均值不等式的应用讲义生中学教育高考中学教育高考.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 均值不等式应用 一均值不等式 1.（1）若Rba,，则abba222（当且仅当ba 时取“=”）(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba 时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba 时取“=”）(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba 时取“=”）(3)若*,Rba，则22 baab (当且仅当ba 时取“=”）3.若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）;若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）若0 x，则11122-2xxxxxx 即或 (当且仅当ba 时取“=”）3.若0ab，则2abba (当且仅当ba 时取“

2、=”）若0ab，则22-2abababbababa 即或 (当且仅当ba 时取“=”）4.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba 时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域（1）y3x 212x 2 （2）yx1x 学习好资料 欢迎下载 解题技巧：技巧一：凑项 例 1：已知54x，求函数14245yxx

3、的最大值。技巧二：凑系数 例 1.当时，求(82)yxx的最大值。变式：设230 x，求函数)23(4xxy的最大值。技巧三：分离 例 3.求2710(1)1xxyxx 的值域。技巧四：换元 例 3.求2710(1)1xxyxx 的值域。且仅当时取若则当且仅当时取若则若则当且仅当时取当且仅当时取若则当且仅当时取即或若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取则若当且仅当时取注当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以量的取值范围证明不等式解决实际问题方面有广泛的应用应用一求最值例求下列函数的值域学习好资料欢迎下载解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值技巧二凑系数例当时求的最

4、大值变式设求函数的最大值技巧三分离例求的值函数的单调性例求函数的值域练习求下列函数的最小值并求取得最小值时的值已知求函数的最大值条件求最值若实数满足则的最大值求函数的最小值是变式若求的最小值并求的值学习好资料欢迎下载技巧六整体代换多次连用最值定学习好资料 欢迎下载 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af xxx 的单调性。例：求函数2254xyx的值域。练习1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx (3)12sin,(0,)sinyxxx 2已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；320

5、3x，求函数(2 3)yxx的最大值.条件求最值 1.若实数满足2 ba，则ba33 的最小值是 .变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求 x,y 的值 且仅当时取若则当且仅当时取若则若则当且仅当时取当且仅当时取若则当且仅当时取即或若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取则若当且仅当时取注当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以量的取值范围证明不等式解决实际问题方面有广泛的应用应用一求最值例求下列函数的值域学习好资料欢迎下载解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值技巧二凑系数例当时求的最大值变式设求函数的最大值技巧三分离例求的值函数的单调性例求函数的值

6、域练习求下列函数的最小值并求取得最小值时的值已知求函数的最大值条件求最值若实数满足则的最大值求函数的最小值是变式若求的最小值并求的值学习好资料欢迎下载技巧六整体代换多次连用最值定学习好资料 欢迎下载 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(2)已知Ryxba,且1ybxa，求yx 的最小值 技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2y 22 1，求 x 1y 2 的最大值.技巧八：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y1ab 的最小

7、值.变式：1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。且仅当时取若则当且仅当时取若则若则当且仅当时取当且仅当时取若则当且仅当时取即或若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取则若当且仅当时取注当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以量的取值范围证明不等式解决实际问题方面有广泛的应用应用一求最值例求下列函数的值域学习好资料欢迎下载解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值技巧二凑系数例当时求的最大值变式设求函数的最大值技巧三分离例求的值函数的单调性例求函数的值域练习求下列函数的最小值并求取得最小值时的值已知求函数的最大值条件求最值若实数满足则的最大值求函数的最小

8、值是变式若求的最小值并求的值学习好资料欢迎下载技巧六整体代换多次连用最值定学习好资料 欢迎下载 2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方 5、已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数 W 3x 2y 的最值.变式:求函数152152()22yxxx 的最大值。应用二：利用均值不等式证明不等式 1已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222 变式：正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 例 6：已知 a、b、cR，且1abc 。求证：1111118abc 且仅当时取若则当且仅当时取若则若则当且仅当时取当且仅当时取若则当且

9、仅当时取即或若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取则若当且仅当时取注当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以量的取值范围证明不等式解决实际问题方面有广泛的应用应用一求最值例求下列函数的值域学习好资料欢迎下载解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值技巧二凑系数例当时求的最大值变式设求函数的最大值技巧三分离例求的值函数的单调性例求函数的值域练习求下列函数的最小值并求取得最小值时的值已知求函数的最大值条件求最值若实数满足则的最大值求函数的最小值是变式若求的最小值并求的值学习好资料欢迎下载技巧六整体代换多次连用最值定学习好资料 欢迎下载 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已

10、知0,0 xy且191xy，求使不等式xym 恒成立的实数m的取值范围。应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,的大小关系是 .且仅当时取若则当且仅当时取若则若则当且仅当时取当且仅当时取若则当且仅当时取即或若则当且仅当时取若则即或当且仅当时取则若当且仅当时取注当两个正数的积为定植时可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时可以量的取值范围证明不等式解决实际问题方面有广泛的应用应用一求最值例求下列函数的值域学习好资料欢迎下载解题技巧技巧一凑项例已知求函数的最大值技巧二凑系数例当时求的最大值变式设求函数的最大值技巧三分离例求的值函数的单调性例求函数的值域练习求下列函数的最小值并求取得最小值时的值已知求函数的最大值条件求最值若实数满足则的最大值求函数的最小值是变式若求的最小值并求的值学习好资料欢迎下载技巧六整体代换多次连用最值定