从高考试题看数学思想方法的复习中学教育中考中学教育中考.pdf

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1、从高考试题看数学思想方法的复习 玉环教研室 林 法 玉环实验学校 叶回新 一、高考对数学思想方法的要求 1、考试大纲、考试说明的要求“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，注重展现数学的科学价值和人文价值”（考试说明（理科，2007 年）数学思想和方法，是对数学知识在更高层次的抽象和概括，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解；要从学科整体意义和思想价值上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度”（考试大纲（理科，2007 年）2、高考评价报告要求

2、“在高考命题时，以经常使用的重要数学思维方法常编制解答题给予重点考查，而选择题与填空题则鼓励考生积极思维，选择最佳思维方法，优化解答过程，减少解答时间，并以此指导中学数学加强思维方法的教学，提高考生的思维水平”（2007 年教育部考试中心 高考数学测量理论与实践）3、考试中心对教学与复习的建议“数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位，如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，中学数学思想和方法有数形结合思想，函数和方程思想，分类讨论思想，化归和转化思想”“数学思想方法与

3、数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时又应该领会它们在形成知识中的作用，到了复习阶段应该对数学思想方法和数学基本方法进行疏理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序或者操作程序，逐步做到自觉地、灵活地施用于所要解决的问题.近几年来，高考的每一道数学试题几乎都考虑到数学思想方法或数学基本方法的运用，目的也是加强这些方面的考查.同样,这些高考试题也成为检验数学知识,同时又是检验数学思想方法的良好素材,复习时可以有意识地加以运用.”二、数学思想方法的三个层次 数学思想方法可分为三个层次，其主要内容如下表 数学思想和方法 数学一般方法 逻辑学中的方法(或思维方法)数学思想方法 配方法

4、、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等 分析法、综合法、归纳法、反证法等 函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等 三、近三年浙江高考试题对数学思想考查的分布情况 函数与方程 数形结合 分类讨论 转化与化归 2007 4 应用问题 5 统计 6 线面关系 1 命题与逻辑 9 双 曲 线 的 几何性质 7 向量 13 绝 对 值 不 等式 12 三角求值 试说明的要求数学科的命题在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查注重对数学能力的考查注重展现数学的科学价值和人文价值考试说明理科年数学思想和方法是对数学知识在更高层次的抽象和概括考查时必须要与数性通法淡化特殊技巧有效地检

5、测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度考试大纲理科年高考评价报告要求在高考命题时以经常使用的重要数学思维方法常编制解答题给予重点考查而选择题与填空题则鼓励考生积年教育部考试中心高考数学测量理论与实践考试中心对教学与复习的建议数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位如果说数学知识是数学内容可用文字和符号来记录和描述那么数学思想方法则是数学意识只能20 直线与椭圆 8 导函数的图象 14 排列与组合 18 解三角形 22 函数的性质 9 双曲线的几何性质 17 不 等 式 组 表示平面区域 19 线面关系转化 10 二次函数值域 21 数 列 与 不 等式 21 数

6、列与不等式 17 不等式组表示平面区域 22 函数的性质 四、用数学思想指导问题解决 1、函数与方程思想 考试中心对考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。”什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系,在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数的性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题用方程思想做指导就需要把含

7、字母的等式看作方程,研究方程的根有什么要求.著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题 建立函数思想是中学数学教学的重要课题，因为函数思想是中学数学，特别是高中数学的主线，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数,尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具因此，在数学教学中注重函数思想是相当重要的 对函数和方程思想的考查,主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题,在用函数和方程思想指导解题时要

8、经常思考下面一些问题:-是否需要把一个代数式看成一个函数?-是否需要把字母看作变量？-如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质？-如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题？-是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？-如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？(1)在解题中形成方程意识 将所求的量（或与所求的量相关的量）设成未知数，用它表示问题中的其它各量，根据题中的等量关系，列出方程，通过解方程或对方程进行研究，以求得问题的解决。例 1（天津理 10）设两个向量22(2,cos)a和(,sin)

9、,2mbm其中,m为实数.若2,ab则m的取值范围是()试说明的要求数学科的命题在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查注重对数学能力的考查注重展现数学的科学价值和人文价值考试说明理科年数学思想和方法是对数学知识在更高层次的抽象和概括考查时必须要与数性通法淡化特殊技巧有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度考试大纲理科年高考评价报告要求在高考命题时以经常使用的重要数学思维方法常编制解答题给予重点考查而选择题与填空题则鼓励考生积年教育部考试中心高考数学测量理论与实践考试中心对教学与复习的建议数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位如果说数学知识是数学

10、内容可用文字和符号来记录和描述那么数学思想方法则是数学意识只能A.6,1 B.4,8 C.(,1 D.1,6 例 2、（全国 1 理 12）函数22()cos2cos2xf xx的一个单调增区间是 A2(,)33 B(,)6 2 C(0,)3 D(,)6 6 例 3、（上海文 8）某工程由A BCD，四道工序组成，完成它们需用时间依次为2 54x，天 四道工序的先后顺序及相互关系是：A B，可以同时开工；A完成后，C可以开工；BC，完成后，D可以开工 若该工程总时数为9 天，则完成工序C需要的天数x最大是 3 例 4、（浙江理 9 文 10）已知双曲线22221(00)xyabab，的左、右焦

11、点分别为1F，2F，P是准线上一点，且12PFPF，124PFPFab，则双曲线的离心率是（）2 3 2 3 该等量关系转换成等于 a、b、c 的关系等式，即可转换得关于未知量 e 的方程，解方程即得 e 的取值。(2)在解题中形成函数意识 在解题中，要对所给的问题观察、分析、判断并善于挖掘题目中的条件，构造出恰当的函数解析式、妙用函数的性质。例 6、对于满足 0p4 的一切实数，不等式 x2px4xp3 恒成立，试求 x 的取值范围一例，我们习惯上把 x 当作自变量，构造函数 yx2(p 4)x 3p,于是问题转化为：当p0,4时，y0 恒成立，求 x 的取值范围解决这个等价的问题需要应用二

12、次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的 如果把 p 看作自变量，x 视为参数，构造函数 y(x 1)p(x24x3)，则 y 是 p 的一次函数，就非常简单即令 f(p)(x 1)p(x24x3)函数 f(p)的图象是一条线段，要使 f(p)0 恒成立，当且仅当 f(0)0，且 f(4)0，解这个不等式组即可求得 x 的取值范围是(,1)(3,)本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于 x 的不等式组来达到求解的目的又如，已知（3x47x34x27x5）5（3x47x34x27x5）5a0a1xa2x

13、2a40 x40，试求 a0a2a4a40的值此题的第一感觉，可能会联想到二项式定理，但是仔细观察会发现左边并不是某两个二项式的展开式 但比较一下对应项的系数，不难发现，它们的偶次幂项的系数都相等，而 x 的奇次幂项的系数互为相反数，联想到函数的奇偶性便不难解决 例 5、（浙江文 21)(本题 15 分)如图，直线 ykxb 与椭圆2214xy交于 A、B 两点，记AOB 的面积为 S (I)求在 k0，0b1 的条件下，S 的最大值；（)当AB2，S1 时，求直线 AB 的方程 (3)、在求变量取值范围中形成不等式的意识 数学中很多变量的范围往往可将它们间的关系建立一个不等式通过解 yxOA

14、B试说明的要求数学科的命题在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查注重对数学能力的考查注重展现数学的科学价值和人文价值考试说明理科年数学思想和方法是对数学知识在更高层次的抽象和概括考查时必须要与数性通法淡化特殊技巧有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度考试大纲理科年高考评价报告要求在高考命题时以经常使用的重要数学思维方法常编制解答题给予重点考查而选择题与填空题则鼓励考生积年教育部考试中心高考数学测量理论与实践考试中心对教学与复习的建议数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位如果说数学知识是数学内容可用文字和符号来记录和描述那么数学思想方法则是数学

15、意识只能不等式即可求得。例 7、双曲线12222byax（a0,b 0）离心率 e=332,过点 A（0,-b）和 B（a,0）的直线与原点间距离为23。(1)求双曲线方程；(2)若直线 l:y=kx+m(k0，m0)与双曲线交于不同的两点 C、D，且 C、D两点都在以A为圆心的圆上，求函数 m=f(k)的解析式及值域。分析：第二问只要利用韦达定理找出 CD的中点 M，连接 MA的直线与 CD 互相垂直得关于 mk的等量关系，再把这个等量关系转换成关于 m的式子代入 组成等量关系和不等量关系式组解这个不等式组即得 m的范围。方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识。且涉及的知识

16、点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，是高考中考查的重点，所以在教学中我们应高度重视。例 8、（山东理）设函数2()ln(1)f xxbx，其中0b （）当12b 时，判断函数()f x在定义域上的单调性；（）求函数()f x的极值点；（）证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn 都成立【分析】函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。(I)通过判断导函数的正负来确定函数的单调性是()0fx 是12b 和定义域1,共同作用的结果；（II）需要分类讨论，由（I）可知分类的标准为11,0,0.22bbb（III）构造新函数为证明不等式“服务”，构造函数的依据是不等式关系中

17、隐含的易于判断的函数关系。用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题-参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类讨论判断：当参数给出了明确的取值范围后，应根据()f x导函数的特点迅速判断()0fx 或()0fx。参数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决.另外要注意由()0fx 求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为“极值点”.例 9、（福建理）已

18、知函数()exf xkxxR，（）若ek，试确定函数()f x的单调区间；（）若0k，且对于任意xR，()0f x 恒成立，试确定实数k的取值范围；（）设函数()()()F xf xfx，求证：12(1)(2)()(e2)()nnFFF nnN 试说明的要求数学科的命题在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查注重对数学能力的考查注重展现数学的科学价值和人文价值考试说明理科年数学思想和方法是对数学知识在更高层次的抽象和概括考查时必须要与数性通法淡化特殊技巧有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度考试大纲理科年高考评价报告要求在高考命题时以经常使用的重要数学思维方法常

19、编制解答题给予重点考查而选择题与填空题则鼓励考生积年教育部考试中心高考数学测量理论与实践考试中心对教学与复习的建议数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位如果说数学知识是数学内容可用文字和符号来记录和描述那么数学思想方法则是数学意识只能本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力 2、数形结合思想 数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过:“数与

20、形本是两依倚,焉能分作两边飞.数缺形时少直观,形少数时难入微.”.把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关

21、系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由 形 到 数的转化为主。”例 10（浙江，5）已知随机变量服从正态分布2(2)N，(4)0.84P，则(0)P（）A0.16 B0.32 C0.68 D，0.84 例 11（浙江，7）若非零向量，ab满足 abb，则（）2aab 22aab 2 bab 22 bab 例 12（浙江，8）设()fx是函数()f x的导函数，将()yf x和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）例 13（湖南理 14）设集合(

22、)|2|,Axyyx1，2()|Bxyyxb，AB （1）b的取值范围是 ；（2）若()xyAB，且2xy的最大值为 9，则b的值是 3、分类讨论思想 y x O y x O y x O y x O A B C D 试说明的要求数学科的命题在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查注重对数学能力的考查注重展现数学的科学价值和人文价值考试说明理科年数学思想和方法是对数学知识在更高层次的抽象和概括考查时必须要与数性通法淡化特殊技巧有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度考试大纲理科年高考评价报告要求在高考命题时以经常使用的重要数学思维方法常编制解答题给予重点考查而选择题

23、与填空题则鼓励考生积年教育部考试中心高考数学测量理论与实践考试中心对教学与复习的建议数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位如果说数学知识是数学内容可用文字和符号来记录和描述那么数学思想方法则是数学意识只能在解题时,我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是“分”，但分类解决问题问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合分合”的

24、解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法 分类讨论的思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，对分类与整合的思想的考查,有以下几个方面。一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类？例如（1）有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念，又如整数分为奇数、偶数，把三角形分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形等等；（2）有的运算法则和定理,公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为1q和1q两种情况;对数函数的单调性就分为a1，a1两种情况;求一元二次不等式的解又分为0,0 aa及00,0，共六种情况;直线方程分为斜率存在与不存在等等；（3）图形位置的相对

25、变化也会引起分类，例如两点在同一平面的同侧,异侧,二次函数图像的对称轴相对于定义域的不同位置等；（4）对于一些题目如排列组合的计数问题,概率问题又要按题目的特殊要求，分成若干情况研究；（5）整数的同余类，如把整数分成奇数和偶数等。二是如何分类，即要会科学地分类，分类要标准统一，不重不漏；三是分类之后如何研究；四是如何整合.例 14、（浙江理 14）某书店有 11 种杂志，2 元 1 本的 8 种，1 元 1 本的 3 种.小张用 10 元钱买杂志（每种至多买一本，10 元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）例 15(浙江文，22)已知22()|1|f xxxkx (I)若 k2，求

26、方程()0f x 的解；(II)若关于 x 的方程()0f x 在(0，2)上有两个解 x1，x2，求 k 的取值范围，并证明12114xx 例 16(2005 年，浙江卷，文 20)已知函数 xf和 xg的图象关于原点对称,且 xxxf22.（）求函数 xg的解析式;（）解不等式 xg 1xxf;（）若 xh xfxg1在 1,1上是增函数,求实数的取值范围.4、化归与转化思想 化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思试说明的要求数学科的命题在考查基础知识的基础上注重对数学思想和

27、方法的考查注重对数学能力的考查注重展现数学的科学价值和人文价值考试说明理科年数学思想和方法是对数学知识在更高层次的抽象和概括考查时必须要与数性通法淡化特殊技巧有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度考试大纲理科年高考评价报告要求在高考命题时以经常使用的重要数学思维方法常编制解答题给予重点考查而选择题与填空题则鼓励考生积年教育部考试中心高考数学测量理论与实践考试中心对教学与复习的建议数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位如果说数学知识是数学内容可用文字和符号来记录和描述那么数学思想方法则是数学意识只能想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩

28、小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等。在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力。例 17（湖北卷理 8）已知两个等差数列na和nb的前n项和分别为nA和nB，且7453nnAnBn，则使得nna

29、b为整数的正整数n的个数是（）（A）2（B）3（C）4（D）5 例 18、（浙江理 18）已知ABC的周长为21，且sinsin2sinABC（I）求边AB的长；（II）若ABC的面积为1sin6C，求角C的度数 例 19（06 年全国卷理 22）设数列na的前n项和为nS，且方程20nnxa xa有一根为1nS，1,2,3,n （）求1a，2a；（）求na的通项公式 试说明的要求数学科的命题在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查注重对数学能力的考查注重展现数学的科学价值和人文价值考试说明理科年数学思想和方法是对数学知识在更高层次的抽象和概括考查时必须要与数性通法淡化特殊技巧有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度考试大纲理科年高考评价报告要求在高考命题时以经常使用的重要数学思维方法常编制解答题给予重点考查而选择题与填空题则鼓励考生积年教育部考试中心高考数学测量理论与实践考试中心对教学与复习的建议数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位如果说数学知识是数学内容可用文字和符号来记录和描述那么数学思想方法则是数学意识只能