全国中学生数理化学科能力竞赛高二年级数学竞赛试题中学教育竞赛题中学教育竞赛题.pdf

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1、本题得分 评卷人 本题得分 评卷人 首届全国中学生数理化学科能力竞赛 高二数学学科能力解题技能初赛试题 试卷说明：1、本试卷共计 15 题，满分为 120 分 2、考试时间为 120 分钟 一、选择题（每小题 5分，共 30分）1已知 2,AxN xBx xA Cx xB，则集合 C 的元素个数为（）（A）82 （B）4 （C）8 （D）16 2曲线sin(1)3 cos(1)33xxy 的对称轴之间距离的最小值为（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3 设点P为ABC 的边BC上的一点，且满足1344APABCA，则ABP与APC 的面积之比为（）(A)1:3 (B)3:1 (C)1:

2、4 (D)4:1 4如果关于 x 的方程24230 xxaa 至少有一个实根，则实数 a 的取值范围是（）（A）2,2 （B）(3,2 （C）(3,2 （D）3,2 5设实数yx,满足条件033022042yxyxyx，则yxyxyxf22),(22的最大值为（）（A）23 （B）25 （C）23 （D）5 6 已知)(xf对于任意的Ryx、，有633)()()(yxxyfyfxf，则)2 0 0 8(f（）（A）2008 （B）2009 (C)2010 （D）2011 总分 本题得分 评卷人 二、填空题（每小题 5分，共 30分）7已知,a b均为质数,且满足213aab,则2bab 8已知

3、ABC 的三边长分别为 13，14，15.有 4 个半径同为r的圆O、1O、2O、3O放在 ABC 内，并且圆1O与边AB、AC相切，圆2O与边BA、BC相切，圆3O与边CB、CA相切，圆O与圆1O、2O、3O相切，则r .9若不等式nann1)1(2)1(对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 .10 函数()f x在 R是减函数，且不等式(2)(2)()()f abfabf af b 恒成立，则a与b的大小关系是 .11已知函数()f x同时满足以下三个条件：（1）存在反函数1()fx；（2）点(1,1)在函数()f x的图象上；（3）函数(1)f x的反函数为1(1)fx 则1()(

4、1)f n f n的前n项和nT=12若 x表示不超过x的最大整数（如11.31,234 等），则121 2 11132 343 4200920082009 _ 三、解答题 13（本小题满分 20分）在数列na中，已知111,21nnaaan （）求数列na的通项公式；（）设2,nnbnan且nb的前项n和为nS，求证：126nnSS 间为分钟总分一选择题每小题分共分本题得分评卷人已知则集合的元素个数为曲线的对称轴之间距离的最小值为设点为的边上的一点且满足则与的面积之比为如果关于的方程值范围是至少有一个实根则实数的取则设实数满足条件最的三边长分别为有个半径同为的圆放在内并且圆与边相切圆与边相切

5、圆与边相切圆与圆相切则若不等式对任意正整数恒成立则实数的取值范围是函数在是减函数且不等式恒成立则与的大小关系是已知函数同时满足以下三个条件存在列中已知求数列的通项公式设且的前项和为求证本小题满分分已知是一个三角形的三个内角求三元方程的所有解本小题满分分有一个的长方体盒子另有一个的长方体盒子其中是后者一半求的最大值均为正整数并且前者的容积 14（本小题满分 20分）已知,x y z是一个三角形的三个内角，求三元方程2cos2cos2cos3xyz的所有解.15（本小题满分 20分）有一个m np 的长方体盒子，另有一个(2)(2)(2)mnp 的长方体盒子，其中,m n p均为正整数(mnp)，

6、并且前者的容积 是后者一半，求p的最大值 间为分钟总分一选择题每小题分共分本题得分评卷人已知则集合的元素个数为曲线的对称轴之间距离的最小值为设点为的边上的一点且满足则与的面积之比为如果关于的方程值范围是至少有一个实根则实数的取则设实数满足条件最的三边长分别为有个半径同为的圆放在内并且圆与边相切圆与边相切圆与边相切圆与圆相切则若不等式对任意正整数恒成立则实数的取值范围是函数在是减函数且不等式恒成立则与的大小关系是已知函数同时满足以下三个条件存在列中已知求数列的通项公式设且的前项和为求证本小题满分分已知是一个三角形的三个内角求三元方程的所有解本小题满分分有一个的长方体盒子另有一个的长方体盒子其中是后者一半求的最大值均为正整数并且前者的容积