高中数学三余弦定理最小角定理与三正弦定理中学教育中学中学教育中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 三余弦定理和三正弦定理 1.三余弦定理（又叫最小角定理）（1）设点 A 为平面上一点，过 A 点的斜线 AO 在平面上的射影为 AB，AC 为平面上的任意直线，那么OAC，BAC，OAB 三角的余弦关系为：cos OAC=cosBAC cos OAB 即斜线与平面内一条直线夹角的余弦值=斜线与平面所成角1的余弦值射影与平面内直线夹角的余弦值。（2）定理证明：（3）说明：这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成角1是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。2.设二面角 MABN 的度数为，在平面 M 上有一条射线 AC，它和棱 AB 所

2、成角为，和平面 N 所成的角为，则 sin=sin sin（如图）.（1）定理证明：学习必备 欢迎下载 如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不用作任何辅助线！例 1.(1994 全国)如图，已知 A1B1C1ABC 是正三棱柱，D 是 AC 中点，若 AB1BC1，求面DBC1与面 CBC1所成的二面角度数。例 2.(1986 上海)已知 Rt ABC 的两直角边 AC=2，BC=3.点 P 为斜边 AB 上一点，现沿 CP 将此直角三角形折成直二面角 ACPB（如下图），当 AB=7时，求二面角 PACB 的大小。射影为为平面上的任意

3、直线那么三角的余弦关系为即斜线与平面内一条直线夹角的余弦值斜线与平面所成角的余弦值射影与平面内直线夹角的余弦值定理证明说明这三个角中角是最大的其余弦值最小等于另外两个角的余弦值之积斜角为和平面所成的角为则如图定理证明学习必备欢迎下载如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用用于解答立体几何综合题你会发现出乎意料地简单甚至不用作任何辅助线例全国如图已知是正三棱柱是中点若求面与面所成的二习必备欢迎下载例已知菱形的边长为现沿对角线将此菱形折成直二面角如下图求异面直线与所成的角求二面角的大小例四川如图半径为的半球的底面圆在平面内过点作平面的垂线交半球面于点过圆的直径作与平面成角的平面并与半学习必备 欢迎

4、下载 例 3.已知菱形 ABCD 的边长为 1，BAD=60，现沿对角线 BD 将此菱形折成直二面角 A-BD-C(如下图)。(1)求异面直线 AC 与 BD 所成的角；(2)求二面角 A-CD-B的大小。例 4.（2012 四川）如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作与平面成角的平面并与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为_ 射影为为平面上的任意直线那么三角的余弦关系为即斜线与平面内一条直线夹角的余弦值斜线与平面所成角的余弦值射影与平面内直线夹角的余弦值定理证明说明这三个角中角是最大的其余弦值最小等于另外两个角的余弦值之积斜角为和平面所成的角为则如图定理证明学习必备欢迎下载如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用用于解答立体几何综合题你会发现出乎意料地简单甚至不用作任何辅助线例全国如图已知是正三棱柱是中点若求面与面所成的二习必备欢迎下载例已知菱形的边长为现沿对角线将此菱形折成直二面角如下图求异面直线与所成的角求二面角的大小例四川如图半径为的半球的底面圆在平面内过点作平面的垂线交半球面于点过圆的直径作与平面成角的平面并与半