微积分的基本公式56044高等教育微积分高等教育微积分.pdf

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1、微积分的基本公式 课 题：微积分的基本公式 教学内容:教学目的:教学重点:牛顿-莱布尼兹公式(NL)掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式，并应用其进行积分运算 牛顿-莱布尼兹公式 教学难点：牛顿一莱布尼兹公式 行积分运算教学重点牛顿莱布尼兹公式教学难点牛顿一莱布尼兹公式新课引入通过上一节课的学习我们知道利用定义计算定积分非常繁琐如果被积函数较为复杂其困难程度可想而知因此我们急需寻求一种新的计算方法而本次课学习积分上限的函数及其导数三牛顿莱布尼兹公式引例叩力二二积分上限的函数及其导数定理若则变上限函数是在上的一个原函数三牛顿莱布尼兹公式微积分学的创立世纪下半叶牛顿和莱布尼兹分

2、别在前人大量工作的基础上先后发现了勒马克劳林欧洲大陆派代表人物伯努利兄弟定理设尸是连续函数无在们上的一个原丿函数则顿莱布尼兹公式证根据定理是任的一个原函数故尸尤令得因此再令得舐二尸纟兀定理设尸是连续函数在们上的一个原函数则牛顿莱布尼兹公9新课引入:通过上一节课的学习，我们知道利用 定义计算定积分非常繁琐。如果被积函数 较为复杂，其困难程度可想而知。因此，我们急需寻求一种新的计算方法；而本次 课学习的牛顿-莱布尼兹公式恰恰为我 们提供了一种计算定积分的好方法。：）讲授新课:行积分运算教学重点牛顿莱布尼兹公式教学难点牛顿一莱布尼兹公式新课引入通过上一节课的学习我们知道利用定义计算定积分非常繁琐如果

3、被积函数较为复杂其困难程度可想而知因此我们急需寻求一种新的计算方法而本次课学习积分上限的函数及其导数三牛顿莱布尼兹公式引例叩力二二积分上限的函数及其导数定理若则变上限函数是在上的一个原函数三牛顿莱布尼兹公式微积分学的创立世纪下半叶牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工作的基础上先后发现了勒马克劳林欧洲大陆派代表人物伯努利兄弟定理设尸是连续函数无在们上的一个原丿函数则顿莱布尼兹公式证根据定理是任的一个原函数故尸尤令得因此再令得舐二尸纟兀定理设尸是连续函数在们上的一个原函数则牛顿莱布尼兹公第五第二节 徽积今的基凉公式 一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿-莱布尼兹公式行积分运算教学重点牛顿莱布尼

4、兹公式教学难点牛顿一莱布尼兹公式新课引入通过上一节课的学习我们知道利用定义计算定积分非常繁琐如果被积函数较为复杂其困难程度可想而知因此我们急需寻求一种新的计算方法而本次课学习积分上限的函数及其导数三牛顿莱布尼兹公式引例叩力二二积分上限的函数及其导数定理若则变上限函数是在上的一个原函数三牛顿莱布尼兹公式微积分学的创立世纪下半叶牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工作的基础上先后发现了勒马克劳林欧洲大陆派代表人物伯努利兄弟定理设尸是连续函数无在们上的一个原丿函数则顿莱布尼兹公式证根据定理是任的一个原函数故尸尤令得因此再令得舐二尸纟兀定理设尸是连续函数在们上的一个原函数则牛顿莱布尼兹公、引例 s 叩)力二S

5、GG)S(7)二、积分上限的函数及其导数 定理 1若f(x)eCa,b,则变上限函数 (x)=J J a 是/(x)在W上的一个原函数 行积分运算教学重点牛顿莱布尼兹公式教学难点牛顿一莱布尼兹公式新课引入通过上一节课的学习我们知道利用定义计算定积分非常繁琐如果被积函数较为复杂其困难程度可想而知因此我们急需寻求一种新的计算方法而本次课学习积分上限的函数及其导数三牛顿莱布尼兹公式引例叩力二二积分上限的函数及其导数定理若则变上限函数是在上的一个原函数三牛顿莱布尼兹公式微积分学的创立世纪下半叶牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工作的基础上先后发现了勒马克劳林欧洲大陆派代表人物伯努利兄弟定理设尸是连续函数无在

6、们上的一个原丿函数则顿莱布尼兹公式证根据定理是任的一个原函数故尸尤令得因此再令得舐二尸纟兀定理设尸是连续函数在们上的一个原函数则牛顿莱布尼兹公三、牛顿-莱布尼兹公式 微积分学的创立:17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹分别在前人大 量工作的基础上先后发现了微分和积分的关系。他 们的发现标志着微积分学的最终创立。创作起始年代 发表年代 牛顿 1665 1687 莱布尼兹 1675 1684,1686 英国派代表人物：泰勒，马克劳林 欧洲大陆派代表人物：伯努利兄弟 行积分运算教学重点牛顿莱布尼兹公式教学难点牛顿一莱布尼兹公式新课引入通过上一节课的学习我们知道利用定义计算定积分非常繁琐如果被积函数较为复杂

7、其困难程度可想而知因此我们急需寻求一种新的计算方法而本次课学习积分上限的函数及其导数三牛顿莱布尼兹公式引例叩力二二积分上限的函数及其导数定理若则变上限函数是在上的一个原函数三牛顿莱布尼兹公式微积分学的创立世纪下半叶牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工作的基础上先后发现了勒马克劳林欧洲大陆派代表人物伯努利兄弟定理设尸是连续函数无在们上的一个原丿函数则顿莱布尼兹公式证根据定理是任的一个原函数故尸尤令得因此再令得舐二尸纟兀定理设尸是连续函数在们上的一个原函数则牛顿莱布尼兹公定理2设尸是连续函数/(无)在Q,们上的一个原 丿 r b 函数，则f(x)dx=F(b)-F(a)顿莱布尼兹公式)证：根据定理1,J

8、/(x)dx是/任)的一个原函数，故 f X 尸(尤)=f(x)dx+C J a 令x=Q,得C=F(a),因此 J7(x)dx=F(x)-F(6z)再令x=b,得 a/()舐二尸(b)-F(Q)=F(x)J 纟=F(兀)b行积分运算教学重点牛顿莱布尼兹公式教学难点牛顿一莱布尼兹公式新课引入通过上一节课的学习我们知道利用定义计算定积分非常繁琐如果被积函数较为复杂其困难程度可想而知因此我们急需寻求一种新的计算方法而本次课学习积分上限的函数及其导数三牛顿莱布尼兹公式引例叩力二二积分上限的函数及其导数定理若则变上限函数是在上的一个原函数三牛顿莱布尼兹公式微积分学的创立世纪下半叶牛顿和莱布尼兹分别在前

9、人大量工作的基础上先后发现了勒马克劳林欧洲大陆派代表人物伯努利兄弟定理设尸是连续函数无在们上的一个原丿函数则顿莱布尼兹公式证根据定理是任的一个原函数故尸尤令得因此再令得舐二尸纟兀定理设尸是连续函数在们上的一个原函数则牛顿莱布尼兹公_i 定理2.设尸是连续函数y(x)在们上的一个原 b 函数，则f fMdx=F(b)-F(a)(牛顿-莱布尼兹公式)J a 说明：1.NL公式进一步揭示了定积分与被积函数 的原函数或不定积分之间的联系：一个连续函数在 a,b上的定积分等于它的任何一个原函数在a,b上 的增量；从而大大简化了定积分的计算。2.连续函数的条件必不可少。例如:行积分运算教学重点牛顿莱布尼兹

10、公式教学难点牛顿一莱布尼兹公式新课引入通过上一节课的学习我们知道利用定义计算定积分非常繁琐如果被积函数较为复杂其困难程度可想而知因此我们急需寻求一种新的计算方法而本次课学习积分上限的函数及其导数三牛顿莱布尼兹公式引例叩力二二积分上限的函数及其导数定理若则变上限函数是在上的一个原函数三牛顿莱布尼兹公式微积分学的创立世纪下半叶牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工作的基础上先后发现了勒马克劳林欧洲大陆派代表人物伯努利兄弟定理设尸是连续函数无在们上的一个原丿函数则顿莱布尼兹公式证根据定理是任的一个原函数故尸尤令得因此再令得舐二尸纟兀定理设尸是连续函数在们上的一个原函数则牛顿莱布尼兹公例 汽车以每小时36 k

11、m的速度行驶,到某处需要减 速停车，设汽车以等加速度=-5%刹车，问从开始刹 车到停车走了多少距离？S 解:设开始刹车时刻为/=0,则此时刻汽车速度 勺=36(%)=號o(叹)“0(叹)刹车后汽车减速行驶，其速度为 行积分运算教学重点牛顿莱布尼兹公式教学难点牛顿一莱布尼兹公式新课引入通过上一节课的学习我们知道利用定义计算定积分非常繁琐如果被积函数较为复杂其困难程度可想而知因此我们急需寻求一种新的计算方法而本次课学习积分上限的函数及其导数三牛顿莱布尼兹公式引例叩力二二积分上限的函数及其导数定理若则变上限函数是在上的一个原函数三牛顿莱布尼兹公式微积分学的创立世纪下半叶牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工

12、作的基础上先后发现了勒马克劳林欧洲大陆派代表人物伯努利兄弟定理设尸是连续函数无在们上的一个原丿函数则顿莱布尼兹公式证根据定理是任的一个原函数故尸尤令得因此再令得舐二尸纟兀定理设尸是连续函数在们上的一个原函数则牛顿莱布尼兹公v(/)=v+at=10-5/当汽车停住时,v(0=0,即10-5/=0,得(=2(s)故在这段时间内汽车所走的距离为=Jo(lO-5Odr=lOr-|r2=10(m)三)内容小结：1.微积分基本公式 设/(兀)wCa,Z?,且F(兀)=/(兀),则有 b /d x=/(b )=F(b a)=F(b)F(a)_ _ 丿 _ _ 丿 积分中值定理 微分中值定理 行积分运算教学重

13、点牛顿莱布尼兹公式教学难点牛顿一莱布尼兹公式新课引入通过上一节课的学习我们知道利用定义计算定积分非常繁琐如果被积函数较为复杂其困难程度可想而知因此我们急需寻求一种新的计算方法而本次课学习积分上限的函数及其导数三牛顿莱布尼兹公式引例叩力二二积分上限的函数及其导数定理若则变上限函数是在上的一个原函数三牛顿莱布尼兹公式微积分学的创立世纪下半叶牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工作的基础上先后发现了勒马克劳林欧洲大陆派代表人物伯努利兄弟定理设尸是连续函数无在们上的一个原丿函数则顿莱布尼兹公式证根据定理是任的一个原函数故尸尤令得因此再令得舐二尸纟兀定理设尸是连续函数在们上的一个原函数则牛顿莱布尼兹公牛顿-莱布

14、尼兹公式 2.N一L公式是计算定积分的基本公式行积分运算教学重点牛顿莱布尼兹公式教学难点牛顿一莱布尼兹公式新课引入通过上一节课的学习我们知道利用定义计算定积分非常繁琐如果被积函数较为复杂其困难程度可想而知因此我们急需寻求一种新的计算方法而本次课学习积分上限的函数及其导数三牛顿莱布尼兹公式引例叩力二二积分上限的函数及其导数定理若则变上限函数是在上的一个原函数三牛顿莱布尼兹公式微积分学的创立世纪下半叶牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工作的基础上先后发现了勒马克劳林欧洲大陆派代表人物伯努利兄弟定理设尸是连续函数无在们上的一个原丿函数则顿莱布尼兹公式证根据定理是任的一个原函数故尸尤令得因此再令得舐二尸纟兀

15、定理设尸是连续函数在们上的一个原函数则牛顿莱布尼兹公1.书 四)布置作业:P240 3;4;5；6,(11),(12);9(2);12 定积分的换元法和分部积分法 行积分运算教学重点牛顿莱布尼兹公式教学难点牛顿一莱布尼兹公式新课引入通过上一节课的学习我们知道利用定义计算定积分非常繁琐如果被积函数较为复杂其困难程度可想而知因此我们急需寻求一种新的计算方法而本次课学习积分上限的函数及其导数三牛顿莱布尼兹公式引例叩力二二积分上限的函数及其导数定理若则变上限函数是在上的一个原函数三牛顿莱布尼兹公式微积分学的创立世纪下半叶牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工作的基础上先后发现了勒马克劳林欧洲大陆派代表人物伯努利兄弟定理设尸是连续函数无在们上的一个原丿函数则顿莱布尼兹公式证根据定理是任的一个原函数故尸尤令得因此再令得舐二尸纟兀定理设尸是连续函数在们上的一个原函数则牛顿莱布尼兹公