一元二次方程求根公式1中学教育中学学案中学教育初中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 主讲：黄冈中学高级教师 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程 ax2bx c=0(a0)进行配方，当 b24ac0 时的根为 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2bxc=0(a0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数 a、b、c 的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当 b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；

2、（2）当 b24ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当 b24ac0时，方程没有实数根 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。(1)“开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式学习必备 欢迎下载 法”就显得多余的了。(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。(3)“配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；

3、若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。2、在运用 b24ac 的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b24ac 是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定 a、b、c，求出 b24ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认 a、b、c；（3）根的判别式是指 b24ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).

4、分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出 a、b、c 的值，再代入公式计算，的根为该式称为一元二次方程的求根公式用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法简称公式法说明一元二次方程的公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程由求根公式可知一元二次方程的根是由系数的值决式当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根二重难点知识对于一元二次方程的各种解法是重点难点是对各种方法的选择突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上熟悉各种方法的方法一般是首先考虑的方法配方法是一种非常重要的方法一般不使用但若能恰当地使用往往能起到简化作用思考于因式分解法之后公

5、式法之前如方程用因式分解则这个数太大不易分解用公式法也太繁若配方则方程化为就易解若一次学习必备 欢迎下载 解：(1)因为 a=1，c=10 所以 所以 (2)原方程可化为 因为 a=1，c=2 所以 所以.(3)原方程可化为 因为 a=1，c=1 所以 所以；所以 的根为该式称为一元二次方程的求根公式用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法简称公式法说明一元二次方程的公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程由求根公式可知一元二次方程的根是由系数的值决式当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根二重难点知识对于一元二次方程的各种解法是重点难点是对各种方

6、法的选择突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上熟悉各种方法的方法一般是首先考虑的方法配方法是一种非常重要的方法一般不使用但若能恰当地使用往往能起到简化作用思考于因式分解法之后公式法之前如方程用因式分解则这个数太大不易分解用公式法也太繁若配方则方程化为就易解若一次学习必备 欢迎下载 总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行 例2、用适当方法解下列方程：分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处

7、理好特殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。如，因为224比较大，分解时较繁

8、，此题中一次项系数 是-2。可 以 利 用 用 配 方 法 来 解，经 过 配 方 之 后 得 到的根为该式称为一元二次方程的求根公式用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法简称公式法说明一元二次方程的公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程由求根公式可知一元二次方程的根是由系数的值决式当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根二重难点知识对于一元二次方程的各种解法是重点难点是对各种方法的选择突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上熟悉各种方法的方法一般是首先考虑的方法配方法是一种非常重要的方法一般不使用但若能恰当地使用往往能起到简化作用思考

9、于因式分解法之后公式法之前如方程用因式分解则这个数太大不易分解用公式法也太繁若配方则方程化为就易解若一次学习必备 欢迎下载，显得很简单。直接开平方法一般解符合型的方程，如第小题。因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。解：两边开平方，得 所以 配方，得 所以 所以 的根为该式称为一元二次方程的求根公式用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法简称公式法说明一元二次方程的公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程由求根公式可知一元二次方程的根是由系数的值决式当时方

10、程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根二重难点知识对于一元二次方程的各种解法是重点难点是对各种方法的选择突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上熟悉各种方法的方法一般是首先考虑的方法配方法是一种非常重要的方法一般不使用但若能恰当地使用往往能起到简化作用思考于因式分解法之后公式法之前如方程用因式分解则这个数太大不易分解用公式法也太繁若配方则方程化为就易解若一次学习必备 欢迎下载 配方，得 所以 所以 因为 所以=4 20=24 所以 所以 配方：所以 所以 的根为该式称为一元二次方程的求根公式用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法简称公式法说明一元二次方

11、程的公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程由求根公式可知一元二次方程的根是由系数的值决式当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根二重难点知识对于一元二次方程的各种解法是重点难点是对各种方法的选择突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上熟悉各种方法的方法一般是首先考虑的方法配方法是一种非常重要的方法一般不使用但若能恰当地使用往往能起到简化作用思考于因式分解法之后公式法之前如方程用因式分解则这个数太大不易分解用公式法也太繁若配方则方程化为就易解若一次学习必备 欢迎下载 整理，得 所以 移项，提公因式，得 所以 小结：以上各题请同学们用其他方法做一

12、做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。例3、已知关于 x 的方程 ax23x1=0有实根，求 a 的取值范围.解：当 a=0时，原方程有实根为 若 a0时，当原方程有两个实根.的根为该式称为一元二次方程的求根公式用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法简称公式法说明一元二次方程的公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程由求根公式可知一元二次方程的根是由系数的值决式当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根二重难点知识对于一元二次方程的各种解法是重点难点是对各种方法的选择突破这一难点的关键是在对四种方法都会

13、使用的基础上熟悉各种方法的方法一般是首先考虑的方法配方法是一种非常重要的方法一般不使用但若能恰当地使用往往能起到简化作用思考于因式分解法之后公式法之前如方程用因式分解则这个数太大不易分解用公式法也太繁若配方则方程化为就易解若一次学习必备 欢迎下载 故，综上所述 a 的取值范围是.小结：此题要分方程 ax23x1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当 a=0与a0两种情况 例4、已知一元二次方程 x24xk=0有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围；(2)如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 x24xk=0与 x2mx1=0有一个相同的根，求此时 m的值.解：(1)因为

14、方程 x24xk=0有两个不相等的实数根，所以 b24ac=164k0，得 k4.(2)满足 k4的最大整数，即 k=3.此时方程为 x24x3=0，解得 x1=1，x2=3.当相同的根为 x=1时，则1m 1=0，得 m=0；当相同的根为 x=3时，则93m 1=0，得 所以 m的值为0或 例5、设 m为自然数，且3m40，方程有两个整数根求 m的值及方程的根。解：，的根为该式称为一元二次方程的求根公式用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法简称公式法说明一元二次方程的公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程由求根公式可知一元二次方程的根是由系数的值决式当时方程有两个不相等的实

15、数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根二重难点知识对于一元二次方程的各种解法是重点难点是对各种方法的选择突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上熟悉各种方法的方法一般是首先考虑的方法配方法是一种非常重要的方法一般不使用但若能恰当地使用往往能起到简化作用思考于因式分解法之后公式法之前如方程用因式分解则这个数太大不易分解用公式法也太繁若配方则方程化为就易解若一次学习必备 欢迎下载 方程有整数根，4（2m 1）是完全平方数。3m40 72m 181 2m 1值可以为9，25，49 m的值可以为4，12，24。当 m=4 时方程为 解得 x=2或 x=8 当 m=12 时方程为 解得

16、 x=26或 x=16 当 m=24 时方程为 解得 x=52或 x=38 总结：本题先由整数根确定2m 1是完全平方数，再由3m40 中 m为整数确定 m的值，再分别试验求 x，是本题特点。的根为该式称为一元二次方程的求根公式用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法简称公式法说明一元二次方程的公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程由求根公式可知一元二次方程的根是由系数的值决式当时方程有两个不相等的实数根当时方程有两个相等的实数根当时方程没有实数根二重难点知识对于一元二次方程的各种解法是重点难点是对各种方法的选择突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上熟悉各种方法的方法一般是首先考虑的方法配方法是一种非常重要的方法一般不使用但若能恰当地使用往往能起到简化作用思考于因式分解法之后公式法之前如方程用因式分解则这个数太大不易分解用公式法也太繁若配方则方程化为就易解若一次