高中数学放缩法公式中学教育高中教育中学教育高中教育.pdf

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1、“放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项（或负项）例 1、已知*21().nnanN求证：*122311.().23nnaaannNaaa 证明：11121111111 1.,1,2,.,2122(21)23.22223 2kkkkkkkkakna 1222311 111111.(.)(1),23 22223223nnnnaaannnaaa *122311.().232nnaaannnNaaa 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的

2、。本题在放缩时就舍去了22k，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例 2、函数 f（x）=xx414，求证：f（1）+f（2）+f（n）n+)(2121*1Nnn.证明：由 f(n)=nn414=1-111142 2nn 得 f（1）+f（2）+f（n）n22112211221121)(2121)2141211(41*11Nnnnnn.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即

3、可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、逐项放大或缩小 例 3、设)1(433221nnan求证：2)1(2)1(2nannn 证明：nnnn2)1(212)21()1(2nnnn 212)1(nnnn 2)12(31321nann，2)1(2)1(2nannn 本题利用21(1)2nnn n，对na中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。4、固定一部分项，放缩另外的项；例 4、求证：2222111171234n 证明：21111(1)1nn nnn 2222211111111151171()().1232231424nnnn 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧

4、，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。5、函数放缩 例 5.求证：)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn.解析:先构造函数有xxxxx11ln1ln,从而)313121(1333ln44ln33ln22lnnnnn 因为nnnn31121219181716151413121313121 6533323279189936365111nnnnn 所以6653651333ln44ln33ln22lnnnnnnn 6、裂项放缩 例 6 求证:35112nkk.变大多项式中加上一些负的值多项式的值变小由于证明不等式

5、的需要有时需要舍去或添加一些项使不等式一边放大或缩小利用不等式的传递性达到证明的目的本题在放缩时就舍去了从而是使和式得到化简先放缩再求和或先求和再放而对左边可以进行求和若分子分母如果同时存在变量时要设法使其中之一变为常量分式的放缩对于分子分母均取正值的分式如需放大则只要把分子放大或分母缩小即可如需缩小则只要把分子缩小或分母放大即可逐项放大或缩小例设求证证明此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧放缩拆项时不一定从第一项开始须根据具体题型分别对待即不能放的太宽也不能缩的太窄真正做到恰倒好处函数放缩例求证解析先构造函数有从而因为所以裂项放缩例求证解析因为解析:因为12112121444111222nn

6、nnn,所以35321121121513121112nnknk 7、均值不等式放缩 例 7.设.)1(3221nnSn求证.2)1(2)1(2nSnnn 解析:此数列的通项为.,2,1,)1(nkkkak 2121)1(kkkkkk，)21(11nknnkkSk，即.2)1(22)1(2)1(2nnnnSnnn 注：应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2baab，若放成1)1(kkk则得2)1(2)3)(1()1(21nnnkSnkn，就放过“度”了！根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 naanaaaaaannnnnn22111111 其中，3,2n等

7、的各式及其变式公式均可供选用。8、二项放缩 nnnnnnCCC10)11(2,1210nCCnnn,2222210nnCCCnnnn )2)(1(2nnnn 变大多项式中加上一些负的值多项式的值变小由于证明不等式的需要有时需要舍去或添加一些项使不等式一边放大或缩小利用不等式的传递性达到证明的目的本题在放缩时就舍去了从而是使和式得到化简先放缩再求和或先求和再放而对左边可以进行求和若分子分母如果同时存在变量时要设法使其中之一变为常量分式的放缩对于分子分母均取正值的分式如需放大则只要把分子放大或分母缩小即可如需缩小则只要把分子缩小或分母放大即可逐项放大或缩小例设求证证明此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧放缩拆项时不一定从第一项开始须根据具体题型分别对待即不能放的太宽也不能缩的太窄真正做到恰倒好处函数放缩例求证解析先构造函数有从而因为所以裂项放缩例求证解析因为