中值定理“下嫁”高考中学教育高考论文会议文章.pdf

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1、 近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答.本文主要先归类总结，再通过一些具体的高考试题，利用拉格朗日中值定理解答，并与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处.1拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：（i）f在闭区间,a b上连续；（ii）f在开区间(,)a b内可导；则在,a b内至少存在一点，使得 f bf afba.一、证明 f xax或 f xax成立（其中0 x）2例：（2007年高考全国卷I第20题）设函数 xxf xee.（）证明：f x的导数 2fx；（）证明：若对所有0 x，都有 f xax，则a的取值范围

2、是(,2.（）略.（）证明：（i）当0 x 时，对任意的a，都有 f xax(ii)当0 x 时，问题即转化为xxeeax对所有0 x 恒成立.令 00 xxfxfeeG xxx，由拉格朗日中值定理知 0,x内至少存在一点（从而0），使得 00fxffx，即 G xfee，由于 000feeee ，故 f在 0,x上是增函数，让0 x 得 min02G xfeef，所以a的取值范围是(,2.评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令 g xf xax，再分2a 和2a 两种情况讨论.其中，2a 又要去解方程 0gx.但这有两个缺点：首先，为什么a的取值范围要以2为分界展开.其次

3、，方程 0gx 求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.二、证明 2(),2abg ag bgbaba成立 例：（2004年四川卷第22题）已知函数 ln(1),lnf xxx g xxx.（）求函数 f x的最大值；（）设02aba ，证明：2()ln 22abg ag bgba.（）略；（）证明：依题意，有 ln1gxx 2222abababgagbggbggga 由拉格朗日中值定理得，存在,22ababab，使得 lnln2222ababbabag bggg agg 4lnlnlnln2222babbaababaaa 评注：对于不等式中含有 ,2abg ag bg

4、ab的形式，我们往往可以把 2abgg a和 2abg bg，分别对 2abgg a和 2abg bg两次运用拉格朗日中值定理.三、证明 1212f xf xxx成立 3 4例：(2OO6年四川卷理第22题)已知函数 22ln(0),f xxax xf xx 的导函数是 fx，对任意两个不相等的正数12,xx，证明：（）当0a 时，121222f xf xxxf（）当4a 时，1212fxfxxx.证明：（）不妨设12xx，即证12122122xxxxfxfffx由拉格朗日中值定理知，存在12121122,22xxxxxx，则12 且 1222xxfxf2122xxf，12211122xxxx

5、ffxf又22()2afxxxx，3242afxxx.当0a 时，0fx.所以()fx是一个单调递减函数，故 12ff从而12122122xxxxfxfffx成立，因此命题获证（）由 22lnf xxaxx 得，22()2afxxxx，令 g xfx则由拉格朗日中值定理得：1212()g xg xgxx 下面只要证明：当4a 时，任意0,都有 1g，则有 324g21axxx，即证4a 时，24axx恒成立.这等价于证明24xx的最小值大于4.由于2234223 4xxxxx ，当且仅当32x 时取到最小值，又343 4a ，故4a 时，32421axx恒成立.答本文主要先归类总结再通过一些具

6、体的高考试题利用拉格朗日中值定理解答并与参考答案的解法作比较体现高观点解题的好处拉格朗日中值定理若函数满足如下条件在闭区间上连续在开区间内可导则在内至少存在一点使得一证明问题即转化为对所有恒成立令使得由拉格朗日中值定理知内至少存在一点从而即由于故在上是增函数让所以的取值范围是评注第小题提供的参考答案用的是初等数学的方法即令再分又要去解方程但这有两个缺点首先为什么的取值两得和二证明成立例年四川卷第题已知函数求函数的最大值设证明证明依题意有由拉格朗日中值定理得存在使得评注对于不等式中含有的形式我们往往可以把和分别对和两次运用拉格朗日中值定理三证明成立例年四川卷理第题已知函所以由拉格朗日定理得：12

7、121212()g xg xgxxgxxxx.评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.四、证明 1212f xf xxx或 1212f xf xxx成立 例：（2008年全国卷22题）设函数 sin2cosxfxx.（）求 f x的单调区间；（）如果对任何0 x，都有 f xax，求a的取值范围.（）略；（）证明：当0 x 时，显然对任何a，都有 f xax；当0 x 时，00fxfxfxx 由拉格朗日中值定理，知存在 0,x，

8、使得 00fxfxffxx.由（）知 22cos12cosxfxx，从而 22sin2coscos12cosxxxfxx.令 0fx 得，21,22xkk；令 0fx 得，2,21xkk.所以在21,22kk上，fx的最大值 max1223fxfk在 2,21kk上，fx的最大值 max123fxfk.从而函数 fx在2,22kk上的最大值是 max13fx.由kN知，当0 x 时，fx的最大值为 max13fx.所以，f的最大值 max13f.为了使 fa恒成立，应有 maxfa.所以a的取值范围是1,3.评注：这道题的参考答案的解法是令 g xaxf x,再去证明函数 g x的最小值 mi

9、n0g x.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数a,要对参数a进行分类讨论;其次为了判断 g x的单调性,还要求 0gx 和 0gx 的解,这个求解涉及到反余弦arccos3 a,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.五、证明 0,()f xxa成立，（其中 0f a）例：（2007年安徽卷18题）设 20,1 ln2 ln0af xxxax x.（）令 F xxfx，讨论 F x在0,内的单调性并求极值；（）求证：当1x 时，恒有2ln2 ln1xxax.（）略；（）证明：即证 0f x，由于1x，则 111fxfxfxx.由

10、拉格朗日中值定理得，存在 1,x，使得 11fxffx.由（）的解题过程知 221lnafxxxx，所以答本文主要先归类总结再通过一些具体的高考试题利用拉格朗日中值定理解答并与参考答案的解法作比较体现高观点解题的好处拉格朗日中值定理若函数满足如下条件在闭区间上连续在开区间内可导则在内至少存在一点使得一证明问题即转化为对所有恒成立令使得由拉格朗日中值定理知内至少存在一点从而即由于故在上是增函数让所以的取值范围是评注第小题提供的参考答案用的是初等数学的方法即令再分又要去解方程但这有两个缺点首先为什么的取值两得和二证明成立例年四川卷第题已知函数求函数的最大值设证明证明依题意有由拉格朗日中值定理得存在

11、使得评注对于不等式中含有的形式我们往往可以把和分别对和两次运用拉格朗日中值定理三证明成立例年四川卷理第题已知函 22222222lnln1afxxxaxxxx.令 0fx 得，1 axe.令 0fx 得，11axe.故 fx在 1,x上最小值 1minafxf e 11112 12210aaaaaaeeee.所以 min0ffx.从而 01f xx.又1x，则 0f x 成立，从而当0 x 时，2ln2 ln1xxax成立.评 注：这 道 题 的 参 考 答 案 是 用（）中 F x在0,内 的 极 小 值 20F得 到 0Fxxfx.又1x，所以 0fx.从而 f x在1,上单调递增,故 f

12、 x的最小值 min10f xf，所 以2ln2ln1xxax.但 是 如 果 没 有（），很 难 想 到 利 用 F xxfx来判断 f x的单调性.而用拉格朗日中值定理证明，就不存在这个问题.六、证明 1212f xf xxx或 1212f xf xxx（其中12xx）例：（2009年辽宁卷理21题）已知函数21()(1)ln,12f xxaxax a （）讨论函数()f x的单调性；（）证明：若5a，则对任意12,0,x x，12xx，有1212()()1f xf xxx.（）略；（）1212()()f xf xfxx.由（）得，1afxxax .所以要证1212()()1f xf xx

13、x 成立，即证 11afa .下面即证之.令 2(1)1gaa ，则 214115aaaa.由于15a，所以0.从而 0g在R恒成立.也即21aa .又12,x x，12,0,x x，故0.则211aa ，即 11afa ，也即1212()()1f xf xxx.评注：这道题（）小题存在两个难点：首先有两个变量12,x x；其次a的值是变化的.参考答案的解法是考虑函数 g xf xx.为什么考虑函数 g xf xx？很多考生一下子不易想到.而且 gx的放缩也不易想到.拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理.是解决函数在某一点的导数的重要工具.近年来，不少高考压轴题以导数命题，往往可以用拉格朗

14、日中值定理求解.固然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求解.但初等数学的方法往往计算量较大.这时，用拉格朗日中值定理交易解决.充分体现了高等数学的优越性，有力反驳了“高数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴趣.从以上六道题目与参考答案不同的解法中，我们可以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导作用.近几年，高观点下的高考命题颇受命题者的青睐.因此加强对高等数学的研究就显得很有必要.拉格朗日中值定理又称拉氏定理。如果函数 f(x)在（a，b）上可导，a,b上连续，则必有一 a,b，使得 f()*(b-a)=f(b)-f(a)答本文主要先归类总结再通过一

15、些具体的高考试题利用拉格朗日中值定理解答并与参考答案的解法作比较体现高观点解题的好处拉格朗日中值定理若函数满足如下条件在闭区间上连续在开区间内可导则在内至少存在一点使得一证明问题即转化为对所有恒成立令使得由拉格朗日中值定理知内至少存在一点从而即由于故在上是增函数让所以的取值范围是评注第小题提供的参考答案用的是初等数学的方法即令再分又要去解方程但这有两个缺点首先为什么的取值两得和二证明成立例年四川卷第题已知函数求函数的最大值设证明证明依题意有由拉格朗日中值定理得存在使得评注对于不等式中含有的形式我们往往可以把和分别对和两次运用拉格朗日中值定理三证明成立例年四川卷理第题已知函拉格朗日中值定理的几何

16、意义 编辑本段其它形式 令 f(x)为 y，则该公式可写成 y=f(x+x)*x(01)上式给出了自变量取得的有限增量x 时，函数增量y 的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。编辑本段定理内容 若函数 f(x)在区间a,b满足以下条件:(1)在a,b连续 (2)在(a,b)可导 则在(a,b)中至少存在一点 f(c)=f(b)-f(a)/(b-a)acb，或 使 公式 f(b)-f(a)=f(c)(b-a)成立，其中 acb 编辑本段证明 证明:把定理里面的 c 换成 x 再不定积分得原函数f(x)=f(b)-f(a)/(b-a)x.做辅助函数 易证明此函数在该区间满足条件:1.g(a)=

17、g(b)=0;2.g(x)在a,b连续;3.g(x)在(a,b)可导.此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证 编辑本段几何意义 若连续曲线 y=f(x)在 A(a,f(a),B(b,f(b)两点间的每一点处都有不垂直于 x 轴的切线,则曲线在 A,B 间至少存在 1 点 P(c,f(c),使得该曲线在 P 点的切线与割线 AB平行.推论 如果函数在区间 Q上的导数恒为零，那么函数在区间 Q上是一个常数。证明：f(b)-f(a)=f()*(b-a)a,b 由于已知 f()=0，f(b)-f(a)=0，即 f(b)=f(a)这就是说，在区间内任意两点的函数值都相等。因此函数在区间内是一个常数。答本文

18、主要先归类总结再通过一些具体的高考试题利用拉格朗日中值定理解答并与参考答案的解法作比较体现高观点解题的好处拉格朗日中值定理若函数满足如下条件在闭区间上连续在开区间内可导则在内至少存在一点使得一证明问题即转化为对所有恒成立令使得由拉格朗日中值定理知内至少存在一点从而即由于故在上是增函数让所以的取值范围是评注第小题提供的参考答案用的是初等数学的方法即令再分又要去解方程但这有两个缺点首先为什么的取值两得和二证明成立例年四川卷第题已知函数求函数的最大值设证明证明依题意有由拉格朗日中值定理得存在使得评注对于不等式中含有的形式我们往往可以把和分别对和两次运用拉格朗日中值定理三证明成立例年四川卷理第题已知函