坐标系与参数方程不等式选讲中学教育中学学案中学教育中学课件.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 坐标系与参数方程、不等式选讲 教学目的：了解极坐标系，参数方程，基本不等式、柯西不等式和排序不等式.教学重点：极坐标系，参数方程，基本不等式的简单应用.教学难点：基本不等式、柯西不等式和排序不等式的应用.教学方法：点播式 纵观高考：考点统计 题型(频率)考例(难度)考点 1 极坐标 填空(1)2011 湖南卷 9(B)考点 2 参数方程 填空(3)2011 湖南卷 9(B)，2010 湖南卷 3(B)，2012 湖南卷 9(B)考点3 绝对值不等式 填空(1)2012 湖南卷 10(B)考点4 柯西不等式 填空(1)2011 湖南卷 10(B)知识整理：1.坐标系(1)平面

2、直角坐标系中的伸缩变换：设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：x，y 的作用下，点 P(x，y)对应到 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换(2)直角坐标和极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则 xcos，ysin，且 2 x2y2，tan yx(x0)这就是直角坐标和极坐标的互化公式 (3)曲线的极坐标方程的概念：在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(，)0，并且坐标适合 f(，

3、)0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(，)0 就叫做曲线 C 的极坐标方程 2参数方程(1)参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线 C 上任意一点 M 的坐标 x，y都是某个变数 t 的函数 x，y，反过来，对于 t 的每一个允许值，由函数式 x，y所确定的点 M(x，y)都在曲线 C 上，那么方程 x，y叫做曲线 C 的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 是参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程(2)参数方程与普通方程的互化：参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：代入法：利用解方程的技巧求出参数 t，然后代入消去参

4、数；三角法：利用三角恒等式消去参数；精品资料 欢迎下载 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数 化参数方程为普通方程 F(x，y)0 时，在消参过程中注意变量 x，y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定 f(t)和 g(t)值域得到 x，y 的取值范围(3)常见曲线的参数方程：圆 x2y2r2 的参数方程 xrcos，yrsin(为参数)；圆(xx0)2(yy0)2r2 的参数方程 xx0rcos，yy0rsin(为参数)；椭圆x2a2y2b21 的参数方程 xacos，ybsin(为参数)；双曲线x2a2y2b21 的参数方程 xasec，ybtan(为参数)；

5、抛物线 y22px 的参数方程 x2pt2，y2pt(t 为参数)；过定点 P(x0，y0)倾斜角为 的直线的参数方程 xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)3平均不等式 a1a2annna1a2an(a10，a20，an0)4绝对值三角不等式(1)|a|b|a|b|ab|a|b|；(2)|ac|a b|bc|.5绝对值不等式的解法(1)若 a0，|x|a axa xa 或 x0，|axb|c cax bc；|axb|c axb c 或 axbc；(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c的解法有三种：一是根据绝对值的意义结合数轴直观求解；二是用零点分区去绝对值，转化为三个不等式组求解；三

6、是构造函数利用函数图象求解 6证明不等式的基本方法(1)比较法：作差和作商比较；(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论；(3)分析法：执果索因的证明方法；(4)反证法：反设结论，导出矛盾；(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法；(6)数学归纳法：证明与正整数有关的不等式 7柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(ac bd)2(a，b，c，dR)，等号当且仅当 adbc 时成立；等式教学重点极坐标系参数方程基本不等式的简单应用教学难点基本不等式柯西不等式和排序不等式的应用教学方法点播式纵观高考考点统计题型频率考例难度

7、考点极坐标填空湖南卷考点参数方程填空湖南卷湖南卷湖南卷考点绝对标系中的任意一点在变换的作用下点对应到称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换直角坐标和极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点轴的正半轴作为极轴并在两坐标系中取相同的长度单位设是平面内任意一点它的线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程并且坐标适合的点都在曲线上那么方程就叫曲线的极坐标方程参数方程参数方程的概念一般地在平面直角坐标系中如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数反过来对于的每一个允精品资料 欢迎下载(2)柯西不等式的向量形式：，是两个向量，则|，当且仅当 是零向量或存在实数 k，使 k 时，等号成立；(3)一般形

8、式的柯西不等式：(a1b1a2b2anbn)2(a 2 1a2 2a2 n)(b2 1b2 2b2 n)(ai，biR，i1,2，n)，等号当且仅当 a1a2an0 或 bikai 时成立(k 为常数，i1,2，n)典例分析【题型 1】极坐标与曲线的极坐标方程 例题 1：若 M，N 分别是曲线 2cos和 sin 422上的动点，则 M，N 两点间的距离的最小值是_ 解：曲线 2cos化为普通方程为(x1)2y21，sin 422化为普通方程为 xy10，圆心(1,0)到直线 xy10 距离为 d|101|2 2，则 M，N 两点间的距离的最小值是 21.练习 1：在极坐标系中，过圆 6cos

9、的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为_ 解：圆 6cos 化为普通方程为(x3)2y29，圆心为(3,0)，且垂直于极轴的直线的普通方程为 x3，即极坐标方程为 cos3.【题型 2】直线和曲线的参数方程 例题 2：直线 x112t，y3 332t(t 为参数)和圆 x2y216 交于 A，B 两点，则 AB 的中点坐标为_ 解：将直线的参数方程代入圆方程得112t 23 332t 216，得 t28t120，t1t28，t1t224，故中点坐标为 x112 4，y3 332 4 x3，y 3.【题型 3】极坐标与参数方程的综合 例题 3：已知平面直角坐标系 xOy 内，直线 l 的参数方

10、程为 xt，yt2(t 为参数)，以 Ox 为极轴建立极坐标系(取相同的长度单位)，圆 C 的极坐标方程为 2 2sin 4，则直线 l与圆 C 的位置关系是_ 解：直线 l 的方程为 xy20，圆 C 的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.圆心到直线的距离 d|112|12 2r.等式教学重点极坐标系参数方程基本不等式的简单应用教学难点基本不等式柯西不等式和排序不等式的应用教学方法点播式纵观高考考点统计题型频率考例难度考点极坐标填空湖南卷考点参数方程填空湖南卷湖南卷湖南卷考点绝对标系中的任意一点在变换的作用下点对应到称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换直角坐标和极坐标的互化把直角

11、坐标系的原点作为极点轴的正半轴作为极轴并在两坐标系中取相同的长度单位设是平面内任意一点它的线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程并且坐标适合的点都在曲线上那么方程就叫曲线的极坐标方程参数方程参数方程的概念一般地在平面直角坐标系中如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数反过来对于的每一个允精品资料 欢迎下载 变式题在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x145t，y135t(t 为参数)，若以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4，则直线 l被曲线 C 所截的弦长为_ 解：由题知，将直线的参数方程化为普通方程得 3x4y10，将曲线

12、 C 的极坐标方程化为普通方程得 x2y2xy，即x122y12212，则圆心12，12，半径为22，圆心到直线的距离为 d324215110，所以弦长为 l2121100271075.练习 2：已知曲线 C 的极坐标方程为 4cossin2，直线 l 的参数方程为 xtcos，y1tsin(t 为参数，0)(1)化曲线 C 的极坐标方程为直角坐标方程；(2)若直线 l 经过点(1,0)，求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长 解：(1)对于曲线 C：4cossin2，可化为 sin4cossin.把互化公式 xcos，ysin 代入，得 y4xy，即 y24x 为所求(可验证原点(0

13、,0)也在曲线上)(2)根据条件直线 l 经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为 xy1.由 y24x，xy1消去 x 并整理得 y24y40.令 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24，y1y24.所以|AB|11k24y1y2118.练习 3：已知曲线 C 的极坐标方程为 4cos，直线 l 的参数方程是 x 522t，y 522t(t为参数)(1)求曲线 C 的直角坐标方程，直线 l 的普通方程；(2)将曲线 C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移 1 个单位，得到曲线 C1，求曲线 C1 上的点到直线 l 距离的最小值 解：(1)曲线 C 的方程为(x2)2y24，

14、直线 l 的方程是：xy2 50.(2)将曲线 C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移 1 个单位，得到曲线 C1 的方程为 4x2y2等式教学重点极坐标系参数方程基本不等式的简单应用教学难点基本不等式柯西不等式和排序不等式的应用教学方法点播式纵观高考考点统计题型频率考例难度考点极坐标填空湖南卷考点参数方程填空湖南卷湖南卷湖南卷考点绝对标系中的任意一点在变换的作用下点对应到称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换直角坐标和极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点轴的正半轴作为极轴并在两坐标系中取相同的长度单位设是平面内任意一点它的线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程并且坐标适合的点都在

15、曲线上那么方程就叫曲线的极坐标方程参数方程参数方程的概念一般地在平面直角坐标系中如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数反过来对于的每一个允精品资料 欢迎下载 4，设曲线 C1 上的任意点(cos，2sin)，到直线 l 的距离为 d|cos 2sin 2 5|2|2 5 52，故到直线 l 距离的最小值为102.2.【题型 4】绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的应用 例题 4：不等式|x1|x3|0 的解集是_ 解：由题得|x1|x 3|，(x1)2(x 3)2，x1，不等式的解集为x|x1 练习 4：已知|x4|3x|x4|3x|解集为空集，a(|x 4|3x|)min，即 a1.【

16、题型 5】重要不等式在求最值中的应用 例题 5：函数 y5 x1 102x的最大值为_ 解：函数的定义域为1,5，且 y0.y5 x1 2 5x 522x15x 27 46 3.当且仅当 2 x15 5x时，即 x12727时函数取最大值 6 3.练习 5：已知 a，b，c 为正数，且 abc1，则 13a1 13b1 13c1的最大值为_ 解：abc1，由柯西不等式得(13a113b113c1)2(1 13a11 13b11 13c1)2(12 1212)(13a113b113c1)313(abc)348，13a113b113c10，13a113b113c1 484 3，即所求的最大值为 4

17、 3.(注：也可以平方后使用基本不等式)练习 6：已知关于 x 的不等式 2x x1m 对于任意的 x1,2恒成立(1)求 m 的取值范围；(2)在(1)的条件下求函数 f(m)m1的最小值 解：(1)关于 x 的不等式 2x x1(2xx1)max，根据柯西不等式，有(2xx1)2(1 2x1 x1)2(12 12)(2x)2(x1)26.2x x1 6，当且仅当 x12时等号成立，故 m 6.(2)由(1)得 m20，则 f(m)m112(m2)12(m2)12，f(m)3312121232322，当且仅当12(m2)1，即 m322 6时取等号，函数 f(m)m1的最小值为3232 小

18、结：等式教学重点极坐标系参数方程基本不等式的简单应用教学难点基本不等式柯西不等式和排序不等式的应用教学方法点播式纵观高考考点统计题型频率考例难度考点极坐标填空湖南卷考点参数方程填空湖南卷湖南卷湖南卷考点绝对标系中的任意一点在变换的作用下点对应到称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换直角坐标和极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点轴的正半轴作为极轴并在两坐标系中取相同的长度单位设是平面内任意一点它的线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程并且坐标适合的点都在曲线上那么方程就叫曲线的极坐标方程参数方程参数方程的概念一般地在平面直角坐标系中如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数反过来对于

19、的每一个允精品资料 欢迎下载 教后记：等式教学重点极坐标系参数方程基本不等式的简单应用教学难点基本不等式柯西不等式和排序不等式的应用教学方法点播式纵观高考考点统计题型频率考例难度考点极坐标填空湖南卷考点参数方程填空湖南卷湖南卷湖南卷考点绝对标系中的任意一点在变换的作用下点对应到称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换直角坐标和极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点轴的正半轴作为极轴并在两坐标系中取相同的长度单位设是平面内任意一点它的线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程并且坐标适合的点都在曲线上那么方程就叫曲线的极坐标方程参数方程参数方程的概念一般地在平面直角坐标系中如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数反过来对于的每一个允