一元二次方程 应用 教师版中学教育中学学案中学教育中学学案.pdf

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1、 1.（2013 重庆 A 卷23）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时

2、间按月取整数）解：（1）设乙队单独完成需要 x 个月，则乙队单独完成需要（x+5）个月，由题意得，x（x+5）=6（x+x+5），即03072 xx 解得101x，32x（不合题意，舍去），则 x+5=15 答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；（2）设甲队施工 y 个月，则乙队施工21 y 个月，由题意得，100y+50-2y 1500，解不等式得，y12，施工时间按月取整数，y=12，答：完成这项工程，甲队最多施工12个月才能使工程款不超过1500万元 2.（2013 重庆 B 卷 23）“420”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷 1680

3、0 顶，该商家备有 2 辆大货车、8 辆小货车运送帐篷计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷 200 顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运 200m 顶，每辆小货车每次比原计划少运 300 顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑21m 次，小货车每天比原计划多跑 m 次，一天恰好运送了帐篷 14400 顶，求 m 的值 考点：一元二次方程的应用；一元一次方程的应用 专题：压轴题 分析：（1）设小货车每次运送 x 顶，则大货车每次运送（x+200）顶，根据两种类型

4、的车辆共运送 16800顶帐篷为等量关系建立方程求出其解即可；（2）根据（1）的结论表示出大小货车每次运输的数量，根据条件可以表示出大货车现在每天运输次数为（1+21m）次，小货车现在每天的运输次数为（1+m）次，根据解答：一天恰好运送了帐篷 14400 顶建立方程求出其解就可以了 解：（1）设小货车每次运送 x 顶，则大货车每次运送（x+200）顶，根据题意得：22（x+200）+8x=16800，解得：x=800 大货车原计划每次运：800+200=1000 顶 答：小货车每次运送 800 顶，大货车每小时运送 1000 顶；（2）由题意，得 2（1000200m）（1+21m）+8（80

5、0300m）（1+m）=14400，解得：m=2 或 m=21（舍去）答：m 的值为 2 点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据各部分工作量之和=工作总量建立方程是关键 3.（2013 襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解 析 设每轮传染中平均每人传染了 x 人，根据经过两轮传染后共有 64 人患了流感，可求出 x，进而求出第三轮过后，共有多少人感染 设每轮传染中平均每人传染了 x 人，1+x+x（x+1）=64 x=7 或 x=-9（舍

6、去）64+64 7=512（人）经过第三轮后，共有 512 人患有流感 故答案为：512 4.（2013 铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂从今年 1 月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润的月平均值 w（万元）满足 w=10 x+90 （1）设使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润和为 y，请写出 y 与 x 的函数关系式（2）请问前多少个月的利润和等于 1620 万元？考点：一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式 分析：（1）利用“总利润=月利润的平均值 月数”列出函数关系式即可；（2）

7、根据总利润等于 1620 列出方程求解即可 解答：解：（1）y=w x=（10 x+90）x=10 x2+90 x（x 为正整数），（2）设前 x 个月的利润和等于 1620 万元，10 x2+90 x=1620，即：x2+9x162=0 解，得 x=，x1=9，x2=18（舍去），答：前 9 个月的利润和等于1620 万元 点评：本题考查了一元二次方程的应用及根据实际问题列出二次函数关系式的知识，解题的关键是弄清总利润与月平均利润和月数之间的关系 5.（2013 泰安）某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个，第二周若按每个 10 元

8、的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？考点：一元二次方程的应用 专题：销售问题 分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可 解答：解：由题意得出：200（106）+（10 x6）（200+50 x）+（46）（600200（200+50 x）=1250，即 800+（4x）（20

9、0+50 x）2（20050 x）=1250，整理得：x22x+1=0，了扩建工程其中某项工程甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多个月并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的倍求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月若甲队每月的施工费为万元乙队每项工程中甲队施工时间是乙队施工时间的倍那么甲队最多施工几个月才能使工程款不超过万元甲乙两队的施工时间按月取整数解设乙队单独完成需要个月则乙队单独完成需要个月题意得即解得不合题意舍去则答甲队单独完成这项工整数答完成这项工程甲队最多施工个月才能使工程款不超过万元重庆卷雅安地震后某商家为支援灾区人民计划捐赠帐篷顶该商家备有辆大货车

10、辆小货车运送帐篷计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷顶大小货车每天均运送一次两天解得：x1=x2=1，101=9，答：第二周的销售价格为 9 元 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键 6.（2013 泉州）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 A、B 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 l（cm）与时间 t（s）满足关系：l=21t2+23t（t0），乙以 4cm/s 的速度匀速运动，半圆的长度为 21cm （1）甲运动 4s 后的路程是多少？（2）甲、乙从

11、开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？考点：一元二次方程的应用 分析：（1）根据题目所给的函数解析式把 t=4s 代入求得 l 的值即可；（2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可；（3）根据图可知，二者第二次相遇走过的总路程为一圈半，也就是三个半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可 解答：解：（1）当 t=4s 时，l=t2+t=8+6=14（cm），答：甲运动 4s 后的路程是 14cm；（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 21cm，甲走过的路程为t2+t

12、，乙走过的路程为 4t，则t2+t+4t=21，解得：t=3 或 t=14（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s；（3）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为三个半圆：3 21=63cm，则t2+t+4t=63，解得：t=7 或 t=18（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s 点评：本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆，第二次相遇时二者走的总路程为三个半圆，本题难度一般 7.（2013 绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某运动商

13、城的自行车销售量自 2013 年起逐月增加，据统计，该商城 1 月份销售自行车 64 辆，3 月份销售了 100 辆（1）若该商城前 4 个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城 4 月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入 3 万元再购进一批两种规格的自行车，已知 A 型车的进价为 500 元/辆，售价为 700 元/辆，B 型车进价为 1000 元/辆，售价为 1300 元/辆根据销售经验，A型车不少于 B 型车的 2 倍，但不超过 B 型车的 2.8 倍假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？考点：一元二次方程的应用；一次函数的应用 分析：（

14、1）首先根据 1 月份和 3 月份的销售量求得月平均增长率，然后求得 4 月份的销量即可；了扩建工程其中某项工程甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多个月并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的倍求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月若甲队每月的施工费为万元乙队每项工程中甲队施工时间是乙队施工时间的倍那么甲队最多施工几个月才能使工程款不超过万元甲乙两队的施工时间按月取整数解设乙队单独完成需要个月则乙队单独完成需要个月题意得即解得不合题意舍去则答甲队单独完成这项工整数答完成这项工程甲队最多施工个月才能使工程款不超过万元重庆卷雅安地震后某商家为支援灾区人民计划捐赠帐篷顶

15、该商家备有辆大货车辆小货车运送帐篷计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷顶大小货车每天均运送一次两天（2）设 A 型车 x 辆，根据“A 型车不少于 B 型车的 2 倍，但不超过 B 型车的 2.8 倍”列出不等式组，求出 x的取值范围；然后求出利润 W 的表达式，根据一次函数的性质求解即可 解答：解：（1）设平均增长率为 x，根据题意得：64（1+x）2=100 解得：x=0.25=25%或 x=2.25 四月份的销量为：100（1+25%）=125 辆，答：四月份的销量为 125 辆（2）设购进 A 型车 x 辆，则购进 B 型车辆，根据题意得：2 x 2.8 解得：30 x 35 利润 W=

16、（700500）x+（13001000）=900+50 x 500，W 随着 x 的增大而增大 当 x=35 时，不是整数，故不符合题意，x=34，此时=13 答：为使利润最大，该商城应购进 34 辆 A 型车和 13 辆 B 型车 点评：本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式，这也是本题的难点 8.（2013 淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10 件，单价为 80 元；如果一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买的所有服装的单价降低 2 元，但单价不得低于 50 元按此优惠条件

17、，小丽一次性购买这种服装付了 1200 元请问她购买了多少件这种服装？考点：一元二次方程的应用 分析：根据一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买的所有服装的单价降低 2 元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可 解答：解：设购买了 x 件这种服装，根据题意得出：80-2（x-10）x=1200，解得：x1=20，x2=30，当 x=30 时，80-2（30-10）=40 元50 元，不合题意，舍去；答：她购买了 20 件这种服装 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键 9.（2013 贵阳）2010 年底某市汽车拥有量为 100 万辆

18、，而截止到 2012 年底，该市的汽车拥有量已达到144 万辆 了扩建工程其中某项工程甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多个月并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的倍求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月若甲队每月的施工费为万元乙队每项工程中甲队施工时间是乙队施工时间的倍那么甲队最多施工几个月才能使工程款不超过万元甲乙两队的施工时间按月取整数解设乙队单独完成需要个月则乙队单独完成需要个月题意得即解得不合题意舍去则答甲队单独完成这项工整数答完成这项工程甲队最多施工个月才能使工程款不超过万元重庆卷雅安地震后某商家为支援灾区人民计划捐赠帐篷顶该商家备有辆大货车辆小货车

19、运送帐篷计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷顶大小货车每天均运送一次两天（1）求 2010 年底至 2012 年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到 2013 年底全市汽车拥有量不超过 155.52 万辆，预计 2013 年报废的汽车数量是 2012 年底汽车拥有量的 10%，求 2012 年底至 2013 年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求 考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用 分析：（1）设 2010 年底至 2012 年底该市汽车拥有量的年平均增长率是 x，根据 2010 年底该市汽车拥有量为 100 万辆，而

20、截止到 2012 年底，该市的汽车拥有量已达 1445 万辆可列方程求解（2）设全市每年新增汽车数量为 y 万辆，则 2013 年底全市的汽车拥有量为 144（1+y）90%万辆，根据要求到 2013 年底全市汽车拥有量不超过 155.52 万辆可列不等式求解 解答：解：（1）设 2010 年底至 2012 年底该市汽车拥有量的年平均增长率是 x，根据题意，100（1+x）2=144，1+x=1.2 x1=0.2=20%x2=-2.2（不合题意，舍去）答：2010 年底至 2012 年底该市汽车拥有量的年平均增长率是 20%（2）设 2012 年底到 2013 年底该市汽车拥有量的年平均增长率

21、为 y，根据题意得：144（1+y）-14410%155.52 解得：y0.18 答：2012 年底至 2013 年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在不超过 18%能达到要求 点评：本题考查了一元二次方程的应用及不等式的应用，重点考查理解题意的能力，根据增长的结果做为等量关系列出方程求解，根据 2013 车的总量这个不等量关系列出不等式求解 10.（2012 呼伦贝尔）甲乙两件服装的进价共500 元，商场决定将甲服装按 30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按 9 折出售，商场卖出这两件服装共获利 67 元（1）求甲乙两件服装的进价各是多少元；（2）由于乙服装畅销，

22、制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到 242 元，求每件乙服装进价的平均增长率；（3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按 9 折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）考点：一元二次方程的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用 专题：压轴题 了扩建工程其中某项工程甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多个月并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的倍求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月若甲队每月的施工费为万元乙队每项工程中甲队施工时间是乙队施工时间的倍那么甲队最多施工几个月才能使工程款不超过万元甲乙两队的施工时间按月取

23、整数解设乙队单独完成需要个月则乙队单独完成需要个月题意得即解得不合题意舍去则答甲队单独完成这项工整数答完成这项工程甲队最多施工个月才能使工程款不超过万元重庆卷雅安地震后某商家为支援灾区人民计划捐赠帐篷顶该商家备有辆大货车辆小货车运送帐篷计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷顶大小货车每天均运送一次两天分析：（1）若设甲服装的进价为 x 元，则乙服装的进价为（500-x）元根据公式：总利润=总售价-总进价，即可列出方程（2）利用乙服装的进价为200 元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到 242 元，利用增长率公式求出即可；（3）利用每件乙服装进价按平均增长率再次上调，再次上调价格为：242

24、（1+10%）=266.2（元），进而利用不等式求出即可 解答：解：（1）设甲服装的进价为 x 元，则乙服装的进价为（500-x）元，根据题意得：90%（1+30%）x+90%（1+20%）（500-x）-500=67，解得：x=300，500-x=200 答：甲服装的进价为 300 元、乙服装的进价为 200 元 （2）乙服装的进价为 200 元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到 242 元，设每件乙服装进价的平均增长率为 y，则 200（1+y）2=242，解得：y1=0.1=10%，y2=-2.1（不合题意舍去）答：每件乙服装进价的平均增长率为 10%；（3）每件乙服装进价按平

25、均增长率再次上调，再次上调价格为：242（1+10%）=266.2（元），商场仍按 9 折出售，设定价为 a 元时，0.9a-266.2 0，解得：a92662 故定价至少为296 元时，乙服装才可获得利润 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及增长率问题和一元一次不等式的应用，注意售价的算法：售价=定价 打折数 了扩建工程其中某项工程甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多个月并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的倍求甲乙两队单独完成这项工程各需几个月若甲队每月的施工费为万元乙队每项工程中甲队施工时间是乙队施工时间的倍那么甲队最多施工几个月才能使工程款不超过万元甲乙两队的施工时间按月取整数解设乙队单独完成需要个月则乙队单独完成需要个月题意得即解得不合题意舍去则答甲队单独完成这项工整数答完成这项工程甲队最多施工个月才能使工程款不超过万元重庆卷雅安地震后某商家为支援灾区人民计划捐赠帐篷顶该商家备有辆大货车辆小货车运送帐篷计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷顶大小货车每天均运送一次两天