一元二次方程学习要点中学教育初中教育中学教育初中教育.pdf

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1、精品资料 欢迎下载“一元二次方程”学习要点 一、本章知识结构 1、知识结构梳理 2、定理公式总结(1)一元二次方程的一般形式为 ax2+bx+c=0(a0)(2)一 元 二 次 方 程ax2+bx+c=0(a 0)的 求 根 公 式：).04(2422acbaacbbx(3)一元二次方程的根的判别式：=b2-4ac。*原载于教材全程全解同步精讲精练(初三代数全一册)，中国少年儿童出版社,2004 年 5 月。实际问题 直接开方法 一元二次方程的定义 一元二次方程 可化为一元二次方程的分式方程及应用 二元二次方程 可化为一元二次方程的方程 一元二次方程的 解法 一元二次方程的应用 配 方 法 公

2、 式 法 因式分解法 根的判别式 二次三项式的 因式分解 列方程解应用题 根与系数的关系 精品资料 欢迎下载(4)一元二次方程的根的判别式定理：0方程有两个不相等的实数根；0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根；0方程有两个实数根。(5)一元二次方程根与系数的关系定理：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根是 x1，x2，那么 x1+x2=.,21acxxab 推论 1：如果方程 x2+px+q=0 的两个实数根是 x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q.推论 2：以 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是：x2-(x1+x2)x+x1x2=0(6)

3、二次三项式因式分解公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。其中x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根。(7)求一元二次方程两根 x1，x2的对称式的值，常用公式：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 二、数学规律总结 1、我们已学过的方程和方程组有整式方程（一元一次方程，一元二次方程）、分式方程，二元一次方程组，二元二次方程组，它们都属于代数方程中的有理方程。在我们学过的方程中，一元一次方程和一元二次方程是解方程（组）的最基本的知识和技能。熟练地解一元一次方程和一元二次方程是解代数方程（组）的关键和前提

4、，因此，我们必须将这部分知识扎实地学好。2、本章介绍了一元二次方程的四种解法直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。其中公式法对于任何一个一元二的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到

5、集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 次方程都适用，是解一元二次方程的通法，掌握用公式法求一元二次方程根的方法，关键是要正确理解公式的具体推导过程（即配方法），充分认识该知识的产生过程和来龙去脉，然后要牢固记住公式的形式、结构和内涵，用公式求方程的根时，就是运用二次根式的有关知识求两个二次根式的值。但是，在解一元二次方程时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法，以使解题过程简便。一般地，一元二次方程解法的选择顺序是：先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑

6、公式法，配方法是推导求根公式的工具，掌握公式法之后，就可以直接用公式法解一元二次方程了。因此，解一元二次方程一般不用配方法（除题目中要求用配方法解方程外），但配方法除了用于推导一元二次方程的求根公式以外，在学习其他数学内容时，也有广泛的应用，因此配方法是一种很重要的数学方法，我们一定要正确理解配方的意图，掌握配方的方法，把这部分知识学好学活。3、二次三项式 ax2+bx+c 在实数范围能够分解的条件 b2-4ac 0 4、一元二次方程 ax2+bx+c=0 有实根的条件b2-4ac 0 三、思想方法总结 1、转化思想 在本章中，“转化”思想象一条红线贯穿于始终。解一元二次方程需转化为一元一次方

7、程；解分式方程需转化为整式方程；解二元二次方程组需转化为二元一次方程组或一元二次方程。在实数范围内二次三项式的因式分解，需将之转化成解对应的一元二次方程的问题来解决，此外方程中字母系数的确定也是通过转化为解方程问题而解决的。具体转化过程及转化方法如下图所示：的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实

8、现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 因式分解 降次 去分母 整式化 代入法 消元 因式分解 降次 转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在解数学题时，常常运用转化思想，将复杂问题转化成简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题。2、方程思想 在解数学计算时，往往通过已知和未知的联系，建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未

9、知量的数值，从而使问题得以解决，这种通过列方程沟通已知和未知联系的数学思想，通常称为方程思想。方程思想在本章主要体现在列方程(组)解应用题、利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数(字母系数)、二次三项式的因式分解、利用根与系数关系解形如bxyayx的“”型方程组等。3、公式化与分类讨论的思想 在数学中，对那些有规律可循“成型的”数学问题，我们总 整式方程 一元一次方程 整式方程 一元二次方程“III”型“IIII”型 二元二次方程组 的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会

10、营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 希望找到一个公式，在解题时，只要把已知数代进去，就可以求出问题的结果(结论)，从而达到准确、高速解决该“模块”的目的。如圆面积公

11、式，梯形面积公式，由时间和速度求距离的公式 S=Vt 等等，在这个思想指导下，我们通过配方，求出了一元二次方程的求根公式 x=aacbb242。可是，在我们的公式中，有一个二次根式，它的被开方数为=b2-4ac，当0 时，根式有意义，公式才能成立，才能应用；那么，当0 时，公式就不能用了。这时，说明什么问题？方程 ax2+bx+c=0(a0)没有根吗？不能这样说，因为公式的推导过程已经表明，只有在0 时，才能得到求根公式，也就是说，只有0 时，才可用求根公式法解一元二次方程，求出实数根。若0 时，不能用公式求实数根，也许可以用别的方法求出来。这就提出了一个问题：能否在不解方程的情况下，判断方程

12、是否有实数根？通过仔细分析配方过程，终于弄清了“”对判别一元二次方程实数根的作用：对于方程 ax2+bx+c=0(a0)来说，记=b2-4ac，那么：(1)若0，则方程有不相等的实数根；(2)若=0，则方程有两个相等的实数根；(3)若0，则方程没有实数根。反之亦然 由于0，=0，0，是对值的完全的分类，它同方程有不等实根，有相等实根和没有实根(也是对方程根的情况是完全分类)三种情况一一对应，这就为分类讨论打下了基础。此外，我们在遇有含有字母的方程时，我们要对字母系数分情况进行讨论，再根据各情形的知识进行研究探索、求解等等。(前面已举例)的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬

13、业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 分类讨论是数学中重要的思想方法，

14、我们一定要注意体会该思想方法，积累自己的数学素养。本章所应用的数学方法主要有：代入消元法；因式分解降次法；换元法；配方法。代入消元法和分解降次法主要体现在解二元二次方程组；换元法主要体现在解可化为一元二次方程的分式方程和二次三项式的因式分解；配方法主要体现在利用配方法解一元二次方程、一元二次方程的求根公式的推导、一元二次方程根的判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用等。四、解题方法指导 1、观察与分析的思维方法“观察”和“分析”是解数学题中广泛使用的基本思维方式，无论是解一元二次方程，分式方程及二元二次方程组，都离不开深入地观察和分析。(1)解一元二次方程的观察和分析 解形如(x-m)

15、2=n(n0)的方程，应选用直接开平方法，先根据平方根意义得 x-m=n，再移项，得方程的根为 x1=m+n,x2=m-n.解形如(x-m)(x-n)=0 的方程，可根据“几个因式的积为零，那么这几个因式中至少有一个因式为零”的情况，则可能化为x+m=0 或 x-n=0得到方程的根为 x1=m,x2=n。除了上述两种形式的非一般式的一元二次方程，一般应先化成一般形式 ax2+bx+c=0(a0)后再解，对于容易分解的，用因式分解法解，对于不易因式分解的，再用公式法解。例如 选用适当的方法解下列方程 的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教

16、育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载(x+2)2=4,3(x+1)(2-x)=0,3x(x-32)=1,2x

17、2+3x(1-x)+2=0.分析：通过对提供的方程进行观察和分析易得到下述结论：用直接开平方法较简单；是两个因式的积为 0，可直接写出x1=-1,x2=2；将之化为一般形式为 3x2-2x-1=0，则可用因式分解法解较简单；化为一般形式为 x2-3x-2=0，因不易分解、故可用公式法解较合适。(2)解分式方程的观察与分析“转化”是解分式方程以及高次方程等比较复杂的方程基本思想。那么，如何实现转化呢？这就要求我们根据提供的分式方程的式结构进行观察和分析，寻求出比较恰当的求解方法。将分式方程转化为整式方程的方法是“去分母法”，实施这一方法的操作流程是将原方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。但是，经

18、过转化后的方程有时会是一个高次方程，到目前为止，我们还没有找到解高次方程的一般方法，因此，可根据分式方程的“式结构”特征，选用特殊的解法换元法。在使用换元法解分式方程时，要注意有些方程换元的特征比较明显，有些却不明显，需要做适当的变形，方可显露出换元的特征，如下列方程：;021)1(2xxxx ;21122xxxx;4389322xxxx 2(x2+21x)-9(x+x1)+14=0 分析：上述方程中，和具备直接换元的条件，其中设y=1xx可转化为 y2-y-2=0；设 y=12xx，可转化为 y+21y；要将方程中 3x2+9x 转化为 3(x2+3x)，设 y=x2+3x，则原方的事业了这

19、就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品

20、资料 欢迎下载 程可变为 3y-48y；要注意把握 x2+21x与 x+x1的关系，若设y=x+x1，则 y2=x2+212x，x2+2122yx，则原方程变为：2(y2-2)+y+14=0.(3)解二元二次方程组的观察与分析 我们所学习的二元二次方程组可分为两种类型：第一类型即“”型，指的是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，这类方程组的一般解法是“代入消元法”，第二类型即“”型，指的是由两个二元二次方程组成的方程组，这类方程组的一般解法是“分解降次法”，通过分解降次，可将第二类型转化为第一类型，再用代入消元法来解。因此，我们在解二元二次方程组时，一定要认真观察和分析方程组中每

21、个方程的类型和特征，采用“对症下药”的解题策略，寻求最适宜的求解方法。例如下列方程组：;01126,0122yxxyx ;03,04322yxyxyx;94129,422222yxyxyxyx .033,02222xxyxyxyxyx 分析：属“”自然用代入消元法来解；属“”则可用代入消元法来解，但是中的第 1 个方程可进行因式分解，则又可用“分解降次”法来解(要注意“”型有时也可用“分解降次”法来求解；属“”型，则可用“分解降次”，当然也可用两边开平方法将之“裂变”为四个二元一次方程组来解；属“”型，但只有第一个方程能用因式分解，则只可用“分解降次”法，将之“裂变”为两个“”来解。2、分析与

22、构造的思维方法 的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动

23、的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 对于形如bxyayx,的方程组，可用“韦达定理法”来解，即把 x、y 看作一元二次方程 z2-az+b=0的两个根，解这个一元二次方程就可求得方程组的解。其策略是根据“式结构”巧妙地构造出一个一元二次方程，然后通过解这个一元二次方程的方法达到解方程组的目的。利用韦达定理解某些具有上述特殊形式的二元二次方程组，能够使问题化难为易，化繁为简，观察下列方程组：;12,7xyyx ;18,11xyyx ;169,1722yxyx .2,522xyyx 这些方程组都可以用韦达定理法求解，有的可直接构造方程，有的需要做适当的变形后，再构造出一元二次方程。如，方程组

24、可直接构造以 x、y 为根的一元二次方程z2-7z+12=0；方程组先变形为 .18)(,11)(yxyx 然后构造出以x 和-y 为根的一元二次方程 z2-11z+18=0；方程组，先变形为60,17xyyx再构造以 x、y 为根的方程 z2-17z+60=0；方程组，先变形为.4,52222yxyx 再构造以 x2、y2 为根的方程 z2-5z+4=0,或者变形为;2,3xyyx或.2,3xyyx然后分别构造以 x、y 为根的方程 z2-3z+2=0.或 z2+3z+2=0.的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集

25、体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 3、分析与综合的思维方法“分析”和“综合”是两种基本的思维方法，在数学中有着特别重要的作用

26、。“分析”就是把事物的整体分解成若干个组成部分，并对各个部分分别进行考察；“综合”就是把事物的各个部分联结成一个整体，并从整体上加以研究，“先分析后综合”这是人们认识事物的一条基本途径，也是解数学题的一种常用的手段。数学综合题，可以看成是由几个互联相关的“小题目”组成的一个“大题目”。解数学综合题时，应当先对综合题进行“分析”把它分解成几个互相关联的“小题目”，并逐一解答这些“小题目”，再把“分析”所得的结果“综合”起来，从而求得综合题的 答 案。例 如：(2003 济 南 中 考)已 知 方 程 组2011,02yxayx 的两个解为.,;,2221yyxxxxxx且 x1,x2是两个不相等

27、的正数。求a的取值范围;(2)若x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11，求 a 的值。分析：这是一道既涉及到方程组，又涉及到一元二次方程根的判别式，根与系数关系的综合题，它可以分解成如下 3 个“小题目”：方程组可转化为一个什么样的一元二次方程？若 x1，x2为转化成的一元二次方程的两根，且 x1x2，求待定参数 a 的范围；若 x1，x2为 转 化 为 一 元 二 次 方 程 的 两 根，且 x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11，求待定参数 a 的值。从上例可以看出，解数学综合题的过程，通常也是一个“先分析后综合”的过程。的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度

28、爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 五、综合题例分析 例1 (

29、2003 北京市中考题)已知：关于x 的方程x2-2mx+3m=0的两个实数根是 x1,x2,且(x1-x2)2=16,如果关于 x 的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在 x1和 x2之间，求 m 的值。分析：首先根据 x2-2mx+3m=0 的两根 x1，x2满足(x1-x2)2=16的条件，将参数 m 的值求出,然后根据 m 的值，将两方程的根分别求出来，最后作出判断。解 x1，x2是方程 x2-2mx+3m=0 的两个实数根，x1+x2=2m，x1x2=3m(x1-x2)2=16 (x1+x2)2-4x1x2=16 4m2-12m=16解得 m1=-1,m2=4 当 m

30、=-1时，方程 x2-2mx+3m=0 为 x2+2x-3=0，则 x1=-3，x2=1，方程 x2-2mx+6m-9=0为 x2+2x-15=0，则 x1=-5,x2=3-5，3 不在-3和 1 之间 m=-1不合题意，舍去。当 m=4 时，方程 x2-2mx+3m=0 为 x2-8x+12=0 则 x1=2，x2=6 方程 x2-2mx+6m-9=0为 x2-8x+15=0 则 x1=3 x2=5 2356 即 x1x1 x2 x2 m=4 满足题意 综合(1)和(2)，m=4 评注 本题事实上就是根据题中给出的一个条件，运用根与系数的关系，求参数值的问题，不过本题已将该题型拓展延伸为判断

31、两个方程根的大小范围问题了。因此，我们在审题中，一定要有“慧眼识真金”的本领，善于将提供的“新”问题，通过 的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益

32、去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 分析、类比、综合等思维方式，转化到我们已经会解决的“老”问题上来。例 2 已知关于 x 的方程 x2-(2k+1)x+4(k-21)=0 （1）求证：无论 k 取什么实数时，这个方程总有两个实数根；（2）若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4，另外两边的长 b、c恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长。分析 （1）要证一个一元二次方程有两个实根，只需要证明判别式0 即可；（2）有关等腰三角形问题，若未指明腰和底边时，要进行讨论，因此，本题对 a 是等腰三角形的

33、底边还是等腰三角形的一腰要进行分类讨论。解 （1）=-(2k+1)2-44(k-21)=(2k-3)2 不论 k 取何值时，(2k-3)20，即0。不论 k 取何值时，这个方程有两个实数根 当 a 是等腰三角形底边时，这时 b、c 即为等腰三角形两腰，则 b=c 方程有两个相等的实数根。则=(2k-3)2=0 k=23 原方程即为 x2-4x+4=0.b=c=2 当 b=c=2 时，b+c=2+2=4=a 这与“三角形中两边之和大于第三边”相矛盾，故 a 不可能是此等腰三角形的底边 当 a 是等腰三角形的腰时，这时，b、c 中至少有一个值为4，把 x=4 代入原方程中，16-4(2k+1)+4

34、(k-21)=0 k=25，则原方程为 x2-6x+8=0 两根为 x1=2，x2=4，即 b、c 两边一边为 2，另 的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体

35、为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 一边为 4，符合三角形三边之周关系，这时ABC的周长为a+b+c=4+(2+4)=10 评注 要判断二次三项式的值的正负性，通常采用配方法，利用完全平方式的非负性来确定。由于本题中的 a、b、c 的值是三角形三边的长，必须满面足“两边之和大于第三边”否则就不能构成三角形的三边。在遇有等腰三角形的问题时，若未指明谁是腰，谁是底边时，一般要用分类讨论法解决问题。例 3 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2px-p2-1=0的两个实数根为 x1，x2.若

36、此方程的两根之和不大于两根之积，求 p 的值。若 p=-1，求 x13+2x22+2x2的值。分析 利用根与系数关系建立关于 p 的不等式，由完全平方式的非负性，求出 p 的值。注意，最后一定要注意判别式的值为非负数。首先利用根的定义，对 x13进行降次处理，把所求代数式转化成关于两根对称式的代数式，再利用根与系数的关系求出值来。解 x1，x2为方程两根 x1+x2=-2p x1x2=-p2-1 据题意，得 x1+x2x1x2 即-2p-p2-1 p2-2p+10(p-1)20，则 p=1 当 p=1 时，原方程为 x2+2x-2=0 =120 的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的

37、高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 所求 p 的值为 1.

38、当 p=-1时，方程 x2+2px-p2-1=0。为 x2-2x-2=0，x1、x2为方程两负数根。由方程根的意义有：x12-2x1-2=0 即 x12=2x1+2 由根与系数关系有：x1+x2=2,x1x2=-2 则 x13+2x22+2x2=x1x12+2x22+2x2=x1(2x1+2)+2x22+2x2=2x21+2x1+2x22+2x2=2(x12+x22+x1+x2)=2(x1+x2)2-2x1x2+(x1+x2)=2(4+4+2)=20 评注 求关于一元二次方程的两根的代数式的值，如果代数式是关于两根的对称式，先把这个代数式通过变形化成两根之和及两根之积的形式，再把由根与系数的关

39、系所得的两根之和及两根之积的值代入即可；如果代数式不是两根的对称式，则由根的定义，通过对其中的次数为二次或二次以上的根用代入法进行降次，直到化为两根的对称式为止。一句话，就是用根的定义，将非轮换对称式转化成换对称式来解决，这也体现了“转化与化解”的数学思想方法。例 4 已知 a、b、c 是ABC 的三边，a、b 的值是方程x2-(4+c)x+4c+8=0 的两个实根，且满足 25asinA=9c(1)求证ABC 是直角三角形；的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱

40、者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载(2)求 a、b、c 三边的长。分析 (1)题中只给出了 a、b 的长是已知方程的两根。因此，根据根与系数的关系，通过探求出三角形三边 a、b、c

41、 的关系，故可运用勾股定理的逆定理来证明ABC 为直角三角形。(2)在(1)已证明了ABC 为直角三角形的前提下，则 SinA 只可以用三角函数来表示边间的关系，根据边间关系及根与系数的关系，可求出 a、b、c 的值。解 (1)a、b 是方程 x2-(4+c)x+4c+8=0 的两根 a+b=4+c ab=4C+8 a2+b2=(a+b)2-2ab=(4+c)2-2(4c+8)=c2 即 a2+b2=c2 ABC 为直角三角形(2)25aSinA=9c 且 SinA=ca 25aca=9c，ca=53 设 a=3k c=5k，则 b=kkkac49252222 将 a=3k，b=4k，c=5k

42、 代入 a+b=4+ck 3k+4k=4+5k k=2 a=6，b=8，c=10。评注 (1)确定一个三角形为直角三角形一般从边和角这两个方面去判断，本题由于没有提供角的关系，虽然提供了三角函数，但三角函数关系式也只能在直角三角形中使用(本题本身就是要我们证明此三角形为直角三角形)，故本题若选择从角的方面来判断该三角形是行不通的，而本题已知边与方程根的关系，若运用根与系数的关系式，故可从边的角度来判断该三角形为直角三的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者

43、黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 角形。(2)在直角三角形中，要注意用三角函数把问题转化成纯边(或纯角)的关系式来解决问题，本题(2)要求的是三角形的三边，则我们可以通过三角函数的关系式，

44、将问题转化纯边来解决。在解题过程中，遇有边边之比的问题，则可引进比例系数k 这个参 数，要求三边，则即求比例系数 k。例5 若 a、b 是实数，关于 x 的方程|x2+ax+b|=2 有三个不相等的实根。(1)求证：a2-4b-8=0(2)若该方程三个不相等实根恰好为一个三角形内角的度数，求证该三角形必有一内角是 60。(3)若该方程三个根恰为一直角三角形三边，求 a、b。分析 (1)由绝对值概念可得两个一元二次方程，有三个不相等的实数根，说明得到的两个方程中其中有一个方程有两个相等的实数根，或得到的两个方程中，必有一个公共的实根。(2)由三角形内角之和为 180和根与系数的关系可求得必有一根

45、为 60。(3)先判断出直角三角形的斜边是第哪一个方程的根，再由勾股定理建立方程来求解。解 (1)证明：|x2+ax+b|=2 x2+ax+b-2=0 x2+ax+b+2=0 显然方程和不可能有一公根，则方程和必有一个方的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感

46、以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 程有两个相等的实数根。1=a2-4b+8 2=a2-4b-8 12 2=0 即 a2-4b-8=0(2)设方程的两根为 x 1，x2，则 x 1+x2=-a，x 1x2=b-2 设方程的两根为 x3，x3则 x3+x3=-a x3=-a21 x1+x2+x3=180 -a+(-2a)=180 即 x3=60 这个三角形中必有一个内角为 60(3)x1+

47、x2=2x3=-a 方程的两根中有一根为直角三角形的斜边,设其为x1.根据题意，得 x12-x22=x32，(x1+x2)(x1-x2)=x32，4(x1+x2)=-a，16(a2-4b+8)=a2，084)84(16222baaba 解得.62,16ba .62,16ba x3=-2a0 a0 则 a=-16 ，b=62 评注 (1)本题是一道综合性技巧性较强的综合题，解决之要用到绝对值，根的判别式定理，根与系数的关系，三角形的内角和，勾股定理，转化的思想，方程的思想及变换命题等数学知识。题中还多处运用了变换技巧，我们要从中吸取精华，拓展自的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度

48、爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环境的一种呈现形式也就是建设班集体的一种手段召开主习题班会是实现班级教育目的培养学生集体荣誉感责任感以及创新精神和独立工作能稳固和前进没有活动班集体就会死气沉沉学生就感觉不到集体的存在也就不会关心集体为集体的利益去奋斗因此班集体的活动必须经常开展而活动的方式之一就是开展主习题班会主习题班会就是班集体活动的基本形式文章来源网络精品资料 欢迎下载 已的解题思路，提高自已的解

49、题能力。(2)本题中的两个字母 a、b 并不是三角形的边，这一点在解题中要牢牢记住。例 6 (1998 年江苏省徐州市中考题)一辆三轮摩托车在一条笔直的道路上行驶，车上一位运动员每隔一定时间开枪射靶一次，道路中间站着一位裁判，当摩托车向他驶来时，听见每两次相邻射击相隔 5.7s，而当摩托车驶过他身边以后，听见每两次相邻射击相隔 6.3s，如果声速为 350m/s，那么车上运动员每隔几秒射击一次？摩托车的速度是多少米每秒？分析 这是一道行程问题，问题涉及到行程的两个方面，一是摩托车向裁判员驶来时，时间的变化关系；二是摩托车驶过裁判员身后，相邻两次射击声音的变化关系，搞清了这两个关系，解决本题就不

50、是难事了。解 设运动员每隔 xs 射击一次，摩托车的速度是 ym/s，依题意得.3.6350,7.5350 xyxxyx+得 2x=12，x=6.把 x=6 代入得 y=17.5，.5.17,6yx 答：车上运动员每隔 6s 射击一次，摩托车的速度是17.5m/s.评注 此为实际应用型的二元二次方程组，难点在理解题意的事业了这就把班主任的教育工作推到了一个相当高的高度爱岗敬业是基本要求更重要的是如何更好的开展教育工作使学生在这个集体中不仅要成材还要先成人利用主习题班会营造班级气氛近朱者赤近墨者黑环境对一个人的成长起体的环境包括两类一类是物环境即教室设施板报等另一类是精神环境主习题班会就是精神环