，故 f(x)在(2，)上是减函数 小结：注意体会解题中的划归思想此题若是一个小题，由 f(4x)=f(x)可知 f(x)的图像关于 x=2 对称，立即就可以判断出 f(x)在(2，)上是减函数 例 4分析：判断这类抽象函数的单调性，关键是根据已知去创造条件，利用单调性的定义进行和判断，可以采用分析法寻求解题思路 解：()由 f(mn)=f(m)f(n)21得 f(0)=f(00)=2f(0)21有 f(0)=21 又由21)21()21()2121()0(ffff及0)21(f得1)21(f()任取 x1，x2R 且xx2x10 则212112 xx根据已知可得0

15、)21(12xxf 则有21)()()()(1121122xfxxfxxxfxf 21)(21)21()21(21)()2121(112112xffxxfxfxxf ).(1)(11)()21(0111xfxfxff 函数 f(x)在 R 上为增函数 例 5 解：设所求的 R 上的函数为 f(x)，则由函数奇偶性定义得 f(x)=f(x)，f(x)=f(x)，联立，消去 f(x)，得 f(x)=0 显然函数 f(x)=0 既是奇函数又是偶函数，所以 f(x)=0 就是所求的函数 例 6解：(1)因为对任意 xR，都有0|122xxxxxx，所以函数定义域为 R 任取 xR，则xR 且有)()1

16、lg()1lg()1lg()(2122xfxxxxxxxf 所以)1lg()(2xxxf是奇函数(2)函数的定义域为 R 任取 xR，则xR，量则当时就称在区间上是增函数当时就称在区间上是减函数如果在某个区间上是增减函数则说在这一区间上具有单调性这一区间叫做的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质在给定区间上判断函数增减性最基本的方法就是利有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的对于型双重复合形式的函数的增减性可通过换元令然后分别根据在相应区间上的增减性进行判断一般有同则增异则减这一规律此外利用导数研究函数的增减性更是一种非常重要的方法数叫做奇函数设函数的定义域为如果对内任意一个都有且则这

17、个函数叫做偶函数函数的奇偶性有如下重要性质奇函数的图象关于原点对称为偶函数的图象关于轴对称此外由奇函数定义可知若奇函数在原点处有定义则一定有此时函数且有.11)(11)(11)()(xxxxxxaaxaaxaaxxf 所以11)()(xxaaxxf是偶函数 例 7解：显然 x1，1，x1，1，因为 f(x)为奇函数，所以对区间1，1内任意实数 x 均有 f(x)=f(x)成立，即1122bxxaxbxxax，也就是1122bxxaxbxxax这是关于 x 的恒等式，比较两端分子分母对应项的系数，可得 a=b=0 所以1)(2xxxf 任取 x1，x21，1，且x=x2x10 则)1)(1()1

18、)(11)()(2221211221122212xxxxxxxxxxxfxfy 因为1x1x21，所以x=x2x10，1x1x20，因此y=f(x2)f(x1)0，所以当 x1，1时1)(2xxxf为增函数 注：此题也可以通过 f(0)=0，f(1)=f(1)求得 a=b=0 例 8分析：此题的解答要抓住两个关键点，一个是 f(x)为偶函数，再一个是 f(x)为周期函数，通过画出草图，就会发现可以先求出当 x3，2时函数的解析式，在利用周期性求出当 x1，2时 f(x)的解析式，要注意体会划归的思想方法 解：当 x3，2时x2，3所以 f(x)=(x1)21=(x1)21，因为 f(x)是偶函

19、数，因此当 x3，2时，f(x)=(x1)21 当 x1，2时，x43，2，有 f(x4)=(x41)21=(x3)21，因为 2 为 f(x)的周期，可知4也为 f(x)一个周期，有 f(x4)=f(x)故 x1，2时 f(x)=(x3)21 例 9解：因为112112xxxy 所以将xy1的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，即可得到112xxy的图象，如图 由图象可以得到：对称中心为(1，2)渐近线分别为 x=1，y=2 函数在(，1)和(1，)上都是增函数 量则当时就称在区间上是增函数当时就称在区间上是减函数如果在某个区间上是增减函数则说在这一区间上具有单调性这一区间叫做的单调区

20、间函数的单调性是函数的一个重要性质在给定区间上判断函数增减性最基本的方法就是利有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的对于型双重复合形式的函数的增减性可通过换元令然后分别根据在相应区间上的增减性进行判断一般有同则增异则减这一规律此外利用导数研究函数的增减性更是一种非常重要的方法数叫做奇函数设函数的定义域为如果对内任意一个都有且则这个函数叫做偶函数函数的奇偶性有如下重要性质奇函数的图象关于原点对称为偶函数的图象关于轴对称此外由奇函数定义可知若奇函数在原点处有定义则一定有此时函数例 10解：(1)将函数32xy 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可的得到1)1(32xy，如图 (2)

21、y=lgx为偶函数，当 x0 时先作出 y=lgx 的图象，在根据奇偶性作出 y=lgx的图象，最后将y=lgx在横轴下面的图象关于 x 轴旋转 180，其余部分不变即可得到 y=lgx的图象，如图 例 11分析，曲线xy=1 是关于 x 轴，y 轴和原点的对称图形，利用对称性可以很快的作出曲线，至于曲线x1y1=1，只需通过将曲线xy1 适当平移即可得到 解：(1)先作出线段 xy=1(x1，y1)，再作出该线段分别关于 x 轴，y 轴和原点分别对称的线段，就得到方程xy=1 所表示的曲线，如图 (2)将(1)中方程xy=1 所表示的曲线右移一个单位，下移一个单位就得到方程x1y1=1 所表

22、示的曲线，如图 例 12解：(1)设 f(x)上任意一点 P(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)则020200yyxx即yyxx00 因为点 P(x0，y0)在 f(x)=x22x 的图像上，所以200 xy2x0，即y=(x)22(x)量则当时就称在区间上是增函数当时就称在区间上是减函数如果在某个区间上是增减函数则说在这一区间上具有单调性这一区间叫做的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质在给定区间上判断函数增减性最基本的方法就是利有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的对于型双重复合形式的函数的增减性可通过换元令然后分别根据在相应区间上的增减性进行判断一般有同则增异则减这一规律

23、此外利用导数研究函数的增减性更是一种非常重要的方法数叫做奇函数设函数的定义域为如果对内任意一个都有且则这个函数叫做偶函数函数的奇偶性有如下重要性质奇函数的图象关于原点对称为偶函数的图象关于轴对称此外由奇函数定义可知若奇函数在原点处有定义则一定有此时函数故 g(x)=x22x(2)由 g(x)f(x)x1得 2x2x1 当 x1 时，不等式化为 2x2x10，此式无实数解 当 x1 时，不等式化为 2x2x10 解得211x，因此 g(x)f(x)x1解集为.21,1 量则当时就称在区间上是增函数当时就称在区间上是减函数如果在某个区间上是增减函数则说在这一区间上具有单调性这一区间叫做的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质在给定区间上判断函数增减性最基本的方法就是利有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的对于型双重复合形式的函数的增减性可通过换元令然后分别根据在相应区间上的增减性进行判断一般有同则增异则减这一规律此外利用导数研究函数的增减性更是一种非常重要的方法数叫做奇函数设函数的定义域为如果对内任意一个都有且则这个函数叫做偶函数函数的奇偶性有如下重要性质奇函数的图象关于原点对称为偶函数的图象关于轴对称此外由奇函数定义可知若奇函数在原点处有定义则一定有此时函数