一元二次方程复习辅导中学教育中考中学教育中考.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 一、一元二次方程及解法 1一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的方程叫做一元二次方程。一般形式：ax2+bx+c=0 (a0)2一元二次方程的解法：（把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程进行求解。）、直接开平方法 例题：92x25=0 422x (2x+1)2 9 结论：以下形式可以用直接开平方法 2xp（p0）直接开平方得：x p x1 x2 (mx+n)2 p（p0）直接开平方得：mx+n p x1 x2 练习：用直接开平方法解方程 22x9=0 (3x+1)2 4 、配方法：通过配成完全平方形式来解一元

2、二次方程的方法 例题：x2+16x-16=0 3x2-6x+1=0 基本方法：移项；二次项系数化为 1；配方；开方。练习：用配方法解下列方程 2x6x7=0 2x3x1=0 、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使两个一次式分别等于 0 例题：42x1=0 x(x-2)+(x-2)0 2x6x7=0 练习：用因式分解法解下列方程：3x(2x+1)4x+2 2x3x18=0 精品资料 欢迎下载、公式法 aacbbx242 一元二次方程的判别式，acb42 当0时，方程有两个不等的实根。aacbbx2421 aacbbx2422 当0时，方程有两个相等的实根。解集ab

3、xx221 当0时，方程没有实数根。例题：x26x+1=0 4x23x1=x2 练习：用公式法解下列方程：x2+x 6=0 x2+4x+8=5x+11 归纳总结：面对一个一元二次方程，观察到不方便用因式分解法时，就直接用公式法。一般情况下不用配方法。巩固练习 解下列一元二次方程(选择合理的方法)（1）xx432 （2）0)1(3)1(2xxx（3）072)3(2x （4）02232xx （5）22)12()3(xx （6）14)3)(23(xxx 3 x（x-2）+2（x-2）=0 （8）（x+1）（x+2）=2x+4（9）x2-9x+18=0 最高次数是这样的方程叫做一元二次方程一般形式一元

4、二次方程的解法把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次方程进行求解直接开平方法例题结论以下形式可以用直接开平方法直接开平方得直接开平方得练习用直接开平方法配方法解下列方程因式分解法将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于的形式再使两个一次式分别等于例题练习用因式分解法解下列方程精品资料欢迎下载公式法一元二次方程的判别式当时方程有两个不等的实根当时方程有两个用因式分解法时就直接用公式法一般情况下不用配方法巩固练习解下列一元二次方程选择合理的方法精品资料欢迎下载拓展训练填空题方程的二次项系数是一次项系数是常数项是关于的方程是一元二次方程的条件是如果关于的方程精品资料 欢迎下载 拓展训练、填空题：1、

5、方程（x4）2=3x+12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。2、关于 x 的方程（a2）x2+ax+5=0是一元二次方程的条件是 。3、如果关于 x 的方程 mx2+（m 1）x+5=0有一个解为 2，则 m的值是 。4、已知关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根为 1 和1，则 a+b+c=，ab+c=。5、方程 3（x+7）=x（x+7）的解为 。6、x24x+=（x ）2 7、已知一元二次方程 ax2+4x+2=0 且 b24ac=0，则 a=，x=。8、若关于 x 的的一元二次方程 x23x+m=0有实数根，则 m的取值范围是 。、选择题：1、下列方程中，不是

6、一元二次方程的是（）A、01232 xx B、531212x C、011.02 xx D、)2)(1(2xxxx 2、解方程（x+5）23（x+5）=0，较简便的解法是（）A、直接开平方法 B、因式分解法 C、配方法 D、公式法 3、方程 x23x+2m=0 有实根，则 m 的取值范围是（）A m41 B m41 C m41 D m41 4、方程02nmxx中一根为 0，另一根不为 0，则 m、n 应满足（）A m=0,n=0 B m=0,n0 C m0,n=0 D m0,n0 、解答题：1、已知关于 x 的方程（m21）x2+（m+1）x+1=0 （1）当 m为何值时，此方程为一元二次方程？

7、（2）当 m 为何值时，此方程为一元一次方程？2、已知 x=2 是方程 x2mx+2=0 的一个根，试化简226912mmmm。最高次数是这样的方程叫做一元二次方程一般形式一元二次方程的解法把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次方程进行求解直接开平方法例题结论以下形式可以用直接开平方法直接开平方得直接开平方得练习用直接开平方法配方法解下列方程因式分解法将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于的形式再使两个一次式分别等于例题练习用因式分解法解下列方程精品资料欢迎下载公式法一元二次方程的判别式当时方程有两个不等的实根当时方程有两个用因式分解法时就直接用公式法一般情况下不用配方法巩固练习解下列一元二

8、次方程选择合理的方法精品资料欢迎下载拓展训练填空题方程的二次项系数是一次项系数是常数项是关于的方程是一元二次方程的条件是如果关于的方程精品资料 欢迎下载 3、试证明关于 x 的方程（m28m+17）x2+2m+1=0，不论 m为何值，该方程都是一元二次方程。一个三角形的边长是 3 和 7，第三边长是整数 a，且 a 满足 a210a+21=0，求三角形的周长。4、已知关于 x 的方程 x2(k+2)x+2k=0，试说明：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根。二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一、违达定理 二、违达定理基础巩固 求下列方程两根的和与积（设两根分别为 x1、x2）x2-6

9、x-15=0 5x2+x-5=0 2x2-5=6x+9 三、违达定理拓展训练 选择题 1若1x，2x是一元二次方程0132xx的两个根，则2111xx的值是（）A2 B1 C1 D3 2若 x1，x2是一元二次方程 2x2-3x+1=0的两个根，则 x12+x22 的值是()A45 B49 C411 D7 3下列说法中不正确的是 ()A方程 x2+2x-7=0的两实数根之和为2 B方程 x2-3x-5=0 的两实数根之积为-5 C方程 x2-2x-7=0 的两实数根的平方和为 18 D.方程 x2-3x-5=0 的两实数根的倒数和为53 4已知关于 x 的方程 5x2+kx-6=0的一个根为

10、2，设方程的另一个根为 x1，则有（）Ax1=53，k=-7 Bx1=-53，k=-7 Cx1=-53，k=7 Dx1=53，k=7 填空题 1已知一元二次方程01322 xx的两根为1x、2x，则21xx 2如果1x，2x是方程0652 xx的两个根，那么21xx 3设 x1、x2是方程 2x2+4x-3=0的两个根，则(x1+1)(x2+1)=4若方程03422 xx的两根为 a、，则222aa 5请写出一个二次项系数为 1，两实根之和为 3 的一元二次程：解答题 1已知关于 x 的二次方程 x2+mx-1=0的一个根是12，求另一个根及 m 的值 2已知关于 x 的方程 x2（k+1）x

11、+k+2=0 的两个实数根的平方和等于 6，求 k 的值 已知一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)两根分别为 x1、x2 则：x1+x2=-ba x1 x2=ca 最高次数是这样的方程叫做一元二次方程一般形式一元二次方程的解法把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次方程进行求解直接开平方法例题结论以下形式可以用直接开平方法直接开平方得直接开平方得练习用直接开平方法配方法解下列方程因式分解法将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于的形式再使两个一次式分别等于例题练习用因式分解法解下列方程精品资料欢迎下载公式法一元二次方程的判别式当时方程有两个不等的实根当时方程有两个用因式分解法时就直接用公

12、式法一般情况下不用配方法巩固练习解下列一元二次方程选择合理的方法精品资料欢迎下载拓展训练填空题方程的二次项系数是一次项系数是常数项是关于的方程是一元二次方程的条件是如果关于的方程精品资料 欢迎下载 三、一元二次方程的实际应用 1、个体户张某原计划按 600 元/套销售一批西服，但上市后销售不佳。为了减少库存积压，张某将这批西服连续两次降价处理，价格调整到了 384 元/套，如两次降价折扣相同，求每次降价率为多少？两次打折均打多少折？答案：降价率是 20%，都打八折 2、已知连续两个奇数之积是 143，求这两个奇数。答案：设 x,x+2.两个奇数是 11 和 13,或-13 与-11 3、学校课

13、外生物小组的试验园地是长 18 米、宽 12 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为196 平方米，求小道的宽 最高次数是这样的方程叫做一元二次方程一般形式一元二次方程的解法把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次方程进行求解直接开平方法例题结论以下形式可以用直接开平方法直接开平方得直接开平方得练习用直接开平方法配方法解下列方程因式分解法将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于的形式再使两个一次式分别等于例题练习用因式分解法解下列方程精品资料欢迎下载公式法一元二次方程的判别式当时方程有两个不等的实根当时方程有两个用因式分解法时就直接用公式法一般情况下不

14、用配方法巩固练习解下列一元二次方程选择合理的方法精品资料欢迎下载拓展训练填空题方程的二次项系数是一次项系数是常数项是关于的方程是一元二次方程的条件是如果关于的方程精品资料 欢迎下载 答案：0.5m 4、把一个长方形铁片的四角剪去四块边长为 5 的正方形，组成一个无盖的长方体，长方体的体积是 3000 3，铁片长和宽的长度之比为 4：3，求这块铁片的长和宽各是多少？答案：40 30 5、将一条长为 20 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。要使这两个正方形的面积之和等于 17 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？答案：16 4 能力训练：填空题：1、若从一块正方形的

15、铁板上的一侧裁去一块 3m宽的长方形铁板，剩下的面积为 40m2，则原来的这块 铁板的面积为 64 。2、如图 是一张长 9cm、宽 5cm 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是 12cm 的无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为 x cm，则可列出关于 x 的方程为 (9-2x)(5-2x)=12 。、选择题：1、某超市一月份的营业额 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 1000 万元，如果平均每月增长率为 x，则由题意列方程为（D ）A、200（1+x）2=1000 B、200+200 2x=1 C、200+200 3x=1000 D、200 1+（1+x）+

16、（1+x）2=1000 2、某商品连续两次降价 10%，结果价格为 m元，则该商品原价为（C）A、21.1m元 B、1.21 元 C、81.0m元 D、0.81 元 3、在一幅长为 80cm，宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图。如果要使整个挂图的面积是 5400cm，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（B）A.x2+130 x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130 x-1400=0 D.x2-65x-350=0 4、有一个面积为 16cm2的梯形，它的一条底边长为 3cm，另一底边长比它的高线长 1cm，若设这条

17、底边的长为 x cm，依题意，列出方程整理得（A）A.x2+2x-35=0 B.x2+2x-70=0 C.x2-2x-35=0 D.x2-2x+70=0 最高次数是这样的方程叫做一元二次方程一般形式一元二次方程的解法把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次方程进行求解直接开平方法例题结论以下形式可以用直接开平方法直接开平方得直接开平方得练习用直接开平方法配方法解下列方程因式分解法将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于的形式再使两个一次式分别等于例题练习用因式分解法解下列方程精品资料欢迎下载公式法一元二次方程的判别式当时方程有两个不等的实根当时方程有两个用因式分解法时就直接用公式法一般情况下不用

18、配方法巩固练习解下列一元二次方程选择合理的方法精品资料欢迎下载拓展训练填空题方程的二次项系数是一次项系数是常数项是关于的方程是一元二次方程的条件是如果关于的方程精品资料 欢迎下载 5、如图 3，在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地若耕地面积需要 551 米2，则修建的路宽应为（A）A1 米 B1.5 米 C2 米 D2.5 米 6、借助一面墙为一边，再用 13 米长的篱笆围成一个面积为 20 平方米的长方形场地，求长方形场地的长和宽。设长为x米，依题意，列出方程（C）Ax（13-x）=20 B.x（13-0.5 x）=20 C x13-x2 =20

19、 Dx13-x2x =20 7、如图，矩形 ABCD 的周长是 20 cm，以 AB、AD为边向外作正方形 ABEF和正方形 ADGH，若正方形 ABEF和 ADGH 的面积之和为 68 cm2，那么矩形 ABCD 的面积是（B）A21 cm2 B16 cm2 C24 cm2 D9 cm2 8、上海世博会的某纪念品原价 168 元，连续两次降价 a%后售价为 128 元，下面所列方程中正确的是（B）A.168(1a%)2128 B.168(1a%)2 128 C.168(1 2a%)128 D.168(1a2%)128 9、近年来，全国房价不断上涨，某县 2010 年 4 月份的房价平均每平方

20、米为 3600 元，比 2008 年同期的房价平均每平方米上涨了 2000 元，假设这两年该县房价的平均增长率均为 x，则关于 x 的方程为（D）A(1+x)2=2000 B2000(1+x)2=3600 C(3600-2000)(1+x)2=3600 D(3600-2000)(1+x)2=3600 、解答题：1、在矩形场地的中央修建一个正方形花坛，花坛四周的面积与花坛面积相等，如果场地的长比花坛的边长多 6m，场地的宽比花坛的边长多 4m，求矩形场地的长和宽。答案：设正方形边长为 X，则长方形的长为 6+X，宽为 4+X（6+X）（4+X）=2X2 X=12 长和宽分别为 18 米和 16

21、米 2、某工厂计划 2 年后使产值翻一番，求平均每年的增长率。（精确到 0.01）答案：0.41 3、益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（350-10a)件，但物品局限定每件商品的利润不得超过 20%，但商店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品定价多少？答案：(a-21)(350-10a)=400 100 件，每件商品的售价应为 25 元 最高次数是这样的方程叫做一元二次方程一般形式一元二次方程的解法把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次方程进行求解直接开平方法例题结论以下形式可以用直接开平方法直接开平方得直接开平方

22、得练习用直接开平方法配方法解下列方程因式分解法将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于的形式再使两个一次式分别等于例题练习用因式分解法解下列方程精品资料欢迎下载公式法一元二次方程的判别式当时方程有两个不等的实根当时方程有两个用因式分解法时就直接用公式法一般情况下不用配方法巩固练习解下列一元二次方程选择合理的方法精品资料欢迎下载拓展训练填空题方程的二次项系数是一次项系数是常数项是关于的方程是一元二次方程的条件是如果关于的方程精品资料 欢迎下载 4、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小 2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小 36，求原来的两位数。答案：（

23、73）最高次数是这样的方程叫做一元二次方程一般形式一元二次方程的解法把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次方程进行求解直接开平方法例题结论以下形式可以用直接开平方法直接开平方得直接开平方得练习用直接开平方法配方法解下列方程因式分解法将一元二次方程化为两个一次式的乘积等于的形式再使两个一次式分别等于例题练习用因式分解法解下列方程精品资料欢迎下载公式法一元二次方程的判别式当时方程有两个不等的实根当时方程有两个用因式分解法时就直接用公式法一般情况下不用配方法巩固练习解下列一元二次方程选择合理的方法精品资料欢迎下载拓展训练填空题方程的二次项系数是一次项系数是常数项是关于的方程是一元二次方程的条件是如果关于的方程