相交线垂线基础知识讲解中学教育中学学案中学教育中学学案.pdf

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1、相交线，垂线(基础)知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位宜和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性 质：2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的左义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到宜线的距离：4.能依据对顶角、邻补角及垂直的槪念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角 1.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种 关系的两个角叫做互为邻补角.要点诠释：邻补角的泄义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位宜相邻，补”指 的是两个角的和为180 .(2)邻补角是成对出现的，而且是“

2、互为”邻补角.(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角.(4)邻补角满足的条件：有公共顶点：有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：(1)定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互 为对顶角.(2)性质：对顶角相等.要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角.(2)对顶角满足的条件：相等的两个角：有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向 延长线.3.邻补角与对顶角对比：角的名称 特 征 性质 相同点 不同点 对顶角 两条宜线相交 形成的角：有一个公共顶 点：没有公共边.对顶角相等.都是两条直线相 交而成的

3、角：都有一个公共顶 点：都是成对出现 的.有无公共边：两直线相交 时，对顶角只有 2对;邻补角有 4对.邻补角 两条宜线相交 而成：有一个公共顶 点：有一条公共边.邻补角互补.【高清课堂：相交线 403101 两条直线垂宜】知识点二、垂线 1.垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相 垂直，英中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.(1)记法：直线a与b垂直，记作：d丄方：直线AB和CD垂直于点0,记作：AB丄CD于点0.(2)垂直的泄义具有二重性，既可以作垂直的判泄，又可以作垂直的性质，即有：ZAOC=90 M性CD丄AB.、性质 2.垂线的画法

4、：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三 角板的一条直角边和已知宜线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示).要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的 反向延长线上，也可能在线段的延长线上.(2)过宜线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段.3.垂线的性质：(1)在同一平而内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.要点诠释：(1)性质(1)成立的前提是在“

5、同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且 只有”说明了垂线的存在性和唯一性.(2)性质(2)是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短.在实际问 题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线的距离：定义：直线外一点到这条宜线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.要点诠释：(1)点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离：(2)求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后汁算或度量垂线 段的长度.【典型例题】类型一、邻补角与对顶角 角的性质理解垂直作为两条直

6、线相交的特殊情形掌握垂直的左义及性质理解点到直线的距离的概念并会度量点到宜线的距离能依据对顶角邻补角及垂直的槪念与性质进行简单的计算要点梳理知识点一邻补角与对顶角邻补角如果两个泄义既包含了位置关系又包含了数量关系邻指的是位宜相邻补指的是两个角的和为邻补角是成对出现的而且是互为邻补角互为邻补角的两个角一定互补但互补的两个角不一定互为邻补角邻补角满足的条件有公共顶点有一条公共边另顶角性质对顶角相等要点诠释由定义可知只有两条直线相交时才能产生对顶角对顶角满足的条件相等的两个角有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线邻补角与对顶角对比角的名称特征相同点性质不同点对顶角相等邻补 1.如图所示，M.

7、N是直线AB上两点，Z1=Z2,问Z1与Z2,Z3与Z4是对顶 角吗？Z1与Z5,Z3与Z6是邻补角吗？【答案与解析】解：Z1和Z2,Z3和Z4都不是对顶角.Z1与Z5,Z3与Z6也都不是邻补角.【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角.举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角.（）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）（3）有一条公共边的两个角是邻补角.（）（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补.（）（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】X（2）X（3）X（4）J（5）X,反例：ZAOC

8、 为 120 ,射线OB为ZAOC的角平分线，ZAOB与ZA0C互补，且有边公共为AO,公共顶点为0,但它 们不是邻补角.如图所示，直线AB、CD相交于点O,Zl=65a,求Z2、Z3、Z4的度数 A【答案与解析】解：Z1是Z2的邻补角，Zl=65 ,.Z2=180 -65=115 .又 Z1和Z3是对顶角，Z2与Z4是对顶角 Z3=Z1=65 ,Z4=Z2=115 .【总结升华】（1）两条直线相交所成的四个角中，只要已知苴中一个角，就可以求出另外三 角：（2）求出Z2后用对顶角相等”，求Z3和Z4.举一反三：角的性质理解垂直作为两条直线相交的特殊情形掌握垂直的左义及性质理解点到直线的距离的概

9、念并会度量点到宜线的距离能依据对顶角邻补角及垂直的槪念与性质进行简单的计算要点梳理知识点一邻补角与对顶角邻补角如果两个泄义既包含了位置关系又包含了数量关系邻指的是位宜相邻补指的是两个角的和为邻补角是成对出现的而且是互为邻补角互为邻补角的两个角一定互补但互补的两个角不一定互为邻补角邻补角满足的条件有公共顶点有一条公共边另顶角性质对顶角相等要点诠释由定义可知只有两条直线相交时才能产生对顶角对顶角满足的条件相等的两个角有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线邻补角与对顶角对比角的名称特征相同点性质不同点对顶角相等邻补【变式】（2015梧州）如图,已知直线AB与CD交于点O,ON平分Z DOB,

10、若Z BOC=110 则Z AON的度数为 度.角的性质理解垂直作为两条直线相交的特殊情形掌握垂直的左义及性质理解点到直线的距离的概念并会度量点到宜线的距离能依据对顶角邻补角及垂直的槪念与性质进行简单的计算要点梳理知识点一邻补角与对顶角邻补角如果两个泄义既包含了位置关系又包含了数量关系邻指的是位宜相邻补指的是两个角的和为邻补角是成对出现的而且是互为邻补角互为邻补角的两个角一定互补但互补的两个角不一定互为邻补角邻补角满足的条件有公共顶点有一条公共边另顶角性质对顶角相等要点诠释由定义可知只有两条直线相交时才能产生对顶角对顶角满足的条件相等的两个角有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线邻补角

11、与对顶角对比角的名称特征相同点性质不同点对顶角相等邻补【答案】145.解:VZBOC=110,z BOD=70%V ON为Z BOD平分线.z BON=z DON=35%zBOC=z AOD=llO z AON=Z AOD+Z DON=145.a V 3.任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角？各对角存 在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类.【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线：有公共顶点，角的两边互为反向延长线.这6对角为Z1与Z2,Z1与Z3,Z1与Z4

12、,Z2与Z3,Z2与Z4,Z3与Z4,其 中Z1=Z3,Z2=Z4,Zl+Z2=180a,Z3+Z4=180 ,Zl+Z4=180 ,Z2+Z3=180 .在位宜上Z1与Z3,Z2与Z4是对顶角，Z1与Z2,Z3与Z4,Z1与Z4,Z2 与Z3是邻补角.【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对 对顶角 类型二、垂线 4.下列语句中，正确的有()一条直线的垂线只有一条：在同一平而内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直：两直线相交，则交点叫垂足：互相垂直的两条直线形成的四个角一宦都是直角.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】正确的

13、是：【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.角的性质理解垂直作为两条直线相交的特殊情形掌握垂直的左义及性质理解点到直线的距离的概念并会度量点到宜线的距离能依据对顶角邻补角及垂直的槪念与性质进行简单的计算要点梳理知识点一邻补角与对顶角邻补角如果两个泄义既包含了位置关系又包含了数量关系邻指的是位宜相邻补指的是两个角的和为邻补角是成对出现的而且是互为邻补角互为邻补角的两个角一定互补但互补的两个角不一定互为邻补角邻补角满足的条件有公共顶点有一条公共边另顶角性质对顶角相等要点诠释由定义可知只有两条直线相交时才能产生对顶角对顶角满足的条件相等的两个角有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线邻补角与对顶

14、角对比角的名称特征相同点性质不同点对顶角相等邻补C.55 D 65 举一反三：【变式1】直线/外有一点P,则点P到直线/的距离是（）.A.点P到直线/的垂线的长度.B.点P到直线/的垂线段.C.点P到直线/的垂线段的长度.D.点P到直线/的垂线.【答案】C WF 5.（2015河北模拟）如图,已知点O在直线AB上,CO丄DO于点 6 若Z 1=145%则z 3的度数为（）【答案】C【解析】解：TZ 1=145。，A z 2=180-145=35,CO丄DO,z COD=90,z 3=90 z 2=90 -35=55.【总结升华】本题考査了垂线和邻补角的定义：弄淸两个角之间的互补和互余关系是解题

15、的 关键.【高清课堂：相交线403101 经典例题3】举一反三：【变式】如图，直线AB和CD交于0点，0D平分ZBOF,0E丄CD于点0,ZA0C二40。，则 ZE0F 二 _.【答案】130 a 6.如图所示，要把水渠中的水引到水池G在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最 短?画岀图来，并说明原因.A.35 B 45 角的性质理解垂直作为两条直线相交的特殊情形掌握垂直的左义及性质理解点到直线的距离的概念并会度量点到宜线的距离能依据对顶角邻补角及垂直的槪念与性质进行简单的计算要点梳理知识点一邻补角与对顶角邻补角如果两个泄义既包含了位置关系又包含了数量关系邻指的是位宜相邻补指的是两个角的和为邻补角

16、是成对出现的而且是互为邻补角互为邻补角的两个角一定互补但互补的两个角不一定互为邻补角邻补角满足的条件有公共顶点有一条公共边另顶角性质对顶角相等要点诠释由定义可知只有两条直线相交时才能产生对顶角对顶角满足的条件相等的两个角有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线邻补角与对顶角对比角的名称特征相同点性质不同点对顶角相等邻补【答案与解析】解：如图，过点C作CD丄AB,垂足为D.所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因 是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短.【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短,这就是最熟悉的垂线的性质的应用.举一反三：【变

17、式】(1)用三角尺或疑角器画已知直线/的垂线，这样的垂线能画出几条？(2)经过直线/上一点A画I的垂线，这样的垂线能画出几条？(3)经过直线/外一点B画/的垂线，这样的垂线能画出几条？【答案】解:(1)能画无数条：(2)能画一条；(3)能画一条.角的性质理解垂直作为两条直线相交的特殊情形掌握垂直的左义及性质理解点到直线的距离的概念并会度量点到宜线的距离能依据对顶角邻补角及垂直的槪念与性质进行简单的计算要点梳理知识点一邻补角与对顶角邻补角如果两个泄义既包含了位置关系又包含了数量关系邻指的是位宜相邻补指的是两个角的和为邻补角是成对出现的而且是互为邻补角互为邻补角的两个角一定互补但互补的两个角不一定互为邻补角邻补角满足的条件有公共顶点有一条公共边另顶角性质对顶角相等要点诠释由定义可知只有两条直线相交时才能产生对顶角对顶角满足的条件相等的两个角有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线邻补角与对顶角对比角的名称特征相同点性质不同点对顶角相等邻补