利用一次函数与不等式进行方案设计中学教育中考中学教育中学课件.pdf

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1、利用一次函数与不等式进行方案设计 不等式与一次函数原本是属于不同性质的两个数学知识，但在我们的生活实践中却存在着许多的问题，若能巧妙地构造出一次函数，再运用综合运用不等式的知识求解，往往能显得十分简捷，现以 2008 年中考试题为例说明如下：例 1（南充市）某乒乓球训练馆准备购买 10 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x3)个乒乓球，已知A，B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为 20 元，每个乒乓球的标价都为 1 元，现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的 90%付费）销售，而B超市买1 副乒乓球拍送 3 个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用

2、，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算（2）当x12 时，请设计最省钱的购买方案.分析（1）分别求出A，B两家超市购买所需费的表达式，再进行分类讨论求解.（2）当x12 时，即购买 10 副球拍应配 120 个乒乓球，由此可通过适当计算进行比较求解.解（1）去A超市购买所需费用yA(2010+10 x)9x+180，去B超市购买所需费用yB2010+10(x3)10 x+170.当yAyB时，即 9x+18010 x+170，解得x10，当yAyB时，即 9x+18010 x+170，解得x10，当yAyB时，即 9x+18010 x+1

3、70，解得x10，综上所述：当x10 时，去A超市购买更合算；当x10 时，去A超市或B超市购买一样；当 3x10 时，去B超市购买更合算.（2）当x12 时，即购买 10 副球拍应配 120 个乒乓球，若只去A超市购买的费用为：9x+180912+180 288（元）；若在B超市购买 10 副球拍，去A超市购买余下的乒乓球的费用为：200+(123)10 281（元）.因为 281288，所以最佳方案为：只在B超市购买 10 副球拍，同时获得送 30 个乒乓球，然后去A超市按九折购买 90 个乒乓球.说明 这是一道方案设计问题，意在全面考查同学们应用不等式、一次函数解决生活实际问题的能力.例

4、 2（湘潭市）我市花石镇组织 10 辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共 100 吨到外地销售，按计划 10 辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：湘 莲 品 种 A B C 每辆汽车运载量（吨）12 10 8 每吨湘莲获利（万元）3 4 2（1）设装运A种湘莲的车辆数为x，装运B种湘莲的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2 辆，那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案并求出最大利润的值.分析（1）依题意，每种车型的装载量和总载重可得一个等式：12x+10

5、y+8(10 xy)100，即可整理得y与x的关系.（2）由装运每种湘莲的车辆数都不少于 2 辆，由此得到装运A种湘莲的车辆数的不等式组，即确定出x的取值范围，再根据x是正整数，决定方案.（3）依题意，可列出此次销售的一次函数表达式，再利用一次函数的性质求解.解（1）因为装A种为x辆，装B种为y辆，装C种为 10 xy辆，则根据题意，得 12x+10y+8(10 xy)100，所以y102x.（2）10 xy10 x(10 2x)x，故装C种车也为x辆.所以21022.xx，解得 2x4，x为整数，所以x2，3，4.故车辆有 3 种安排方案，方案如下：方案一：:装A种 2 辆车，装B种 6 辆

6、车，装C种 2 辆车；方案二:：装A种中却存在着许多的问题若能巧妙地构造出一次函数再运用综合运用不等式的知识求解往往能显得十分简捷现以年中考试题为例说明如下例南充市某乒乓球训练馆准备购买副某种品牌的乒乓球拍每副球拍配个乒乓球已知两家超市都有有商品均打九折按原价的付费销售而超市买副乒乓球拍送个乒乓球若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用请解答下列问题如果在某一家超市购买所需球拍和乒乓球那么去超市还是超市买更合算当时请设计最省钱的购买方案分析分别求出求解解去超市购买所需费用去超市购买所需费用当时即解得当时即解得当时即解得综上所述当时去超市购买更合算当时去超市或超市购买一样当时去超市购买更合算当时即购买副球

7、拍应配个乒乓球若去超市购买的费用为元若在超市3 辆车，装B种 4 辆车，装C种 3 辆车；方案三:：装A种 4 辆车，装B种 2 辆车，装C种 4 辆车.（3）设销售利润为W(万元)，则W312x+410(10 2x)+28x28x+400，故W是x是的一次函数，且x增大时，W减少.故x2 时，W的最大值400282344(万元).说明 本题着重考查同学们根据实际问题建立函数模型的能力.求解时可运用不等式组解决方案设计问题，利用一次函数的性质确定最大利润问题.例 3（梅州市）“一方有难，八方支援”.在抗击“”汶川特大地震灾害中，某市组织 20 辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共 10

8、0 吨到灾民安置点.按计划 20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满根据表中提供的信息，解答下列问题：物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨）6 5 4 每吨所需运费（元/吨）120 160 100（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y.求y与x的函数关系式；（2）如果装运食品的车辆数不少于 5 辆，装运药品的车辆数不少于 4 辆，那么车辆的安排有几种方案并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案并求出最少总运费.分析（1）由于装运食品、药品、生活用品之和等于 100，由此可以得出一个关于x与y的方程，即得到y

9、与x的函数关系式.（2）利用“装运食品的车辆数不少于 5 辆，装运药品的车辆数不少于 4 辆”，列出不等式组，从而确定了装运食品、药品、生活用品的车辆数.（3）构造出一次函数，利用一次函数的性质即可求解.中却存在着许多的问题若能巧妙地构造出一次函数再运用综合运用不等式的知识求解往往能显得十分简捷现以年中考试题为例说明如下例南充市某乒乓球训练馆准备购买副某种品牌的乒乓球拍每副球拍配个乒乓球已知两家超市都有有商品均打九折按原价的付费销售而超市买副乒乓球拍送个乒乓球若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用请解答下列问题如果在某一家超市购买所需球拍和乒乓球那么去超市还是超市买更合算当时请设计最省钱的购买方案分析

10、分别求出求解解去超市购买所需费用去超市购买所需费用当时即解得当时即解得当时即解得综上所述当时去超市购买更合算当时去超市或超市购买一样当时去超市购买更合算当时即购买副球拍应配个乒乓球若去超市购买的费用为元若在超市解（1）根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，那么装运生活用品的车辆数为(20 xy)，则有 6x+5y+4(20 xy)100，整理，得y202x.（2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，202x，x，则由题意，得52024.xx，解这个不等式组，得 5x8，因为x为整数，所以x的值为 5，6，7，8.所以安排方案有 4 种：方案一：装运食品

11、 5 辆、药品 10 辆，生活用品 5 辆；方案二：装运食品 6辆、药品 8 辆，生活用品 6 辆；方案三：装运食品 7 辆、药品 6 辆，生活用品 7辆；方案四：装运食品 8 辆、药品 4 辆，生活用品 8 辆.（3）设总运费为W（元），则W6x120+5(202x)160+4x10016000480 x.因为k4800，所以W的值随x的增大而减小，所以要使总运费最少，需W最小，则x8.故选方案 4，W最小16000480812160 元，最少总运费为 12160 元.说明 本题通过一次函数与不等式组的相互渗透，从而使问题简洁求解.中却存在着许多的问题若能巧妙地构造出一次函数再运用综合运用不等式的知识求解往往能显得十分简捷现以年中考试题为例说明如下例南充市某乒乓球训练馆准备购买副某种品牌的乒乓球拍每副球拍配个乒乓球已知两家超市都有有商品均打九折按原价的付费销售而超市买副乒乓球拍送个乒乓球若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用请解答下列问题如果在某一家超市购买所需球拍和乒乓球那么去超市还是超市买更合算当时请设计最省钱的购买方案分析分别求出求解解去超市购买所需费用去超市购买所需费用当时即解得当时即解得当时即解得综上所述当时去超市购买更合算当时去超市或超市购买一样当时去超市购买更合算当时即购买副球拍应配个乒乓球若去超市购买的费用为元若在超市