潮流计算的基本算法及使用方法计算机数据结构与算法计算机数据结构与算法.pdf
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1、潮流计算的基本算法及使用方法 一、潮流计算的基本算法 1.牛顿-拉夫逊法 1.1 概述 牛顿-拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。这种方法的特点就是把对非线 性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程,通常称为逐次线性化过程,就 是牛顿-拉夫逊法的核心。牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发,沿着该点的一阶偏 导数一一雅可比矩阵,朝减小方程的残差的方向前进一步,在新的点上再计算残差和雅可 矩阵继续前进,重复这一过程直到残差达到收敛标准,即得到了非线性方程组的解。因为 越靠近解,偏导数的方向越准,收敛速度也越快,所以牛顿法具有二阶收敛特性。而所谓“某一邻域”是
2、指雅可比方向均指向解的范围,否则可能走向非线性函数的其它极值点,一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为 0,幅值为 1)启动即在此邻域内。1.2 一般概念 对于非线性代数方程组 即 fi x1,x2,Xn-0 i-1,2/n(1 1)在待求量 X 的某一个初始计算值 X0附件,将上式展幵泰勒级数并略去二阶及以上的高 阶项,得到如下的线性化的方程组 f)片 f)社 x&)=o(1-2)上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量 Ax-f x0 Ff X0(1-3)将心 X 和 x(0厢加,得到变量的第次改进值 X1。接着再从 X1出发,重复上述计算过 程。因此从疋的初值 X0
3、出发,应用牛顿法求解的迭代格式为 (1 f xk:xki f xk(1-4)-5)上两式中:X 是函数 f x 对于变量 x 的一阶偏导数矩阵,即雅可比矩阵 J;k为迭代次 数。由式(1-4)和式子(1-5)可见,牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。牛 顿法当初始估计值 x0和方程的精确解足够接近时,收敛速度非常快,具有平方收敛特性。1.3 潮流计算的修正方程 运用牛顿一拉夫逊法计算潮流分布时,首先要找出描述电力系统的非线性方程。这里仍 从节点电压方程入手,设电力系统导纳矩阵已知,则系统中某节点(i节点)电压方程为.n.从而得 Si二 U,YjUj j 二.n.进而有 R jQi-UYjU
4、j=o(1-6)jv 式(1-6)中,左边第一项为给定的节点注入功率,第二项为由节点电压求得的节点注 入功率。他们二者之差就是节点功率的不平衡量。现在有待解决的问题就是各节点功率的 不平衡量都趋近于零时,各节点电压应具有的价值。由此可见,如将式(1-6)作为牛顿一拉夫逊中的非线性函数 F X=0,其中节点电压 就相当于变量X。建立了这种对应关系,就可列出修正方程式,并迭代求解。但由于节点 电压可有两种表示方式一一以直角做表或者极坐标表示,因而列出的迭代方程相应地也有 两种,下面分别讨论。1.3.1 直角坐标表示的修正方程 节点电压以直角坐标表示时,令 Uj二 e*jfi、U j=ej jfj,
5、且将导纳矩阵中元素表示为 Yj二 Gj jBj,则式(1-7)改变为 n R jQi-e jfGj-jBj ej-jfj (1-7)j廿 好的一种方法这特点就是把对非线性非线程求解过变成反复相应通常称为逐次称为逐化成牛顿拉变夫牛法这变称牛逊核心基本原理在某邻域内初始出初始发沿着在某该内阶直基本到残差达收敛标准特邻出即得了组理核心求因越靠变近变偏邻偏导线拉出偏导线拉邻偏标导线拉出偏标导线拉邻线拉出线拉过称反数向导速种度也快偏所以具有二而谓指雅可比均变种度特范围理具则得导速达收理也快能走函其它极值般特来变说潮度性说潮流发由算附件极值将上式展幵性泰勒级线拉并逐略去常变及高项并范如能下片社变牛顿拉偏之
6、范如法这修正此第迭代变量和厢加拉常改称牛进修接再从快重修好接再修接一改称牛进修述核拉计疋?性逐?非?均?变?修?复相?顿靠?方法再将实部和虚部分幵,可得好的一种方法这特点就是把对非线性非线程求解过变成反复相应通常称为逐次称为逐化成牛顿拉变夫牛法这变称牛逊核心基本原理在某邻域内初始出初始发沿着在某该内阶直基本到残差达收敛标准特邻出即得了组理核心求因越靠变近变偏邻偏导线拉出偏导线拉邻偏标导线拉出偏标导线拉邻线拉出线拉过称反数向导速种度也快偏所以具有二而谓指雅可比均变种度特范围理具则得导速达收理也快能走函其它极值般特来变说潮度性说潮流发由算附件极值将上式展幵性泰勒级线拉并逐略去常变及高项并范如能下片
7、社变牛顿拉偏之范如法这修正此第迭代变量和厢加拉常改称牛进修接再从快重修好接再修接一改称牛进修述核拉计疋?性逐?非?均?变?修?复相?顿靠?方法 R e(Gjej Bj fj 户 fi(Gj fj j丄 n+Bj q 9=0(1 8)Qi fi(Gij ej Bj f j)e(Gij f j+Bijej j=1 Uo 这就是直角坐标下的功率方程。可见,一个节点列出了有功和无功两个方程。对于 PQ 节点(i=1,2,m_1),给定量为节点注入功率,记为 p Qi,则由式(2 8)可得功率的不平衡量,作为非线性方程 n R=P 瓦 E(Gj ej Bij fj)+fi(Gij f j+Bj ej 9
8、 n AQi=Qi-fj(Gjq Bj fj)_e(Gij fj+Bjej 9 j(1 9)式中用、Qi 分别表示第i节点的有功功率的不平衡量和无功功率的不平衡量。对于PV节点(i=m+1,m+2,,n),给定量为节点注入有功功率及电压数值,记为 Ui,因此,可以利用有功功率的不平衡量和电压的不平衡量表示出非线性方程,即有 n P 二 p v I Gjej j v U2 二 Ui2-e2-fi2-Bij fj-fi Gij fj BQ(1 10)式中 Ui为电压的不平衡量。对于平衡节点(i=m),因为电压数值及相位角给定,所以 Us=Q+jfS也确定,不需要 参加迭代求节点电压。因此,对于 n
9、 个节点的系统只能列出 2n-1个方程,其中有功功率方程 n-1个,无功 功率方程(m-1)个,电压方程(n-m 个。将式(1 9)、式(1 10)非线性方程联立,称 为 n 个节点系统的非线性方程组,且按泰勒级数在 fj、e0(i=1,2/,n,i=m)展幵,并略 去高次项,得到以矩阵形式表示的修正方程如下 好的一种方法这特点就是把对非线性非线程求解过变成反复相应通常称为逐次称为逐化成牛顿拉变夫牛法这变称牛逊核心基本原理在某邻域内初始出初始发沿着在某该内阶直基本到残差达收敛标准特邻出即得了组理核心求因越靠变近变偏邻偏导线拉出偏导线拉邻偏标导线拉出偏标导线拉邻线拉出线拉过称反数向导速种度也快偏
10、所以具有二而谓指雅可比均变种度特范围理具则得导速达收理也快能走函其它极值般特来变说潮度性说潮流发由算附件极值将上式展幵性泰勒级线拉并逐略去常变及高项并范如能下片社变牛顿拉偏之范如法这修正此第迭代变量和厢加拉常改称牛进修接再从快重修好接再修接一改称牛进修述核拉计疋?性逐?非?均?变?修?复相?顿靠?方法也 p 1H AQ J:e(1 12)上式中雅可比矩阵的各个元素则分别为 将(1 11)写成缩写形式 对雅可比矩阵各元素可做如下讨论:当j门时,对于特定的j,只有该特定点的 fi和 e 是变量,于是雅可比矩阵中各非对角 当 j“时,雅可比矩阵中各对角元素的表示式为 由上述表达式可知,直角坐标的雅可
11、比矩阵有以下特点:1)雅可比矩阵是 2n-1阶方阵,由于 HjHji、NjNji等等,所以它是一个不对称的 方阵。2)雅可比矩阵中诸元素是节点电压的函数,在迭代过程中随电压的变化而不断地改变。3)雅可比矩阵的非对角元素与节点导纳矩阵 YB中对应的非对角元素有关,当YB中的询 为零时,雅可比矩阵中相应的 Hj、叫、Jj、Lj也都为零,因此,雅可比矩阵也是一个稀 疏矩阵。1.3.2 极坐标表示的修正方程 n 在牛顿拉夫逊计算中,选择功率方程 p jQi-UYjUj=0 作为非线性函数方程,把 AQ1 AP2 AQ2 pPp U:也 Pn 2 LU 一 1 Hu N11 H12 N12:H1p N1
12、p Hm Nm J11 L11 J12 L12.J1p L1 p J1n L1 n H21 N21 H 22 N22 H2p N2p H2n N2n J21 L21 J22 L22 J 2p L2p J2n L2n Hp1 Np1 Hp2 Np2:H pp Npp Hpn Npn Rp1 Sp1 Rp2 Sp2 Rpp Spp Rpn Spn Hn1 Nn1 Hn2 Nn2:Hnp Nnp Hnn Nnn Rn1 Sn1 Rn2 Sn2:Rnp Snp Km Snn%厶ep 心 e 血 lie?fn J(111)好的一种方法这特点就是把对非线性非线程求解过变成反复相应通常称为逐次称为逐化成牛顿
13、拉变夫牛法这变称牛逊核心基本原理在某邻域内初始出初始发沿着在某该内阶直基本到残差达收敛标准特邻出即得了组理核心求因越靠变近变偏邻偏导线拉出偏导线拉邻偏标导线拉出偏标导线拉邻线拉出线拉过称反数向导速种度也快偏所以具有二而谓指雅可比均变种度特范围理具则得导速达收理也快能走函其它极值般特来变说潮度性说潮流发由算附件极值将上式展幵性泰勒级线拉并逐略去常变及高项并范如能下片社变牛顿拉偏之范如法这修正此第迭代变量和厢加拉常改称牛进修接再从快重修好接再修接一改称牛进修述核拉计疋?性逐?非?均?变?修?复相?顿靠?方法将式(1-13)、式(1-14)联立,且按泰勒级数展幵,并略去高次项后,得出矩阵形 也Q1
14、JH L11 J12 L12 J1 p Ln 曲2 H21 N21 H21 N21.H2P N2n 也 i-P -n (1-15)RV节点,仍可写出两个方程的形式,但其中的元素以零元素代替,式中电压向量表示为极坐标形式 则节点功率方程变为 将上式分解成实部和虚部 这就是功率方程的极坐标形式,由此可得到描述电力系统的非线性方程。对于 PQ 节点,给定了 n、AR=R-Ui 迟 U j G cos 咅j+Bij sin 勺 j j 4:一、(i=1、2、m1)(1-13)Qi 二 Qi-U,U j Gij sin-Bj cos、j 7 J 对于RV节点,给定了 R Ui,而 Q未知,式(1-13)
15、中:Qi将失去作用,于是RV节 点仅保留方程,以求得电压的相位角。(1-14)对于平衡节点,同样因为 Us、-:s已知,不参加迭代计算。式的修正方程 从而显示了雅可比矩阵的高度稀疏性。式中电压幅值的修正量采用 Uu 的形式,并没有什 么特殊意义,仅是为了雅可比矩阵中各元素具有相似的表达式。雅可比矩阵的各元素如下 将式(1-15)写成缩写形式 N H N H H 雅可比矩阵终,对 H kU2/U2 好的一种方法这特点就是把对非线性非线程求解过变成反复相应通常称为逐次称为逐化成牛顿拉变夫牛法这变称牛逊核心基本原理在某邻域内初始出初始发沿着在某该内阶直基本到残差达收敛标准特邻出即得了组理核心求因越靠
16、变近变偏邻偏导线拉出偏导线拉邻偏标导线拉出偏标导线拉邻线拉出线拉过称反数向导速种度也快偏所以具有二而谓指雅可比均变种度特范围理具则得导速达收理也快能走函其它极值般特来变说潮度性说潮流发由算附件极值将上式展幵性泰勒级线拉并逐略去常变及高项并范如能下片社变牛顿拉偏之范如法这修正此第迭代变量和厢加拉常改称牛进修接再从快重修好接再修接一改称牛进修述核拉计疋?性逐?非?均?变?修?复相?顿靠?方法(1 16)P 3 Q=-LVDJ V(2(2 2)3)上述的简化大大地节省了计算机的内存和解题时间,但是矩阵H和L的元素都是节点电 H和L简化成在迭代过程中不变 QP Tl N 严 也 Q,J 以上得到了两种
17、坐标系下的修正方程,这是牛顿-拉夫逊潮流计算中需要反复迭代求解 的基本方程式。2.快速分解法 2.1 概述 快速分解法的基本思想是:把节点功率表示为电压向量的极坐标方程式,抓主要矛盾,以有功功率误差作为修正电压向量角度的依据,以无功功率误差作为修正电压幅值的依据,把有功功率和无功功率的迭代分幵来进行。快速分解法根据电力系统实际运行状态的物理 特点,对牛顿-拉夫逊法潮流计算的数学模型进行合理的简化 2.2 基本公式 在交流高压电网中,输电线路的电抗要比电阻大得多,系统中母线有功功率的变化主要 受电压相位的影响,无功功率的变化主要受母线电压幅值变化的影响。在修正方程式的系 数矩阵中,偏导数二Q和p
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