北师大版九年级上1.2 矩形的性质与判定 同步练习 (Word版 含解析).docx

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1、北师大版同步练习 1.2 矩形的性质与判定 一、选择题（共8小题；共40分）1. 如图，将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的 A 处若 DBC=24，则 AEB 等于 A. 66B. 60C. 57D. 48 2. 四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是 A. AB=CDB. AC=BDC. AB=BCD. ACBD 3. 下列是关于某个四边形的三个结论：它的对角线相等；它是一个正方形；它是一个矩形下列推理过程正确的是 A. 由推出，由推出B. 由推出，由推出C. 由推出，由推出D. 由推出，由推出 4. 八年级（3

2、）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图，计划用红花摆成两条对角线如果一条对角线用了 49 盆红花，那么还需要从花房运来红花 A. 48 盆B. 49 盆C. 50 盆D. 51 盆 5. 如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 E，F 分别是 AC，BC 的中点，D 是斜边 AB 上一点，则添加下列条件可以使四边形 DECF 成为矩形的是 A. ACD=BCDB. AD=BDC. CDABD. CD=AC 6. 如图，在 ABC 中，BC=12，D，E 分别是 AB，AC 的中点，F 是 DE 上一点，DF=1，连接 AF，CF，若 AFC=90，则 AC 的长度为 A. 10B. 1

3、2C. 13D. 14 7. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，顺次连接 ABCD 各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：ACBD，CABO=CCBO；DAO=CBO；DAO=BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是 A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 8. 如图，在 ABC 中，AB=AC，ADBC，垂足为 D，E 是 AC 的中点若 DE=5，则 AB 的长为 A. 2.5B. 7.5C. 8.5D. 10 二、填空题（共4小题；共20分）9. 如图，已知四边形 ABCD 为平行四边形，下列条件中：AC=

4、BD，AB=AD，1=2，ABBC，能说明平行四边形 ABCD 是矩形有 （填写序号） 10. 给出下列说法：四个角都相等的四边形是矩形；两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；一组对边平行，另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形.其中正确的个数是 11. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，以 BC 为斜边在矩形的外部作 RtBEC，点 F 是 CD 的中点，则 EF 的最大值是 12. 如图，菱形 ABCD 中，AC 交 BD 于 O，DEBC 于 E，连接 OE，若 ABC=140，则 OED= 三、解答题（共6小

5、题；共78分）13. 如图所示，已知 ACB=ADB=90，N，M 分别是 AB，CD 的中点，判断 MN 与 CD 的位置关系，并说明理由 14. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接 BF，AC，若 AD=AF，求证：四边形 ABFC 是矩形 15. 如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AO=OC，BO=OD，且 AOB=2OAD（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）若 AOB:ODC=4:3，求 ADO 的度数 16. 如图，ABC 中，点 P 是 AC 边上一个动点，过 P 作直线 E

6、FBC，交 ACB 的平分线于点 E，交 ACB 的外角 ACD 平分线于点 F（1）请说明：PE=PF；（2）当点 P 在 AC 边上运动到何处时，四边形 AECF 是矩形?为什么? 17. 如图，在 ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，BC，CA 的中点，AH 是边 BC 上的高（1）求证：四边形 ADEF 是平行四边形；（2）若 AHF=20，AHD=50，求 DEF 的度数 18. 阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图所示，矩形 AB

7、EF 即为 ABC 的“友好矩形”，显然，当 ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；（2）若 ABC 为直角三角形，且 C=90，在图中画出 ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；（3）若 ABC 是锐角三角形，且 BCACAB，在图中画出 ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明答案第一部分1. C【解析】思路分析：利用折叠前后对应角相等及矩形的性质求解即可. 四边形 ABCD 是矩形， A=ABC=90，由折叠的性质，得 BAE=A=90，ABE=ABE， ABE=ABE=1290DB

8、C=9024=33， AEB=90ABE=9033=57故选：C2. B3. A4. A【解析】 矩形的对角线互相平分且相等， 一条对角线用了 49 盆红花，中间一盆为对角线交点， 还需要从花房运来红花 491=48 盆5. B6. A【解析】D，E 分别是 AB，AC 的中点， DE=12BC=6， DF=1， EF=DEDF=5， AFFC， AFC 是直角三角形， E 是 AC 的中点， EF=12AC， AC=2EF=10故选：A7. C【解析】顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形 ACB

9、D， 新的四边形成为矩形，符合条件； 四边形 ABCD 是平行四边形， AO=OC，BO=DO CABO=CCBO， AB=BC根据等腰三角形的性质可知 BOAC， BDAC 新的四边形成为矩形，符合条件； 四边形 ABCD 是平行四边形， CBO=ADO， DAO=CBO， ADO=DAO， AO=OD， AC=BD， 四边形 ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件； DAO=BAO，BO=DO， AOBD，即平行四边形 ABCD 的对角线互相垂直， 新四边形是矩形，符合条件 符合条件8. D【解析】ADBC， ADC=90， AE=EC， AC=2DE=10， AB

10、=AC=10，故选D第二部分9. 10. 311. 9212. 20【解析】 四边形 ABCD 是菱形， DO=OB， DEBC 于 E， OE 为直角三角形 BED 斜边上的中线， OE=12BD， OB=OE， OBE=OEB， ABC=140， OBE=70， OED=9070=20第三部分13. MNCD理由如下：如图，连接 ND，NC在 RtABD 中， ADB=90，N 是 AB 的中点， ND=12AB，同理可得 NC=12AB， ND=NC， NDC 是等腰三角形，在等腰 NDC 中， M 是 CD 的中点， MNCD14. 在平行四边形 ABCD 中，ABDF， ABE=FC

11、E， E 为 BC 的中点， BE=CE，又 AEB=FEC， ABEFCEASA， AE=FE，又 BE=CE， 四边形 ABFC 是平行四边形，在平行四边形 ABCD 中，AD=BC，又 AD=AF， BC=AF， 平行四边形 ABFC 是矩形15. （1） AO=OC，BO=OD， 四边形 ABCD 是平行四边形， AOB=DAO+ADO=2OAD， DAO=ADO， AO=DO， AC=BD， 四边形 ABCD 是矩形（2） 四边形 ABCD 是矩形， ABCD， ABO=CDO， AOB:ODC=4:3， AOB:ABO=4:3， BAO:AOB:ABO=3:4:3， ABO=54，

12、 BAD=90， ADO=9054=3616. （1） CE 平分 BCA， 1=2， EFBC， E=1， E=2， EP=PC，同理 PF=PC， EP=PF；（2） 结论：当点 P 在 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形，理由：PA=PC，PE=PF， 四边形 AECF 是平行四边形，又 ECF=12BCD=90， 平行四边形 AECF 是矩形17. （1） 点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点， DE，EF 都是 ABC 的中位线， EFAB，DEAC， 四边形 ADEF 是平行四边形（2） 四边形 ADEF 是平行四边形， DEF=BAC， D，F 分别是 AB，CA

13、 的中点，AH 是边 BC 上的高， DH=AD，FH=AF， DAH=DHA，FAH=FHA， DAH+FAH=BAC，DHA+FHA=DHF， DHF=BAC， DHF=DEF AHF=20，AHD=50， DEF=DHF=AHF+AHD=20+50=7018. （1） 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”（2） 如图，此时共有 2 个“友好矩形”，矩形 BCAD 和矩形 ABEF易知矩形 BCAD 和矩形 ABEF 的面积都等于 ABC 面积的 2 倍

14、， ABC 的“友好矩形”的面积相等（3） 如图，此时共有 3 个“友好矩形”，矩形 BCDE 、矩形 CAFG 及矩形 ABHK，其中矩形 ABHK 的周长最小证明：易知这三个矩形的面积相等，令其为 S，设矩形 BCDE 、矩形 CAFG 及矩形 ABHK 的周长分别为 L1，L2，L3，ABC 中 BC=a，CA=b，AB=c，则 L1=2Sa+2a，L2=2Sb+2b，L3=2Sc+2c， L1L2=2Sa+2a2Sb+2b=2Sabab+2ab=2ababSab，易知 abS，且 ab， L1L20，即 L1L2，同理可得，L2L3， L3 最小，即矩形 ABHK 的周长最小第11页（共11 页）