《圆锥曲线：双曲线》导学案复习版中学教育高考中学教育高中教育.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 圆锥曲线（5）：双曲线导学案（复习版）一知识全解（一）概念 1.知识：1）文字描述：平面内到两定点1F、2F的距离的绝对值等于常数2a（|1F2F|）的点P的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的，两焦点的距离叫做双曲线的，一般用表示。2）集合描述：。2.全解：1）平面内到两定点1F、2F的距离之差的绝对值等于常数2a（0a）的点P的轨迹是双曲线，对吗？说明理由。2）平面内到两定点1F、2F的距离之差等于常数2a（0a），且 2a|F1F2|的点P的轨迹是双曲线，对吗？说明理由。3）平面内到两定点1F、2F的距离之差等于 0 的点P的轨迹存在吗？若存在，是什么？若不存在，说

2、明理由。4）判断下列点的轨迹是否存在，若存在，是什么？若是双曲线，写出2ac、2的值。（1）平面内两定点的距离为 6，一动点到两定的距离之差为 0，则动点的轨迹。（2）平面内两定点的距离为 6，一动点到两定的距离之差为 6，则动点的轨迹。（3）平面内两定点的距离为 6，一动点到两定的距离之差的绝对值为 6，则动点的轨迹。（4）平面内两定点的距离为 6，一动点到两定的距离之差为 8，则动点的轨迹。（5）平面内两定点的距离为 8，一动点到两定的距离之差为 6，则动点的轨迹。（6）平面内两定点的距离为 8，一动点到两定的距离之差的绝对值为 6，则动点的轨迹。(二)方程 1.知识：1）标准方程：（1）

3、焦点在x轴：（2）焦点在y轴：（3）统一方程：。2）一般方程：。3）共焦点方程：（1）与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程可设为：（2）与双曲线22221yxab共焦点的双曲线系方程可设为：4）参数：（标准方程中的双曲线参数）（1）意义：a、b、c分别是、（“半实轴”或“半虚轴”或“半焦距”）（2）关系：。2.全解：学习好资料 欢迎下载 1）知道双曲线的标准方程，如何判定a、b，及焦点的位置？2）什么情况下选择一般方程？如何根据一般方程判断焦点位置？3）画出下列双曲线的草图（1）12222byax（2）221yxab 4）判断下列方程是否表示双曲线，若是求出abc、及焦点的坐标。（1

4、）22142xy（2）221916xy；（3）221259yx；（4）22236xy。5）根据下列条件，直接写出双曲线的标准方程（1）焦点坐标为（0，-5）和（0，5），=4a；（2）焦点坐标为（-4，0）和（4，0），=3b；（3）=512ab，。（三）性质：1.知识：1）焦点：（1）双曲线12222byax的焦点（2）双曲线221yxab的焦点 2）顶点：（1）双曲线12222byax的顶点（2）双曲线22221yxab的顶点 2）范围：（1）双曲线12222byax都在两条平行线和外侧，所以其上点纵横坐标范围为：。（2）双曲线22221yxab都在两条平行线和外侧，所以其上点纵横坐标范围

5、为：。3）渐近线：值等于常数的点的轨迹叫双曲线这两个定点叫做双曲线的两焦点的距离叫做双曲线的一般用表示集合描述全解平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双平面内到两定点曲线对吗说明理由的距离之差等于常数且的由判断下列点的轨迹是否存在若存在是什么若是双曲线写出的值平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差的绝对值为则动点的轨迹二方程知识标准方程焦点在轴焦点在轴统一方程一般方程共焦点方程共焦点的双

6、曲线系方程可设为与双曲线学习好资料 欢迎下载（1）双曲线12222byax的渐近线（2）双曲线22221yxab的渐近线 4）对称性：双曲线既是轴对称图形，其标准状况下对称轴是；又是中心对称图形，其标准状况下对称中心是。5）离心率：（1）定义：双曲线的与的比叫做双曲线的离心率，用表示，即。（2）范围：取值范围是。（2）意义：描述双曲线程度的代数量。e越大，双曲线。2.全解：1）判断;（1）双曲线的对称轴是两个坐标轴，对称中心是原点。（2）离心率越大双曲线开口越小。（3）若焦点在y轴上，则ceb。2）说明离心率的取值范围是如何确定的？3）求下列情况下，双曲线的渐近线和离心率（1）2211625x

7、y；（2）22110036xy；4）根据下列条件，直接写出椭圆的标准方程（1）3c，离心率为2e；（2）10a，5e。二技能全解 1.利用双曲线的定义判断轨迹是否为双曲线。例 1：动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2，则点 P 的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线 变式：已知点,P x y的坐标满足2222)3()3()1()1(yxyx=4，则动点P 的轨迹是（）A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.以上都不对 2.利用轨迹法求双曲线的标准方程 例 2：ABC一边的两个端点是)6,0(B和)6,0(C，另两边所在直线的斜率之积是94，求顶点

8、A的轨迹。变式：ABC一边两个端点是)6,0(B和)6,0(C，顶点A满足8ACAB，求A的轨迹值等于常数的点的轨迹叫双曲线这两个定点叫做双曲线的两焦点的距离叫做双曲线的一般用表示集合描述全解平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双平面内到两定点曲线对吗说明理由的距离之差等于常数且的由判断下列点的轨迹是否存在若存在是什么若是双曲线写出的值平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差的绝对值为则动

9、点的轨迹二方程知识标准方程焦点在轴焦点在轴统一方程一般方程共焦点方程共焦点的双曲线系方程可设为与双曲线学习好资料 欢迎下载 方程。3利用定义求双曲线的标准方程。例 3：已知两定点1F（-4，0），2F（4，0），曲线上的点P到1F、2F的距离之差的绝对值为 6，求曲线的方程。变式：已知两定点1F（0，-5），2F（0，5），曲线上的点P到1F、2F的距离之差为 6，求曲线的方程。4利用待定系数法求双曲线的标准方程。（先定型后定量）例 4：求过点92,54（3，-4），（）的双曲线的标准方程。变式：已知c=6,经过点（-5，2），求双曲线的标准方程.5.根据双曲线的标准方程求其相关性质。例 5：

10、求双曲线22981xy的焦点、顶点、范围、渐近线、对称轴、离心率。变式：求双曲线22169144xy 的焦点、顶点、范围、渐近线、对称轴、离心率。三题型全解 1.焦点三角形问题 例 1：已知双曲线116922yx的右焦点分别为 F1、F2，点 P 在双曲线上的左支上且|PF1|PF2|=32，求F1PF2的大小.变式：已知 F1、F2是双曲线1422yx的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足F1PF2=90，求F1PF2的面积.2利用双曲线标准方程的参数关系求参数范围 例 2 已知方程13922kykx表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 k的取值范围是（）A.3k9 B.k3 C.k9 D.k3

11、变式：方程 x2+(k-1)y2=k+1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 k的取值范围是 （）A.k-1 B.k1 C.-1k1 D.k-1或 k1 3.求双曲线的标准方程 例 3：设圆 C 与两圆(x 5)2y24，(x 5)2y24 中的一个内切，另一个外切，求 C的圆心轨迹 L 的方程 变式：已知定点)0,1(1F和)0,1(2F，定圆1C的圆心为1F，且半径为1r，动圆2C过定点2F，且与定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程。例 4：已知双曲线的两个焦点 F1(5，0)，F2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF1 PF20，|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程为_ 值等于常数的点的轨

12、迹叫双曲线这两个定点叫做双曲线的两焦点的距离叫做双曲线的一般用表示集合描述全解平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双平面内到两定点曲线对吗说明理由的距离之差等于常数且的由判断下列点的轨迹是否存在若存在是什么若是双曲线写出的值平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差的绝对值为则动点的轨迹二方程知识标准方程焦点在轴焦点在轴统一方程一般方程共焦点方程共焦点的双曲线系方程可设为与双曲线学习好资料

13、欢迎下载 变式：焦点在 x 轴上的双曲线过点 P(4 2，3)，且点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程 例 5：点A位于双曲线)0,0(12222babyax上，21,FF是它的两个焦点，求21FAF的重心G的轨迹方程 变式：点B位于双曲线)0,0(12222babyax上，2,0Aa为定点，求线段AB中点的轨迹方程。4.求双曲线的离心率 例6：点P在双曲线上，是这条双曲线的两个焦点，且的三条边长成等差数列，求双曲线的离心率。变式：已知1F、2F是双曲线)0,0(12222babyax的两焦点，以线段12F F为边作正12MF F,若边1MF的中点在双曲线上，求双曲线的

14、离心率。例 7：过双曲线22221xyab(a0，b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N 两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_ 变式：设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点,若12FF，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为_ 5.求双曲线离心率的范围 例 8：双曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为_ 变式：已知1F，2F分别为22221xyab(0,0)ab的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若2

15、12PFPF的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是 四针对演练 1.已知点 F1（0，-13）、F2（0，13），动点 P 到 F1与 F2的距离之差的绝对值为 26，则动点 P的轨迹方程为（）A.y=0 B.y=0(x-13或 x13)C.x=0(|y|13)D.以上都不对 2若方程x210ky25k1 表示双曲线，则 k的取值范围是()A(5,10)B(，5)C(10，)D(，5)(10，)3 以椭圆x23y241 的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()A.x23y21 By2x231 值等于常数的点的轨迹叫双曲线这两个定点叫做双曲线的两焦点的距离叫做双曲线

16、的一般用表示集合描述全解平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双平面内到两定点曲线对吗说明理由的距离之差等于常数且的由判断下列点的轨迹是否存在若存在是什么若是双曲线写出的值平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差的绝对值为则动点的轨迹二方程知识标准方程焦点在轴焦点在轴统一方程一般方程共焦点方程共焦点的双曲线系方程可设为与双曲线学习好资料 欢迎下载 C.x23y241D.y23x241 4若点

17、 M 在双曲线x216y241 上，双曲线的焦点为 F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF2|等于()A2 B4 C8 D12 5在方程 mx2my2n 中，若 mn0，则方程表示的曲线是()A焦点在 x 轴上的椭圆 B焦点在 x 轴上的双曲线 C焦点在 y 轴上的椭圆 D焦点在 y 轴上的双曲线 6.设21,FF是双曲线1422yx的焦点，点 P 在双曲线上,且02190 PFF,则点 P 到x轴的距离为()A 1 B 55 C 2 D 5 7.方程1cossin22yx表示焦点在坐标轴上的双曲线，则 是第几象限的角（）A.二 B.四 C.二或四一或三 8.设12FF，分别是双曲线2

18、2221xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使1290F AF 且12|3|AFAF，则双曲线的离心率等于（）A52 B102 C152 D5 9.已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,F F,点 P 在双曲线的右支上，且12|4|PFPF,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：()A 43 B 53 C 2 D 73 10设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线y2mx291 的一个焦点，则 m_.11在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线x24y2121 上一点 M 的横坐标为 3，则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为_ 12焦点为（0，-2）和（0，

19、2），经过点 P(3，2)的双曲线的标准方程。13.求经过点)72,3(P和)7,26(Q的双曲线的标准方程 14求与双曲线x216y241 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双曲线的标准方程 15.已知ABC的底边 BC 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使ACBsin21sinsin，求点 A 的轨迹 值等于常数的点的轨迹叫双曲线这两个定点叫做双曲线的两焦点的距离叫做双曲线的一般用表示集合描述全解平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双平面内到两定点曲线对吗说明理由的距离之差等于常数且的由判断下列点的轨迹是否存在若存在是什么若是双曲线写出的值平面内两定点的距离为一动点

20、到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差的绝对值为则动点的轨迹二方程知识标准方程焦点在轴焦点在轴统一方程一般方程共焦点方程共焦点的双曲线系方程可设为与双曲线学习好资料 欢迎下载 16.求与 C1：x2+(y-1)2=1 和 C2:x2+(y+1)2=4 都外切.的动圆圆心 M 的轨迹方程 17.已知双曲线162422yx=1，P 为双曲线上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，并且F1PF2=60，求F1PF2的面积.18.一炮弹在

21、某处爆炸，在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2s(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知 A、B 两地相距 800m，并且此时声速为 340 ms，求曲线的方程 答案与解析：二技能全解：例 1：答案：D；考点：双曲线的定义。变式：答案：B；考点：两点之间的距离坐标公式，双曲线的定义。例 2：答案：221(0)3681yxx；考点：轨迹法，斜率的两点坐标公式，双曲线的标准方程。变式：答案：221(0)1620yxx；考点：双曲线的定义、标准方程、参数关系。例 3：答案：22195xy；考点：双曲线的定义、标准方程、参数关系。变式：答案：221(3)916yxy；考点：双曲线的定义、标准

22、方程、参数关系。例 4：答案：y216x291.或221916xy；考点：待定系数法，双曲线的标准方程。变式：答案：1522yx或；考点：待定系数法，双曲线的标准方程、参数关系。三题型全解：例 1：答案：F1PF2=90；考点：配方，整体代换，双曲线的定义，三角函数，若将这一条件改为“点 P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.变式：答案：1；考点：配方，整体代换，双曲线的定义。例 2：答案：C；考点：双曲线标准方程和参数关系 变式：答案：C；考点：双曲线标准方程和参数关系 例 3：答案：x24y21；考点：圆的标准方程，圆内、外切的充要条件，双曲线的定义、标准方程、参数关系。变式：答案

23、：2211344xy；考点：圆内、外切的充要条件，双曲线的定义、标准方程、参值等于常数的点的轨迹叫双曲线这两个定点叫做双曲线的两焦点的距离叫做双曲线的一般用表示集合描述全解平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双平面内到两定点曲线对吗说明理由的距离之差等于常数且的由判断下列点的轨迹是否存在若存在是什么若是双曲线写出的值平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差的绝对值为则动点的轨迹二方程知识标

24、准方程焦点在轴焦点在轴统一方程一般方程共焦点方程共焦点的双曲线系方程可设为与双曲线学习好资料 欢迎下载 数关系。例 4：答案：x24y21；考点：向量垂直的数量积的判定，勾股定理，配方，抛物线的定义、标准纺车、参数关系。变式：答案：x216y291；考点：待定系数法，双曲线的标准方程、参数关系、焦点坐标，垂直的向量性质。例 5：答案：)0(1)3()3(2222ybyax；考点：代入法，重心定理，定比分点公式。变式：答案：2222(22)41xayab；考点：代入法，中点坐标公式。例 6：答案：5；考点：双曲线定义、参数意义及关系，离心率的定义，等差数列的定义，勾股定理，参数法。变式：答案：3

25、1；考点：双曲线的定义，离心率的定义，等边三角形的性质，解直角三角形。例 7：答案：2；考点：双曲线参数意义，圆的半径相等，点在图形上的代数意义，离心率的定义，整体思想。变式：答案：2；考点：双曲线参数意义，离心率的定义，正三角形的性质，整体思想。例 8：答案：1,3；考点：双曲线的定义，离心率的定义和范围，三边关系定理，整体思想。变式：答案：1,3；考点：双曲线的定义，离心率的定义和范围，均值不等式，整体思想。四针对演练 1.答案：C；考点：双曲线的定义。2.答案：A；考点：双曲线标准方程的特征。3.答案：B；考点：椭圆的标准方程、参数意义及关系、焦点和顶点坐标，双曲线标准方程、参数意义和关

26、系。4.答案：B；考点：双曲线的定义，标准方程，参数意义。5.答案：D；考点：双曲线的标准方程。6.答案：B 21PFFRt的面积为2b，从而有2|221byc55|y 7,答案：C；考点：双曲线的标准方程、参数关系，三角函数的符号特征。8 答案：B；考点：双曲线的定义、参数意义，离心率的定义，勾股定理。9.答案：B；考点：双曲线的定义，离心率的定义和范围，三边关系定理，整体思想。10.答案：16；考点：双曲线标准方程和参数关系。11.答案：4；考点：双曲线的标准方程、参数关系、焦点坐标，两点之间距离坐标公式。12.变式：答案：y2x231；考点：待定系数法，双曲线的标准方程、参数关系。值等于

27、常数的点的轨迹叫双曲线这两个定点叫做双曲线的两焦点的距离叫做双曲线的一般用表示集合描述全解平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双平面内到两定点曲线对吗说明理由的距离之差等于常数且的由判断下列点的轨迹是否存在若存在是什么若是双曲线写出的值平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差的绝对值为则动点的轨迹二方程知识标准方程焦点在轴焦点在轴统一方程一般方程共焦点方程共焦点的双曲线系方程可设为与双曲线

28、学习好资料 欢迎下载 13.答案：1752522xy；考点：待定系数法，双曲线的一般方程。14.答案：x212y281；考点：双曲线的标准方程、参数关系、焦点坐标、待定系数法。15.答案：)3(127922xyx；考点：正弦定理，双曲线的定义、标准方程、参数关系。16.答案：4y2-342x=1(y43)；考点：圆外切的充要条件，双曲线的定义、标准方程、参数关系。17.答案：163；考点：整体代换，双曲线定义、标准方程、参数意义和关系，余弦定理，正弦定理推论三角形面积公式。【解】|F1F2|2=4c2=4(24+16)=160.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2

29、|2-2|PF1|PF2|=160.|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=160.又|PF1|-|PF2|=224，|PF1|2-2|PF1|PF2|+|PF2|2=96.-得|PF1|PF2|=64.21PFFS=21|PF1|PF2|sin60=216423=163.【点评】若本题是填空题或选择题时，则用解法二：21PFFS=b2cot2=16cot260=163.17.答案：1）爆炸点应在靠近 B 处的一支双曲线上；14440011560022yx（x0）；考点：数学建模，双曲线的定义、标准方程。解：(1)由声速及 A、B 两处听到爆炸声的时间差，可知 A、B 两处与爆炸点的距

30、离的差，因此爆炸点应位于以 A、B 为焦点的双曲线上 因为爆炸点离 A 处比离 B 处更远，所以(2)如图，建立直角坐标系xoy，使 A、B 两点在x轴上，并且点 O 与线段 AB 的中点重合 PBAxOy 设爆炸点 P 的坐标为),(yx，则|PA|PB|=340 2=680，即 2a680，a340 又|AB|=800，2c=800，c=400，222acb44400 值等于常数的点的轨迹叫双曲线这两个定点叫做双曲线的两焦点的距离叫做双曲线的一般用表示集合描述全解平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双平面内到两定点曲线对吗说明理由的距离之差等于常数且的由判断下列点的轨迹是否

31、存在若存在是什么若是双曲线写出的值平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差的绝对值为则动点的轨迹二方程知识标准方程焦点在轴焦点在轴统一方程一般方程共焦点方程共焦点的双曲线系方程可设为与双曲线学习好资料 欢迎下载|PA|PB|6800，x0 所求双曲线的方程为14440011560022yx（x0）想一想，如果 A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上 值等于常数的点的轨迹叫双曲线这两个定点叫做双曲线的两焦点的距离叫做双曲线的一般用表示集合描述全解平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双平面内到两定点曲线对吗说明理由的距离之差等于常数且的由判断下列点的轨迹是否存在若存在是什么若是双曲线写出的值平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的的距离为一动点到两定的距离之差为则动点的轨迹平面内两定点的距离为一动点到两定的距离之差的绝对值为则动点的轨迹二方程知识标准方程焦点在轴焦点在轴统一方程一般方程共焦点方程共焦点的双曲线系方程可设为与双曲线