一元二次函数的图像和性质中学教育中考中学教育中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 3.4 一元二次函数的图象和性质 复习目标 1 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。知识回顾 1函数)0(2acbxaxy叫做一元二次函数。2.一元二次函数的图象是一条抛物线。3任何一个二次函数)0(2acbxaxy都可把它的解析式配方为顶点式：abacabxay44)2(22，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2abacab，对称轴是直线abx2。（2）最大（小）值 当0a，函数图象开口向上，y有最小值，abacy442m

2、in，无最大值。当0a，函数图象开口向下，y有最大值，abacy442max，无最小值。（3）当0a，函数在区间)2,(ab上是减函数，在),2(ab上是增函数。当0a，函数在区间上),2(ab是减函数，在)2,(ab上是增函数。【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。2无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。例题精解 一、一元二次函数的图象的画法【例 1】求作函数64212xxy的图象【解】)128(21642122xxxxy 学习必备 欢迎下载 2-4)(214-4)(

3、21 2222xx 以4x为中间值，取x的一些值，列表如下：x -7-6-5-4-3-2-1 y 25 0 23-2 23 0 25 【例 2】求作函数342xxy的图象。【解】)34(3422xxxxy 7)2(7)2(22xx 先画出图角在对称轴2x的右边部分，列表 【点评】画二次函数图象步骤：(1)配方；(2)列表；(3)描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。二、一元二次函数性质【例 3】求函数962xxy的最小值及图象的对称轴和顶点坐标。【解】7)3(79626222xxxxxy 由配方结果可知：顶点坐标为)73(，对称轴为3

4、x；01 当3x时，7miny 【例 4】求函数1352xxy图象的顶点坐标、对称轴、最值。103)5(232ab，2029)5(431)5(44422abac 函数图象的顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029x 05 当103x时，函数取得最大值2029mazy 函数在区间103,(上是增函数，在区间),3上是减函数。【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1)配方法；如例 3 x-2-1 0 1 2 y 7 6 5 4 3 函数的性质能利用性质解决实际问题会求二次函数在指定区间上的最大小值掌握一元二次函数一元二次方程的关系知识回顾函数叫做一元二次

5、函数一元二次函数的图象是一条抛物线任何一个二次函数都可把它的解析式配方为顶点式最大值无最小值当函数在区间上是减函数在上是增函数当函数在区间上是减函数在上是增函数说明我们研究二次函数的性质常用的方法有两种配方法和公式法无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与例求作函数的图象解学习必备欢迎下载以为中间值取的一些值列表如下例求作函数的图象解先画出图角在对称轴的右边部分列表点评画二次函数图象步骤配方列表描点成图也可利用图象的对称性先画出函数的左右边部分图象再利用学习必备 欢迎下载(2)公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例 4，可避免出错。任何一个函数都可配

6、方成如下形式：)0(44)2(22aabacabxay 三、二次函数性质的应用【例 5】(1)如果cbxxxf2)(对于任意实数t都有)3()3(tftf，那么（）（A）)4()1()3(fff （B）)4()3()1(fff（C）)1()4()3(fff （D）)1()3()4(fff 【解】)3()3(tftf对于一切的Rt均成立 )(xf的图像关于3x对称 又01a 抛物线开口向上。)3(f是)(xf的最小值。3431，)1()4()3(fff (2)如果cbxxxf2)(对于任意实数t都有)2()2(tftf，则)1(f )1(f。(用“”或“”填空)【解】)2()2(tftf对于一切

7、的Rt均成立 )(xf的图像关于2x对称 又01a 抛物线开口向下。)2(1)2(1，)1()1(ff 【点评】1.当0a时，对称轴通过它的最低点(此时函数有最小值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越大。如例 5(1)中当1x所对应的点比当4x所对应的点离对称轴远，所以1x时对应的函数值也比较大。21.当0a时，对称轴通过它的最高点(此时函数有最大值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越小。如例 5(2)中当1x所对应的点比当1x所对应的点离对称轴远，所以1x对应的函数值也比较小。【例 6】求函数522xxy 在给定区间 5,1上的最值。【解】（1）原函数

8、化为 615222xxxy 函数的性质能利用性质解决实际问题会求二次函数在指定区间上的最大小值掌握一元二次函数一元二次方程的关系知识回顾函数叫做一元二次函数一元二次函数的图象是一条抛物线任何一个二次函数都可把它的解析式配方为顶点式最大值无最小值当函数在区间上是减函数在上是增函数当函数在区间上是减函数在上是增函数说明我们研究二次函数的性质常用的方法有两种配方法和公式法无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与例求作函数的图象解学习必备欢迎下载以为中间值取的一些值列表如下例求作函数的图象解先画出图角在对称轴的右边部分列表点评画二次函数图象步骤配方列表描点成图也可利用图象的对称

9、性先画出函数的左右边部分图象再利用学习必备 欢迎下载 01a 当1x时，6miny 又1511 当5x时，106)15(2maxy（2）原函数可化为：910)31(2 xy，图象的对称轴是直线31x 注意到当21x时，函数为减函数 313134412322)2(2minfy【例 7】已知函数1)2(2nxxny是偶函数，试比较)2(f，)2(f，)5(f的大小。【解】解法一：1)2(2nxxny是偶函数，0n,122xy 可知函数的对称轴为直线0 x 又02 a，020205 )5()2()2(fff 解法二：32)1(2mxxmy是偶函数，0n,122xy 可知122xy在),0(上单调递减

10、 又1)2(2nxxny是偶函数，)5()5(ff 而225 )5()2()2(fff )5()2()2(fff 三、一元二次函数、一元二次方程的关系。【例 8】求当k为何值时，函数kxxy422的图象与x轴(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点.【解】令0422kxx，则022kxx的判别式kacb81642 (1)当0，即0816 k，2k时，方程有两个相等的实根，这时图象与x轴只函数的性质能利用性质解决实际问题会求二次函数在指定区间上的最大小值掌握一元二次函数一元二次方程的关系知识回顾函数叫做一元二次函数一元二次函数的图象是一条抛物线任何一个二次函数都可把它的解析式配

11、方为顶点式最大值无最小值当函数在区间上是减函数在上是增函数当函数在区间上是减函数在上是增函数说明我们研究二次函数的性质常用的方法有两种配方法和公式法无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与例求作函数的图象解学习必备欢迎下载以为中间值取的一些值列表如下例求作函数的图象解先画出图角在对称轴的右边部分列表点评画二次函数图象步骤配方列表描点成图也可利用图象的对称性先画出函数的左右边部分图象再利用学习必备 欢迎下载 有一个公共点；(2)当0，即0816 k，2k时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x轴有两个公共点；(3)当0，即0816 k，2k时，方程有两个不相等的实根，这时

12、图象与x轴无公共点；同步训练 一选择题 1二次函数522xxy的值域是（）)4，),4(4，)4,(2如果二次函数452mxxy在区间)1,(上是减函数，在区间),1上是增函数，则m（）2 -2 10 -10 3 如果二次函数)3(2mmxxy有两个不相等的实数根，则m的聚值范围是（）),6()2,()6,2()6,2 0 6,2 4函数3212xxy的最小值是（）-3.213 3 .213 5函数2422xxy具有性质（）开口方向向上，对称轴为1x，顶点坐标为（-1，0）开口方向向上，对称轴为1x，顶点坐标为（1，0）开口方向向下，对称轴为1x，顶点坐标为（-1，0）开口方向向下，对称轴为1

13、x，顶点坐标为（1，0）6下列命题正确的是（）函数3622xxy的最小值是23 函数3622xxy的最小值是415 函数342xxy的最小值为 7 函数342xxy的最大值为 7 7函数（1）3422xxy；（2）3422xxy；（3）3632xxy；（4）3632xxy中，对称轴是直线1x的是（）（1）与（2）（2）与（3）（1）与（3）（2）与（4）8对于二次函数xxy822，下列结论正确的是（）当2x 时，y有最大值 8 当2x 时，y有最大值 8 函数的性质能利用性质解决实际问题会求二次函数在指定区间上的最大小值掌握一元二次函数一元二次方程的关系知识回顾函数叫做一元二次函数一元二次函数

14、的图象是一条抛物线任何一个二次函数都可把它的解析式配方为顶点式最大值无最小值当函数在区间上是减函数在上是增函数当函数在区间上是减函数在上是增函数说明我们研究二次函数的性质常用的方法有两种配方法和公式法无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与例求作函数的图象解学习必备欢迎下载以为中间值取的一些值列表如下例求作函数的图象解先画出图角在对称轴的右边部分列表点评画二次函数图象步骤配方列表描点成图也可利用图象的对称性先画出函数的左右边部分图象再利用学习必备 欢迎下载 当2x 时，y有最小值 8 当2x 时，y有最小值 8 9如果函数)0(2acbxaxy，对于任意实数t都有)2(

15、)2(tftf，那么下列选项中正确的是（）)4()1()2(fff )4()2()1(fff )1()4()2(fff )1()2()4(fff 10若二次函数1422xxay有最小值，则实数a（）2 2 2 2 二填空 1若函数12)(2xxxf，则)(xf的对称轴是直线 2若函数322bxxy在区间 2,(上是减函数，在区间,2(是增函数，则b 3函数9322xxy的图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 、4已知6692xxy，则y有最 值为 5已知12842xxy，则y有最 值为 三解答题 1 已知二次函数342xxy，（1）指出函数图象的开口方向；（2）当x为何值时0y；（3）

16、求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。2.如果二次函数)8()(2kkxxxf与x轴至多有一个交点，求k的值。3已知二次函数222)1(2)(mmmxxf，（1）如果它的图象经过原点，求m的值。（2）如果它的图象关于y轴对称，写出函数的关系式。（3）如果它的图象关于y轴对称，试比较)2()3()2(fff、。函数的性质能利用性质解决实际问题会求二次函数在指定区间上的最大小值掌握一元二次函数一元二次方程的关系知识回顾函数叫做一元二次函数一元二次函数的图象是一条抛物线任何一个二次函数都可把它的解析式配方为顶点式最大值无最小值当函数在区间上是减函数在上是增函数当函数在区间上是减函数在上是增函数说明我们

17、研究二次函数的性质常用的方法有两种配方法和公式法无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与例求作函数的图象解学习必备欢迎下载以为中间值取的一些值列表如下例求作函数的图象解先画出图角在对称轴的右边部分列表点评画二次函数图象步骤配方列表描点成图也可利用图象的对称性先画出函数的左右边部分图象再利用学习必备 欢迎下载 函数的性质能利用性质解决实际问题会求二次函数在指定区间上的最大小值掌握一元二次函数一元二次方程的关系知识回顾函数叫做一元二次函数一元二次函数的图象是一条抛物线任何一个二次函数都可把它的解析式配方为顶点式最大值无最小值当函数在区间上是减函数在上是增函数当函数在区间上是减函数在上是增函数说明我们研究二次函数的性质常用的方法有两种配方法和公式法无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与例求作函数的图象解学习必备欢迎下载以为中间值取的一些值列表如下例求作函数的图象解先画出图角在对称轴的右边部分列表点评画二次函数图象步骤配方列表描点成图也可利用图象的对称性先画出函数的左右边部分图象再利用