新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题中学教育中考中学教育初中教育.pdf

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1、一、基础知识点：勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：.勾股定理的适用范围.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，90C ，则22cab，22bca，22acb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定

2、理 如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是

3、b为斜边 .勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2,1nn n（2,n n为正整数）；2221,22,221nnnnn（n为正整数）2222,2,mnmn mn（,mnm，n为正整数）cbaHGFEDCBAbacbaccabcababccbaEDCBA7、互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。二、经典例题精讲 题型一：利用勾股定理测量长度 例题 1如图（8）

4、，水池中离岸边 D点 1.5 米的 C处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B恰好落到 D点，并求水池的深度 AC.解析：先将实物模型转化为数学模型，如图 2.由题意可知ACD中,ACD=90,在 RtACD中，只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。题型二：勾股定理和逆定理并用 例题 3 如图 3，正方形 ABCD 中，E是 BC边上的中点，F是 AB上一点，且ABFB41那么DEF是直角三角形吗？为什么？题型三：利用勾股定理求线段长度 例题 4 如图 4，已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上

5、取一点 E，将ADE折叠使点 D恰好落在 BC边上的点 F，求 CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。别为斜边为那么勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后只要没有重叠没有空隙面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法列出等式推导出勾股角形一边可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题勾股定理的逆定理如果三角形三边长满足那么这个三角形是直角三角形其中为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通以为三边的三角形是

6、直角三角形若时以为三边的三角形是钝角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的如若三角形三边长满足那么以为三边的三角形是直角三角形但是为斜边勾股数能题型四：旋转问题：如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB=2 3,PC=4,求ABC的边长.分析：利用旋转变换，将BPA 绕点B逆时针选择60，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.如图，ABC 为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC 上的点，且EAF=45，试探究222BECFEF、间的关系，并说明理由.七翻折问题 例 1、如图，矩形纸片 ABC

7、D的边 AB=10cm，BC=6cm，E为 BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点 B恰好落在 CD边上的点 G 处，求 BE的长.变式：如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿直线 AD翻折，点 C落在点 C 的位置，BC=4,求 BC的长.题型九：关于最短性问题 例 5、如右图 119，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才

8、能捕到害虫?别为斜边为那么勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后只要没有重叠没有空隙面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法列出等式推导出勾股角形一边可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题勾股定理的逆定理如果三角形三边长满足那么这个三角形是直角三角形其中为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通以为三边的三角形是直角三角形若时以为三边的三角形是钝角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的如若三角形三边长满足那么以为三边的三角形是直角三角形

9、但是为斜边勾股数能如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点，最少要花几秒钟？三、课后训练：一、填空题 1如图(1)，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米 图(1)2 种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为 2.5，高为 12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6，问吸管要做 。3已知：如图，ABC 中，C=90，点 O 为ABC 的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，点 D、E、F 分别是垂足，且 BC=8cm，CA=6

10、cm，则点 O 到三边 AB，AC 和 BC 的距离分别等于 cm 4在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20dm、3dm、2dm，A和 B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B点最短路程是_.二、选择题 1已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2Rt一直角边的长为

11、11，另两边为自然数，则 Rt的周长为（）A、121 B、120 C、132 D、不能确定 3如果 Rt两直角边的比为 512，则斜边上的高与斜边的比为（）A、6013 B、512 C、1213 D、60169 4已知 RtABC中，C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC的面积是（）A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 5等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（）A、56 B、48 C、40 D、32 6某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至

12、少需要（）A、450a 元 B、225a 元 C、150a 元 D、300a 元 C O A B D E F 第 3 题图 D B C A 第 4 题图 2032ABA B E F D C 第 7 题图 别为斜边为那么勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后只要没有重叠没有空隙面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法列出等式推导出勾股角形一边可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题勾股定理的逆定理如果三角形三边长满足那么这个三角形是直角三角形其中为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要

13、方法它通以为三边的三角形是直角三角形若时以为三边的三角形是钝角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的如若三角形三边长满足那么以为三边的三角形是直角三角形但是为斜边勾股数能 7 已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B与点 D重合，折痕为 EF，则ABE的面积为（）A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2 8在ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则ABC 的周长为 A42 B32 C42 或 32 D37 或 33 9.如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC是（

14、）（A）直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形 (D)以上答案都不对 三、计算 1、如图，A、B是笔直公路 l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是 300m和 500m，两村庄之间的距离为 d(已知d2=400000m2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？2、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P落在AD边上（不与 A、D重合），在 AD上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，

15、请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF与 DC的延长线交于点 Q，与 BC交于点 E，能否使 CE=2cm？若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请你说明理由.四、思维训练：1、如图所示是从长为 40cm、宽为 30cm 的矩形钢板的左上角截取一块长为 20cm，宽为 10cm 的矩形后，剩下的一块下脚料。工人师傅要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件，请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图 2，3 中分别画出切割时所沿的虚线

16、，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹）。30cm30cm40cm10cm150 20m 30m 第 6 题图 ABCABl 别为斜边为那么勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后只要没有重叠没有空隙面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法列出等式推导出勾股角形一边可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题勾股定理的逆定理如果三角形三边长满足那么这个三角形是直角三角形其中为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通以为三边的三角形是直角三角形若时以为三边的三角形是钝角三角形若时以

17、为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的如若三角形三边长满足那么以为三边的三角形是直角三角形但是为斜边勾股数能2、葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？如果树的周长为 3 cm，绕一圈升高 4cm，则它爬行路程是多少厘米？如果树的周长为 8 cm，绕一圈爬行 10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行 10 圈到达树顶，则树干高多少厘米？3、在，ABC中，ACB=90 ，CD AB于D,求 证：

18、222111CDACBC。BADC别为斜边为那么勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后只要没有重叠没有空隙面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法列出等式推导出勾股角形一边可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题勾股定理的逆定理如果三角形三边长满足那么这个三角形是直角三角形其中为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法它通以为三边的三角形是直角三角形若时以为三边的三角形是钝角三角形若时以为三边的三角形是锐角三角形定理中及只是一种表现形式不可认为是唯一的如若三角形三边长满足那么以为三边的三角形是直角三角形但是为斜边勾股数能