新人教版九年级数学上册圆教案小学教育小学学案小学教育小学学案.pdf

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1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)教学目标 1使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；3培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律 教学重点和难点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点 教学过程设计 一、创设情景，引入新课 圆是轴对称图形圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性 1动态演示，发现规律 投影出示图 747，并动态显示：平

2、行四边形绕对角线交点 O旋转 180后问：(1)结果怎样？学生答：和原来的平行四边形重合(2)这样的图形叫做什么图形？学生答：中心对称图形 弧弦弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的

3、图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意投影出示图 748，并动态显示：O绕圆心 O旋转 180由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 让学生观察发现什么结论？得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合 进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度，你发现什么？学生答：仍然与原来的图形重合 于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合 2圆心角，弦心距的概念 我们在研究圆的旋转不变性时，O绕圆心 O旋转任意角度后

4、，出现一个角AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图 750 在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上 在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书 顶点在圆心的角叫做圆心角 再进一步观察，AB是AOB所对的弧，连结 AB，弦 AB既是圆心角 AOB也是 AB所对的弦请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？学生答：过圆心 O作弦 AB的垂线 在学生回答的基础上，教师指出：点 O到 AB的垂直线段 OM的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距如图 751(教师板书定义)最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系(引出课题)弧弦

5、弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任

6、意 二、大胆猜想，发现定理 在图 752 中，再画一圆心角AOB，如果AOB=AOB，(变化显示两角相等)再作出它们所对的弦 AB，AB和弦的弦心距 OM，OM，请大家大胆猜想，弧弦弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论

7、得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意其余三组量与，弦 AB与 AB，弦心距 OM与 OM 的大小关系如何？弧弦弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎

8、样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意学生很容易猜出：=，AB=A B，OM=OM 教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到=，怎样证明弧相等呢？让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么？学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧 请同学们想一想，你用什么方法让和重合呢？学生：旋转 弧弦

9、弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任

10、意下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明=把AOB连同旋转，使 OA与 OA 重合，我们发现射线 OB与射线 OB 也会重合，为什么？学生：因为AOB=AOB，所以射线 OB与射线 OB 重合 要证明与重合，关键在于点 A与点 A，点 B与点 B是否分别重合这两对点分别重合吗？学生：重合 你能说明理由吗？学生：因为 OA=OA，OB=OB，所以点 A与点 A重合，点 B与点 B重合 当两段孤的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？弧弦弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角

11、弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意学生：与重合，弦 AB与 AB重合，OM与 OM 重合 为什么 OM也与 OM 重合呢？学生：根据垂线的唯一性 弧弦弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会

12、运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意于是有结论：=，AB=A B，OM O

13、M 以上证明运用了圆的旋转不变性得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题 教师板书定理 定理：在同圆_中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 教师引导学生补全定理内容 O与O为等圆，AOB=AOB，OM与 OM分别为 AB与 AB 的弦心距，请学生回答与AB与 AB，OM与 OM还相等吗？为什么？在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆 然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：弧弦弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生渗透旋转变换的思想

14、及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意 定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与

15、三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 三、巩固应用、变式练习 例 1 判断题，下列说法正确吗？为什么？(1)如图 754：因为AOB=AOB，所以AB=弧弦弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示

16、发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意(2)在O和O中，如果弦 AB=A B，那么=分析：(1)、(2)都是不对的在图 754 中，因为和不在同圆或等圆中，不能用定理对于(2)也缺少了等圆的条件可让学生举反例说明 弧弦弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生

17、渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意 弧弦弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能

18、力向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意 例 2 如图 755，点 P在O上，点 O在EPF的角平分线上，EPF的两边交O于点

19、 A和 B求证：PA=PB 证明：作 OM PA，ON PB，垂足为 M，N 弧弦弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然

20、与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意变式 1 已知：如图 756，点 O在EPF 的平分线上，O和EPF的两边分别交于点A，B和 C，D求证：AB=CD 变式 2 已知：如图 757，O的弦 AB，CD相交于点 P，APO=CPO，求证：AB=CD 说明：这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题，当然，也可利用其它方法来证，只不过前者较为简便 练习 1 已知：如图 758，AD=BC 求证：AB=CD 变式练习已知：如图 758，=，求证：AB=CD 课堂小结 教师提问：(1)这节课学习了哪些具体内容？(2)本节的定理和推论是用什么方法证明的

21、？(3)应注意哪些问题？在学生回答的基础上，教师总结(1)这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是中心对称图形得到圆的特性圆的旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距之间的关系定理及推论 这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据 弧弦弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态

22、显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意(2)本节通过观察猜想论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，同时遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想(3)在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件 布置作业：思考题：已知 AB和 CD是O的两条弦，OM和 ON分别是 AB和 CD 的弦心距，如果

23、AB CD，那么 OM和 ON有什么关系？为什么？板书设计 后记：弧弦弦心距之间的相等关系定理及推论并初步学会运用这些关系解决有关问题培养学生观察分析归纳的能力向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点圆心角弧弦弦心距之间的相等关系是重点从圆的旋转这一性质帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性动态演示发现规律投影出示图并动态显示平行四边形绕对角线交点旋转后问结果怎样学生答和原来的平行四边形重合这样的图形叫做什么图形学生答生观察发现什么结论得出不论绕圆心旋转多少度都能够和原来的图形重合进一步演示让圆绕着圆心旋转任意角度你发现什么学生答仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结得出圆所特有的性质圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意