一元三次不等式解法中学教育高考中学教育中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 三次方程是未知项次数为 3 的整式方程，一般形式為，其中,和 ()是屬於一個域的數字，通常這個域為 R或 C。历史 波斯数学家欧玛尔海亚姆（1048 年1123 年）通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。中国南宋的数学家秦九韶在他 1247 年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一元三次方程与任何高次方程的解法“正负开方术”，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多。现在

2、，这种方法被后人称为“秦九韶程序”。世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。学习必备 欢迎下载 在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了只能解一种三次方程的方法，也就是形如的方程。事实上，如果我们允许,是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。费罗一直保守着这个秘密，直到死之前才把它告诉了他的一个学生。塔塔利亚（Tartaglia）听说了这件事并很快自己找到了一种方法。他把他的方法透露给了卡尔丹诺，后者把它发表在数学大典（又名大術，1545 年）上。卡尔丹诺注意到塔塔利亚的方法有时需要他给负数开平方。他甚至在数学大典裡包括了这些複數的

3、计算，但他并不真正理解它。拉斐罗邦别利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是複数的发现者。三次方程解法 求根公式 史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数所有的三次方程都能变成这种形式但在那

4、个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载 由此可簡化成,红色字体部分为判别式,当时，方程有一实根和两共轭复根；当时，方程有三重实根；当时，方程有三实根.史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人

5、称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载 三角函数解 卡尔丹诺的方法 史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后

6、欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载 令為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根，然後把方程除以，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。解方程步驟：把原來方程除以首項

7、係數，得到：，其中，。代換未知項，以消去二次項。當展開，會得到這項，正好抵消掉出現於的項。故得：，其中 和 是域中的數字。史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直

8、保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载；。記。前一方程化為。展開：。重組：。分解：。因為多了一個未知項（和 代替了），所以可加入一個條件，就是：，由此導出。設和。我們有和因為。所以 和 是輔助方程的根，這方程我們已會解出。史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家

9、所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载 接下來，和 是 和 的立方根，適合，最後得出。在域 裡，若和是立方根，其他的立方根就是和，當然還有和，其中是單位的立方根。因為乘積固定，所以可能的是，和。因此三次方程的其他根是和。判别式 最先嘗試解的三次方程是實係數（而且是整數）。因為實數域並

10、非代數封閉，方程的根的數目不一定是 個。所遺漏的根都在 裡，就是 的代數閉包。其中差異出現於 和 的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式，史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数

11、所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载 若，只有一個實根，其他兩個是共軛複根。若，至少有一對實重根：1：三重實根，或 2：一個二重實根和一個單實根。若，有三個實根：其中。注意到至少有一實根存在，這是因為非常數多項式在和的極值是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號。由於多項式是連續函數，從介值定理知道它在某點的值為。第一個例子 解。我們依照上述步驟進行：史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法

12、他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载 （全式除以）設，故，代換：，再展開。，。設和。和

13、是的根。和，和。t=x 1=u+v 1，该方程的另外两个根：，史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说

14、了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载 第二个例子 这是一个历史上的例子，因为它是邦别尼考虑的方程。方程是。从函数算出判别式的值，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。首两步都不需要做。做第三步：，。和。和 是的根。这方程的判别式已算出是负数，所以没有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。我们解出和。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以 取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部：现设。史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过

15、用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载 等价于

16、：（实部）（虚部）（模）得到和，也就是，而 是其共轭：。归结得，可以立时验证出来。其他根是和。当是负，和 共轭，故此 和 也是（要适当选取立方根，记得）；所以我们可确保 是实数，还有 和。史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复

17、数所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载 极值 驻点的公式 设 将其微分，可得 极值 设，可得 在 中的极值（极大或极小值）,。史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在

18、这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载 将代入，可得 的极值 拐点 设，可得 中的拐点。史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任

19、何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载 驻点的类型 从二阶导数测试，,在中是极大值；,在中是极小值；,在中是一个拐点。，可见如：，的驻点为极小值；，的驻点为极大值。，的驻点为拐点。史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建

20、了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它学习必备 欢迎下载 史波斯数学家欧玛尔海亚姆年年通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案中国南宋的数学家秦九韶在他年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一统一的运算规律且扩充到任何高次方程中去这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多现在这种方法被后人称为秦九韶程序世界各国从小学中学到大学的数学课程几乎都接触到他的定理定律和解题原则学习必备允许是复数所有的三次方程都能变成这种形式但在那个时候人们不知道复数费罗一直保守着这个秘密直到死之前才把它告诉了他的一个学生塔塔利亚听说了这件事并很快自己找到了一种方法他把他的方法透露给了卡尔丹诺后者把它