一元二次方程根的两个特性及简单运用中学教育中学学案中学教育中学课件.pdf

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1、一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为 1 的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0)axbxca 的两根之和、两根之积与系数的关系。例 1、先阅读，再填空解题：(1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x1=6,x2=-2，则 x1+x2=4，x1x2=-12；(2)方程 2x2-7x+3=0 的根是：x1=12,x2=3，则 x1+x2=72，x1x2=32；(3)方程 3x2+6x-2=0 的根是：x

2、1=,x2=.则 x1+x2=，x1x2=；根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 且 a、b、c 为常数）的两根为 x1、x2，那么 x1+x2、x1x2与系数 a、b、c 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。解析：方程 3x2+5x-2=0 的根是：x1=13 x2=-2。则 x1+x2=53，x1x2=23。能猜出：如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 且 a、b、c 为常数）的两根为 x1、x2，那么 x1+x2ab、x1x2ac。理由如下：根据求根公式可知，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（

3、a0 且 a、b、c为常数）的两根为：aacbbx2421，aacbbx2422 所以 x1+x2=aacbb242+aacbb242ab x1x2=aacbb242aacbb242ac 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商 下面我们再来探索一元二次方程根的另一个特性。例 2、计算并观察下列一元二次方程根的特点：(1)x2-x-3=0 (2)2x2-8x+5=0 (3)x2-3x+1=0 观察以上（1）(2)(3)的解，你能否猜出：如果关于 x 的一

4、元二次方程mx2+nx+p=0（m 0 且 m、n、p 为有理数，mpn42为无理数）的两根为 x1、x2，那么 x1与 x2之间什么关系？请写出你的猜想并说明理由。解析：(1)方程：x2-x-3=0 的根是：x1=21321,x2=21321；(2)方程 2x2-8x+5=0 的根是：x1=262,x2=262；(3)方程 x2-3x+1=0 的根是：x1=2523,x2=2523。能猜出：如果关于 x 的一元二次方程 mx2+nx+p=0（m 0 且 m、n、p 为有理数，mpn42为无理数）的两根为 x1、x2，那么 x1与 x2之间的关系是：两根均bka 和bka，即“有理部分”相同，

5、“无理部分”互为相反数。理由如下：根据求根公式可知，关于 x 的一元二次方程 mx2+nx+p=0（m 0 且 m、n、p为有理数，mpn42为无理数）的两根为：mmpnmnx24221，mmpnmnx24222 两根均为bka 和bka 的形式，即“有理部分”相同，“无理部分”互为相反数。下面我们运用以上性质来巧解一题。例 3、如果一个有理系数的一元二次方程 x2+bx+c=0 的一个根为32，求b+c 的值。解析：因为有理系数的一元二次方程 x2+bx+c=0 的一个根为32，则该方程的另一个根为32。再利用根与系数的关系可得：b=-4，c=1。所以 b+c=-3。关于一元二次方程的根与系

6、数的关系还有许多运用，希望大家在今后的学习中逐步体会。根与其系数有着密切的联系教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为的情况下的两根之和两根之积与系数的关系现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程的两根之和两根之积与系数的关系例先阅读再填空解题方程的根么关系请写出来你的猜想并说明理由解析方程的根是则能猜出如果关于的一元二次方程且为常数的两根为那么理由如下根据求根公式可知关于的一元二次方程且为常数的两根为所以也就是说对于任何一个有实数根的一元二次方程这常数项除以二次项系数所得的商下面我们再来探索一元二次方程根的另一个特性例计算并观察下列一元二次方程根的特点观察以上的解你能否猜出如果关于的一元

7、二次方程且为有理数为无理数的两根为那么与之间什么关系请写出你 根与其系数有着密切的联系教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为的情况下的两根之和两根之积与系数的关系现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程的两根之和两根之积与系数的关系例先阅读再填空解题方程的根么关系请写出来你的猜想并说明理由解析方程的根是则能猜出如果关于的一元二次方程且为常数的两根为那么理由如下根据求根公式可知关于的一元二次方程且为常数的两根为所以也就是说对于任何一个有实数根的一元二次方程这常数项除以二次项系数所得的商下面我们再来探索一元二次方程根的另一个特性例计算并观察下列一元二次方程根的特点观察以上的解你能否猜出如果关于的一元二次方程且为有理数为无理数的两根为那么与之间什么关系请写出你