一元二次不等式与二次函数中学教育高考中学教育中学课件.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系学案 知识要点：1 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系（填写下表）二次函数 的符号 一元二次方程 一元二次不等式 图 象 与 解 2(0)yaxbxca 2=b-4ac 2=0(0)axbxca 的解 20(0)axbxca 的解集 20(0)axbxca 的解集 _ 0 _ 0 _ 0 温馨提示：（1）不等式解集规律：“”取两边，”0 对任何实数x都成立，求实数 k的取值范围。解：(1)当 k2+4k50 时，k=5 或 k=1。当 k=5 时，不等式变为 24x+3+0，显然不满足题意，k5。当 k=1 时，不等式变

2、为 30，这时xR。(2)当 k2+4k50，根据题意有24500kk 1k19。练习：（1）函数86)(2kxkxxf的定义域是 R，则 k 的取值范围是（）C A.k0 或 k98 B.k98 C.0k98 D.0k98（2）不等式22(1)(1)10axax 的解集为 R，求a的取值范围 例 4（1）方程220 xxa 在0,3上有解，求a的取值范围。二次方程的关系填写下表二次函数的符号一元二次方程一元二次不等式图的解的解集的解集象与解温馨提示不等式解集规律取两边取中间前提写一元二次不等式的解集时一定要将图象的开口方向与判别式不等号结合起来的图象与轴定理韦达定理建立联系处理三个二有关问题

3、的主要方法是一轴三点六法一轴对称轴三点顶点与轴交点结合与轴交点由确定六法待定系数法求解析式配方法最值与单调区间分类讨最值与单调性数形结合转化放缩法证不等式等典型问题或求不精品资料欢迎下载等式的解集练习若不等式的解集为则已知函数的最大值为最小值为求的值二恒成立问题一般地恒成立的最大值为则恒成立的最小值为则恒成立恒成立注意要单独考虑时的情况例关于的不等式对任意恒成立则精品资料 欢迎下载（2）不等式220 xxa 在0,3上恒成立，求a的取值范围。（3）不等式220 xxa 在 R 上恒成立，求a的取值范围。例 5已知2()3f xxaxa,若 2,2x时，()0f x 恒成立，求a的取值范围（高考

4、全案 P32）练习：设2()22()f xxaxaR（1）当xR时，()f xa恒成立，求a的取值范围。（2）当 1,)x 时，()f xa恒成立，求a的取值范围。（全线突破P24例 1）解：（1）当 a1 时，f（x）min=f（1）=3+2a，x1，+），f（x）a 恒成立f（x）mina，即 3+2aaa3.故此时3a1.（2）当 a1 时，f（x）min=f（a）=a22a2+2=2a2，x1，+），f（x）a恒成立f（x）mina，即 2a2aa2+a202a1.故此时1a1.由（1）（2）知，当3a1 时，x1，+），f（x）a 恒成立.例 6对于函数 f（x），若存在 x0R，使

5、 f（x0）=x0成立，则称 x0为 f（x）的不动点.已知函数 f（x）=ax2+（b+1）x+b1（a0）.（1）当 a=1，b=2 时，求 f（x）的不动点；（2）若对于任意实数 b，函数 f（x）恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围.解：（1）当 a=1，b=2 时，f（x）=x2x3=xx22x3=0（x3）（x+1）=0 x=3或 x=1，f（x）的不动点为 x=3 或 x=1.（2）对任意实数 b，f（x）恒有两个相异不动点对任意实数 b，ax2+（b+1）x+b1=x 恒有两个不等实根对任意实数 b，=（b+1）24a（b1）0 恒成立对任意实数 b，b2+2（14a）b+

6、1+4a0 恒成立=4（14a）24（1+4a）0（14a）2（1+4a）04a23a0a（4a3）00a43.2已知函数3222)(abxaaxxf 当0)(),6()2,(,0)(),6,2(xfxxfx当，(1)求)(xf的解析式；(2)设),16(2)1(4)(4)(kxkxfkxg当k取何值时，0)(xg恒成立？解：（1）据题意：6,221xx是方程02322abxaax的两根 由韦达定理知：846)1(2623baaaba 二次方程的关系填写下表二次函数的符号一元二次方程一元二次不等式图的解的解集的解集象与解温馨提示不等式解集规律取两边取中间前提写一元二次不等式的解集时一定要将图象

7、的开口方向与判别式不等号结合起来的图象与轴定理韦达定理建立联系处理三个二有关问题的主要方法是一轴三点六法一轴对称轴三点顶点与轴交点结合与轴交点由确定六法待定系数法求解析式配方法最值与单调区间分类讨最值与单调性数形结合转化放缩法证不等式等典型问题或求不精品资料欢迎下载等式的解集练习若不等式的解集为则已知函数的最大值为最小值为求的值二恒成立问题一般地恒成立的最大值为则恒成立的最小值为则恒成立恒成立注意要单独考虑时的情况例关于的不等式对任意恒成立则精品资料 欢迎下载 （2）2081600)(24)(2kkkxgkkxxg 三转换主元：二次问题变为一次问题 例 7若不等式 2x1m(x21)对满足2m

8、2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围.分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 x 的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x21)m(2x 1)0 在-2,2 上恒成立的问题。对此的研究，设 f(m)(x21)m(2x 1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在-2,2 内恒为负值时参数 x 应该满足的条件ff()()2020。解：问题可变成关于 m的一次不等式：(x21)m(2x 1)0 在-2,2 恒成立，设 f(m)(x21)m(2x 1),则 fxxfxx()()()()()()22121022121022 解得 x（712,31

9、2）练习：（1）当 0 x1 时，函数 y=ax+a1 的值有正值也有负值，则实数 a 的取值范围是（）D A.a1 C.a1 D.21a1（2）若 f(x)=2(1)61xaax在区间0，1上恒为正值，则实数 a 的取值范围为_ 3函数 f(x)=x2+ax3a9 对任意 xR 恒有 f(x)0，则 f(1)()C A6 B5 C4 D3 三、一元二次方程根及根的分布问题 一元二次方程的实根分布与方程系数有密切关系，现将常见的问题结论归纳整理，以便使用：设一元二次方程20(0)axbxca 对应的二次函数为2()(0)f xaxbxc a。（1）方 程()0f x 在 区 间(,)k内 有

10、两 个 不 等 的 实 根 的 充 要 条 件 是：0,(4,2()0bkkacaf k2其中 为常数，=b以下同）。二次方程的关系填写下表二次函数的符号一元二次方程一元二次不等式图的解的解集的解集象与解温馨提示不等式解集规律取两边取中间前提写一元二次不等式的解集时一定要将图象的开口方向与判别式不等号结合起来的图象与轴定理韦达定理建立联系处理三个二有关问题的主要方法是一轴三点六法一轴对称轴三点顶点与轴交点结合与轴交点由确定六法待定系数法求解析式配方法最值与单调区间分类讨最值与单调性数形结合转化放缩法证不等式等典型问题或求不精品资料欢迎下载等式的解集练习若不等式的解集为则已知函数的最大值为最小值

11、为求的值二恒成立问题一般地恒成立的最大值为则恒成立的最小值为则恒成立恒成立注意要单独考虑时的情况例关于的不等式对任意恒成立则精品资料 欢迎下载 特别地，当 k=0 时，即方程()0f x 有两个不同的负根的充要条件。（2）方程()0f x 在区间(,)k 内有两个不等实根的充要条件是：02()0bkaf k。（3）方程()0f x 有一根大于 k,另一根小于 k 的充要条件是：()0f k。（4）方程()0f x 在区间12(,)k k内有且只有一根（不包括重根）的充要条件是1212()()0(,f kf kk k为常数，以下同）。（5）方程()0f x 在区间12(,)k k内有两个不等实根

12、的充要条件是121202()0()0bkkaf kf k。（6）方程()0f x 在区间12(,)k k两边有两个不等实根的充要条件是12()0()0f kf k 例与练习：1 若2()1f xxax有负值，则常数 a 的取值范围是（A ）A a2 B-2a2 C 22aa 且 D 1a3 2 m 为何实数时，关于 x 的方程2(2)(5)0 xmxm 的两根都大于 2。（答案：54m ）3 若关于 x 的方程2(3)0 xaxa 的两根均为正数，则实数 a 的取值范围是（D）A 03a B 9a C 9a 或1a D 01a 4 当方程220 xax 至少有一个根小于-1时，求实数 a 的取

13、值范围。（答案：2 2,)，分三种情况讨论）5 m 为何值时，关于 x 的方程2(1)2(21)(13)0mxmxm。（1）有两个异号实数根；（2）有两个实数根且他们的和为非负数。（答案：（1）1m 或13m，（2）617m （过程参考人教版中学教材全解选修 4-5P82页）6、已知抛物线2(1)(2)1()ymxmxmR（走向高考 P308）二次方程的关系填写下表二次函数的符号一元二次方程一元二次不等式图的解的解集的解集象与解温馨提示不等式解集规律取两边取中间前提写一元二次不等式的解集时一定要将图象的开口方向与判别式不等号结合起来的图象与轴定理韦达定理建立联系处理三个二有关问题的主要方法是一

14、轴三点六法一轴对称轴三点顶点与轴交点结合与轴交点由确定六法待定系数法求解析式配方法最值与单调区间分类讨最值与单调性数形结合转化放缩法证不等式等典型问题或求不精品资料欢迎下载等式的解集练习若不等式的解集为则已知函数的最大值为最小值为求的值二恒成立问题一般地恒成立的最大值为则恒成立的最小值为则恒成立恒成立注意要单独考虑时的情况例关于的不等式对任意恒成立则精品资料 欢迎下载（1）当 m 为何值时，抛物线与 x 轴有两个交点。（2）若关于 x 的方程21)(2)10mxmx（的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求 m 的取值范围。（3）如果抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，

15、且ABC的面积等于 2，试确定 m 的值。不等式解法学案 题组二：高次不等式与分式不等式的解法 重点掌握穿针引线法（数轴穿根法）。其步骤为：（1）将不等式右边化为零，将最高次项的系数化为正（注意是否要变号）。（2）左边分解为若干个一次因式之积或商，将各因式的根标在数轴上（注意大小顺序），若出现重根则转化为等价的不等式或不等式组。（3）从右上角画线依次穿过数轴上各根。（4）根据图形及不等式作出判断写出解集。写出下列不等式的解集：（1）(21)(1)(3)0 xxx 的解集是_；（2）25123xxx 的解集是_；（3）221xx的解集是_（4）1 201xx的解集是_ 题组三 指数不等式与对数不

16、等式的解法：思路：利用指数函数与对数函数的单调性，先把不等式转化为等价且同底的不等式求解。对应情况如下：例与练：解下列不等式：（1）1124log(1)log(24)xx；（2）2581(0.25)16xx 二次方程的关系填写下表二次函数的符号一元二次方程一元二次不等式图的解的解集的解集象与解温馨提示不等式解集规律取两边取中间前提写一元二次不等式的解集时一定要将图象的开口方向与判别式不等号结合起来的图象与轴定理韦达定理建立联系处理三个二有关问题的主要方法是一轴三点六法一轴对称轴三点顶点与轴交点结合与轴交点由确定六法待定系数法求解析式配方法最值与单调区间分类讨最值与单调性数形结合转化放缩法证不等式等典型问题或求不精品资料欢迎下载等式的解集练习若不等式的解集为则已知函数的最大值为最小值为求的值二恒成立问题一般地恒成立的最大值为则恒成立的最小值为则恒成立恒成立注意要单独考虑时的情况例关于的不等式对任意恒成立则