《平面向量》测试题及答案中学教育试题中学教育试题.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 第二章 平面向量 一、选择题 1.若三点 P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则（）A.x=-1 B.x=3 C.x=29 D.x=51 2.与向量 a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k）B.(-k5,-k4)C.(-10,2)D.(5k,4k)3.若点 P分AB所成的比为43，则 A分BP所成的比是（）A.73 B.37 C.-37 D.-73 4.已知向量 a、b，ab=-40，|a|=10,|b|=8，则向量 a与 b的夹角为（）A.60 B.-60 C.120 D.-120 5.若|a-b|=32041,|a|=4,|b|=5，则向量

2、ab=（）A.103 B.-103 C.102 D.10 6(2009年浙江)已知向量 a(1,2)，b(2，3)若向量 c满足(ca)b，c(ab)，则 c()A.79，73 B.73，79 C.73，79 D.79，73 7.已知向量 a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量 a+xb与 b垂直，则 x 的值为（）A.323 B.233 C.2 D.-52 8.设点 P分有向线段21PP的比是，且点 P在有向线段21PP的延长线上，则的取值范围是（）A.(-,-1)B.(-1,0)C.(-,0)D.(-,-21)9.设四边形 ABCD 中，有DC=21AB，且|AD|=|BC|，则这个四

3、边形是（）A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将 y=x+2的图像 C按 a=(6,-2)平移后得 C 的解析式为（）A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数 y=x2+4x+5的图像按向量 a 经过一次平移后，得到 y=x2的图像，则 a 等于（）A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(2,1)12.已知平行四边形的 3 个顶点为 A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第 4 个顶点 D的坐标是（）A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)D.(a-b,b-a)二、填空题 学习好资料 欢

4、迎下载 13.设向量 a=(2,-1)，向量 b与 a共线且 b与 a同向，b的模为 25，则 b=。14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与 b的夹角为 45，要使b-a垂直，则=。15.已知|a|=3,|b|=5，如果 ab，则 ab=。16.在菱形 ABCD 中，（AB+AD）（AB-AD）=。三、解答题 17.如图，ABCD 是一个梯形，AB CD，且 AB=2CD，M、N分别是 DC、AB的中点，已知AB=a,AD=b,试用 a、b 分别表示DC、BC、MN。18设 a(1,1)，b(4,3)，c(5，2)，(1)求证 a与 b不共线，并求 a与 b的夹角的余弦值；(2)求 c在

5、a方向上的投影；(3)求 1和 2，使 c1a2b.19.设 e1与 e2是两个单位向量，其夹角为 60，试求向量 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角。20.以原点 O和 A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，B=90，求点 B的坐标和AB。21.已知|2a|3b,ab与的夹角为 60o,53cab,3dakb,当当实数k为何值时，cd cd 22.已知ABC 顶点A（0，0），B（4，8），C（6，-4），点 M内分AB所成的比为 3，N是 AC边上的一点，且AMN 的面积等于ABC 面积的一半，求 N点的坐标。是已知向量则向量与的夹角为若则向量年浙江已知向量若向量满足则

6、已知向量如果向量与垂直则的值为设点分有向线段的比是且点在有向线段的延长线上则的取值范围是设四边形中有且则这个四边形是平行四边形矩形等腰梯形菱形为则它的第个顶点的坐标是二填空题学习好资料欢迎下载设向量向量与共线且与同向的模为则已知与的夹角为要使垂直则已知如果则在菱形中三解答题如图是一个梯形且分别是的中点已知试用分别表示设求证与不共线并求与的夹角三角形求点的坐标和已知与的夹角为值时当当实数为何已知顶点点内分所成的比为是边上的一点且的面积等于面积的一半求点的坐标学习好资料欢迎下载参考答案解连结解析且与不共线又在方向上的投影为解得解同理得又解如图设学习好资料 欢迎下载 参考答案 1.B 2.A 3.C

7、 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C 13.(4,-2)14.2 15.15 16.0 17.解 连结 AC DC=21AB=21a,AC=AD+DC=b+21a,BC=AC-AB=b+21a-a=b-21a,NM=ND+DM=NA+AD+DM=b-41a,MN=-NM=41a-b。18【解析】(1)a(1,1)，b(4,3)，且13 14，a与 b不共线 又 ab14131，|a|2，|b|5，cosa，ba b|a|b|15 2210.(2)ac151(2)7 c在 a方向上的投影为a c|a|72722.(3)c1a2b，(5，2)1(1,1)2

8、(4,3)(421，132)，42151322，解得 1237237.19.解 a=2e1+e2,|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7,|a|=7。同理得|b|=7。又 ab=（2e1+e2）(-3e1+2e2,)=-6 e12+e1e2+2e22=-27，cos=|baba=7727=-21,=120.20.解 如图 8，设 B(x,y),是已知向量则向量与的夹角为若则向量年浙江已知向量若向量满足则已知向量如果向量与垂直则的值为设点分有向线段的比是且点在有向线段的延长线上则的取值范围是设四边形中有且则这个四边形是平行四边形矩形等腰梯形菱形为则它的第个顶点的坐标

9、是二填空题学习好资料欢迎下载设向量向量与共线且与同向的模为则已知与的夹角为要使垂直则已知如果则在菱形中三解答题如图是一个梯形且分别是的中点已知试用分别表示设求证与不共线并求与的夹角三角形求点的坐标和已知与的夹角为值时当当实数为何已知顶点点内分所成的比为是边上的一点且的面积等于面积的一半求点的坐标学习好资料欢迎下载参考答案解连结解析且与不共线又在方向上的投影为解得解同理得又解如图设学习好资料 欢迎下载 则OB=(x,y),AB=(x-4,y-2)。B=90，OBAB，x(x-4)+y(y-2)=0，即 x2+y2=4x+2y。设 OA的中点为 C，则 C(2,1),OC=（2，1），CB=(x-

10、2,y-1)ABO为等腰直角三角形，OCCB，2(x-2)+y-1=0，即 2x+y=5。解得、得3111yx或1322yx B(1,3)或 B(3,-1)，从而AB=(-3,1)或AB=（-1,-3）21.若cd 得59k 若dc 得1429k 22.解 如图 10，ABCAMNSS=BACACABBACANAMsin|21sin|21=|ACABANAM。M分AB的比为 3，|ABAM=43，则由题设条件得 21=34|ACAN，|ACAN=32，|ACAN=2。由定比分点公式得.3821)4(20,421620NNyx N(4,-38)。是已知向量则向量与的夹角为若则向量年浙江已知向量若

11、向量满足则已知向量如果向量与垂直则的值为设点分有向线段的比是且点在有向线段的延长线上则的取值范围是设四边形中有且则这个四边形是平行四边形矩形等腰梯形菱形为则它的第个顶点的坐标是二填空题学习好资料欢迎下载设向量向量与共线且与同向的模为则已知与的夹角为要使垂直则已知如果则在菱形中三解答题如图是一个梯形且分别是的中点已知试用分别表示设求证与不共线并求与的夹角三角形求点的坐标和已知与的夹角为值时当当实数为何已知顶点点内分所成的比为是边上的一点且的面积等于面积的一半求点的坐标学习好资料欢迎下载参考答案解连结解析且与不共线又在方向上的投影为解得解同理得又解如图设学习好资料 欢迎下载 文科数学 平面向量单元

12、练习题 一、选择题 1(2009年全国)设非零向量 a、b、c、满足|a|b|c|，abc，则a，b()A150 B120 C60 D30 2(2008年四川高考)设平面向量 a(3,5)，b(2,1)，则 a2b等于()A(7,3)B(7,7)C(1,7)D(1,3)3如图，已知ABa，ACb，BD3DC，用 a，b表示AD，则AD等于()Aa34b B.14a34b C.14a14b D.34a14b 4(2009年浙江)已知向量 a(1,2)，b(2，3)若向量 c满足(ca)b，c(ab)，则c()A.79，73 B.73，79 C.73，79 D.79，73 5(2009年启东)已知

13、向量 p(2，x1)，q(x，3)，且 pq，若由 x 的值构成的集合 A满足 Ax|ax2，则实数 a构成的集合是()A0 B23 C D0，23 6在ABC中，a，b，c分别为角 A、B、C的对边，如果 2bac，B30，ABC的面积为32，则 b等于()A.1 32 B1 3 C.2 32 D2 3 7(2008年银川模拟)已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C的南偏东 40，则灯塔 A 与 B 的距离为()A2a km Ba km C.3a km D.2a km 8在ABC中，若BC2AB BCCB

14、 CABC BA，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 9已知等腰ABC的腰为底的 2倍，则顶角 A 的正切值是()A.32 B.3 C.158 D.157 10 已知 D 为ABC的边 BC的中点，在ABC所在平面内有一点 P，满足PABPCP0，设|PA|PD|，则 的值为()A1 B.12 C2 D.14 二、填空题 11设向量 a(1,2)，b(2,3)，若向量 ab与向量 c(4，7)共线，则 _.12(2009年皖南八校联考)已知向量 a与 b的夹角为 120，若向量 cab，且 ca，则|a|b|_.13已知向量 a(tan，1)，b(3，1)，(

15、0，)，且 ab，则 的值为_ 14(2008年烟台模拟)轮船 A 和轮船 B 在中午 12时同时离开海港 O，两船航行方向的夹角为 120，两船的航行速度分别为 25 n mile/h、15 n mile/h，则下午 2时两船之间的距离是_n mile.15(2008 年江苏高考)满足条件 AB2，AC 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是_ 三、解答题 16设 a(1,1)，b(4,3)，c(5，2)，是已知向量则向量与的夹角为若则向量年浙江已知向量若向量满足则已知向量如果向量与垂直则的值为设点分有向线段的比是且点在有向线段的延长线上则的取值范围是设四边形中有且则这个四边形是平行四边

16、形矩形等腰梯形菱形为则它的第个顶点的坐标是二填空题学习好资料欢迎下载设向量向量与共线且与同向的模为则已知与的夹角为要使垂直则已知如果则在菱形中三解答题如图是一个梯形且分别是的中点已知试用分别表示设求证与不共线并求与的夹角三角形求点的坐标和已知与的夹角为值时当当实数为何已知顶点点内分所成的比为是边上的一点且的面积等于面积的一半求点的坐标学习好资料欢迎下载参考答案解连结解析且与不共线又在方向上的投影为解得解同理得又解如图设学习好资料 欢迎下载(1)求证 a与 b不共线，并求 a与 b的夹角的余弦值；(2)求 c在 a方向上的投影；(3)求 1和 2，使 c1a2b.17如图，已知 A(2,3)，B

17、(0,1)，C(3,0)，点 D，E 分别在 AB，AC上，DEBC，且 DE 平分ABC的面积，求点 D 的坐标 18(2009年厦门模拟)已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cos ，sin)，2，32.(1)若|AC|BC|，求角 的值；(2)若AC BC1，求2sin2 sin21tan的值 19(2009年南充模拟)在ABC 中，已知内角 A3，边 BC2 3，设内角 Bx，周长为y.(1)求函数 yf(x)的解析式和定义域；(2)求 y的最大值及取得最大值时ABC的形状 20(2008年福建高考)已知向量 m(sinA，cos A)，n(3，1)，m

18、 n1，且 A 为锐角 (1)求角 A 的大小；(2)求函数 f(x)cos2 x4cos Asinx(xR)的值域 21在ABC中，a、b、c分别为角 A、B、C的对边，且(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC.(1)若 a3，b4，求|CACB|的值；(2)若 C3，ABC的面积是 3，求AB BCBC CACA AB的值 是已知向量则向量与的夹角为若则向量年浙江已知向量若向量满足则已知向量如果向量与垂直则的值为设点分有向线段的比是且点在有向线段的延长线上则的取值范围是设四边形中有且则这个四边形是平行四边形矩形等腰梯形菱形为则它的第个顶点的坐标是二填空题学习好资料欢迎下载设向量向量

19、与共线且与同向的模为则已知与的夹角为要使垂直则已知如果则在菱形中三解答题如图是一个梯形且分别是的中点已知试用分别表示设求证与不共线并求与的夹角三角形求点的坐标和已知与的夹角为值时当当实数为何已知顶点点内分所成的比为是边上的一点且的面积等于面积的一半求点的坐标学习好资料欢迎下载参考答案解连结解析且与不共线又在方向上的投影为解得解同理得又解如图设学习好资料 欢迎下载 答案 一、选择题 1B【解析】(ab)2c2，abc22，cosa，ba b|a|b|12，a，b120.故选 B.2A【解析】a2b(3,5)2(2,1)(7,3)3B【解析】ADABBDa34BC a34(ACAB)a34(ba)

20、14a34b.4D【解析】设 c(x，y)，则 ca(x1，y2)，ab(3，1)(ca)b，c(ab)，2(y2)3(x1),3xy0.x79，y73，故选 D.5D【解析】pq，2x3(x1)0，即 x3，A3 又x|ax2A，x|ax2 或x|ax23，a0 或 a23，实数 a 构成的集合为0，23 6B【解析】由12ac sin 30 32得 ac6，由余弦定理得 b2a2c22accosB(ac)22ac2accos30，即 b242 3，b 31.7C【解析】如图，ABC 中，ACBCa，ACB120.由余弦定理，得 AB2AC2BC22AC BCcos120 a2a22a2(1

21、2)3a2，AB 3a.8B【解析】AB BCCB CABC BA BC(ABBA)CB CACB CA，是已知向量则向量与的夹角为若则向量年浙江已知向量若向量满足则已知向量如果向量与垂直则的值为设点分有向线段的比是且点在有向线段的延长线上则的取值范围是设四边形中有且则这个四边形是平行四边形矩形等腰梯形菱形为则它的第个顶点的坐标是二填空题学习好资料欢迎下载设向量向量与共线且与同向的模为则已知与的夹角为要使垂直则已知如果则在菱形中三解答题如图是一个梯形且分别是的中点已知试用分别表示设求证与不共线并求与的夹角三角形求点的坐标和已知与的夹角为值时当当实数为何已知顶点点内分所成的比为是边上的一点且的面

22、积等于面积的一半求点的坐标学习好资料欢迎下载参考答案解连结解析且与不共线又在方向上的投影为解得解同理得又解如图设学习好资料 欢迎下载 BC2CB CABC(BCCA)BC BA0，B2，ABC 为直角三角形 9D【解析】设底边长为 a，则腰长为 2a，cos A4a24a2a222a2a78sin A158.tan A157，故选 D.10C【解析】PABPCP0，即PAPBCP0，即BACP0，故四边形 PCAB 是平行四边形，|PA|PD|2.二、填空题 11【解析】a(1,2)，b(2,3)，ab(，2)(2,3)(2,2 3)向量 ab与向量 c(4，7)共线，7(2)4(2 3)0，

23、2.【答案】2 12【解析】由题意知 ab|a|b|cos120 12|a|b|.又ca，(ab)a0，a2ab0，即|a|2ab12|a|b|，|a|b|12.【答案】12 13【解析】ab，tan 30，即 tan 3，又 (0，)，3.【答案】3 14.【解析】如图，由题意可得 OA=50，OB=30.而 AB2=OA2+OB2-2 OAOB cos120=502+302-2 5030(-12)=2 500+900+1 500=4 900，AB=70.【答案】70 15【解析】设 BCx，则 AC 2x，根据面积公式得 SABC12AB BCsinB 122x1cos2B，根据余弦定理得

24、 cosBAB2BC2AC22AB BC 是已知向量则向量与的夹角为若则向量年浙江已知向量若向量满足则已知向量如果向量与垂直则的值为设点分有向线段的比是且点在有向线段的延长线上则的取值范围是设四边形中有且则这个四边形是平行四边形矩形等腰梯形菱形为则它的第个顶点的坐标是二填空题学习好资料欢迎下载设向量向量与共线且与同向的模为则已知与的夹角为要使垂直则已知如果则在菱形中三解答题如图是一个梯形且分别是的中点已知试用分别表示设求证与不共线并求与的夹角三角形求点的坐标和已知与的夹角为值时当当实数为何已知顶点点内分所成的比为是边上的一点且的面积等于面积的一半求点的坐标学习好资料欢迎下载参考答案解连结解析且

25、与不共线又在方向上的投影为解得解同理得又解如图设学习好资料 欢迎下载 4x2(2x)24x4x24x，代入上式得 SABCx1(4x24x)2128(x212)216，由三角形三边关系有 2xx2x2 2x，解得 2 22x2 22.故当 x2 3时，SABC取得最大值 2 2.【答案】2 2 三、解答题 16【解析】(1)a(1,1)，b(4,3)，且1314，a与 b不共线 又 a b14131，|a|2，|b|5，cosa，bab|a|b|15 2210.(2)ac151(2)7，c在 a方向上的投影为a c|a|72722.(3)c1a2b，(5，2)1(1,1)2(4,3)(421，

26、132)，42151322，解得 1237237.17【解析】要求点D 坐标，关键是求得点D 分AB所成比 的值，求 值可由已知条件ADE是ABC 面积一半入手，利用三角形面积比等于三角形相似比的平方关系求得 DEBC，ADEABC，SADESABCADAB2.由已知，有ADAB212，即ADAB12.设点 D 分AB所成的比为 ，利用分点定义，得 121 21.得点 D 的横、纵坐标为 x21 212 2，y3 211 213 2.则点 D 坐标为(2 2，3 2)是已知向量则向量与的夹角为若则向量年浙江已知向量若向量满足则已知向量如果向量与垂直则的值为设点分有向线段的比是且点在有向线段的延

27、长线上则的取值范围是设四边形中有且则这个四边形是平行四边形矩形等腰梯形菱形为则它的第个顶点的坐标是二填空题学习好资料欢迎下载设向量向量与共线且与同向的模为则已知与的夹角为要使垂直则已知如果则在菱形中三解答题如图是一个梯形且分别是的中点已知试用分别表示设求证与不共线并求与的夹角三角形求点的坐标和已知与的夹角为值时当当实数为何已知顶点点内分所成的比为是边上的一点且的面积等于面积的一半求点的坐标学习好资料欢迎下载参考答案解连结解析且与不共线又在方向上的投影为解得解同理得又解如图设学习好资料 欢迎下载 18【解析】(1)AC(cos 3，sin)，BC(cos，sin 3)且|AC|BC|，(cos

28、3)2sin2 cos2(sin 3)2，整理，得 sin cos，tan 1.又2 0，C0 得 0B23，应用正弦定理知 ACBCsin Asin B2 3sin3sin x 4sin x.ABBCsin Asin C4sin23 x，yACABBC，y4sinx4sin23 x 2 30 x23.(2)y4sinx32cosx12sinx 2 3 4 3sinx62 3，且6x656，当 x62即 x3时，y 取得最大值 6 3，此时ABC 为等边三角形 20【解析】(1)由题意得 mn 3sinAcosA1，2sin(A6)1，sin(A6)12.由 A为锐角得 A66，A3.(2)由

29、(1)知 cosA12，所以 f(x)cos2x2sinx12sin2x2sinx 2(sinx12)232.因为 xR，所以 sinx1,1，是已知向量则向量与的夹角为若则向量年浙江已知向量若向量满足则已知向量如果向量与垂直则的值为设点分有向线段的比是且点在有向线段的延长线上则的取值范围是设四边形中有且则这个四边形是平行四边形矩形等腰梯形菱形为则它的第个顶点的坐标是二填空题学习好资料欢迎下载设向量向量与共线且与同向的模为则已知与的夹角为要使垂直则已知如果则在菱形中三解答题如图是一个梯形且分别是的中点已知试用分别表示设求证与不共线并求与的夹角三角形求点的坐标和已知与的夹角为值时当当实数为何已知

30、顶点点内分所成的比为是边上的一点且的面积等于面积的一半求点的坐标学习好资料欢迎下载参考答案解连结解析且与不共线又在方向上的投影为解得解同理得又解如图设学习好资料 欢迎下载 因此，当 sinx12时，f(x)有最大值32，当 sinx1 时，f(x)有最小值3，所以所求函数 f(x)的值域是3，32 21【解析】由(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，得(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，由两角和与差的正弦公式展开得：2b2sin Acos B2a2cos Asin B.根据正弦定理有：2sin Bcos B2sin Acos A，即 sin 2Bsin 2A，A、B

31、 为三角形的内角，AB 或 AB2.(1)若 a3，b4，则 AB，AB2，C2，CACB，|CACB|(CA2CB22CA CB)a2b25.(2)若 C3，则 C2，AB，ab，三角形为等边三角形 由 SABC12a2sin C 3，解得 a2，AB BCBC CACA AB 322cos236.8 在ABC中,角,A B C所对的边分别是,a b c,向量(cos,sin)mAA,(2sin,cos)nAA,若|2mn.(1)求角A的大小;(2)若4 2b,2ca,求ABC的面积.9.已知4|a，2|b，且a与b夹角为 120求)()2(baba；|2|ba；a与ba 的夹角 10.已知

32、向量a=)2,1(，b=)2,3(。求|ba 与|ba；当k为何值时，向量bak 与ba3垂直？当k为何值时，向量bak 与ba3平行？并确定此时它们是同向还是反向？是已知向量则向量与的夹角为若则向量年浙江已知向量若向量满足则已知向量如果向量与垂直则的值为设点分有向线段的比是且点在有向线段的延长线上则的取值范围是设四边形中有且则这个四边形是平行四边形矩形等腰梯形菱形为则它的第个顶点的坐标是二填空题学习好资料欢迎下载设向量向量与共线且与同向的模为则已知与的夹角为要使垂直则已知如果则在菱形中三解答题如图是一个梯形且分别是的中点已知试用分别表示设求证与不共线并求与的夹角三角形求点的坐标和已知与的夹角

33、为值时当当实数为何已知顶点点内分所成的比为是边上的一点且的面积等于面积的一半求点的坐标学习好资料欢迎下载参考答案解连结解析且与不共线又在方向上的投影为解得解同理得又解如图设学习好资料 欢迎下载 11设D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB上的点，且ABAF21 BCBD31，CACE41，若记mAB，nCA，试用m，n表示DE、EF、FD。是已知向量则向量与的夹角为若则向量年浙江已知向量若向量满足则已知向量如果向量与垂直则的值为设点分有向线段的比是且点在有向线段的延长线上则的取值范围是设四边形中有且则这个四边形是平行四边形矩形等腰梯形菱形为则它的第个顶点的坐标是二填空题学习好资料欢迎下载设向量向量与共线且与同向的模为则已知与的夹角为要使垂直则已知如果则在菱形中三解答题如图是一个梯形且分别是的中点已知试用分别表示设求证与不共线并求与的夹角三角形求点的坐标和已知与的夹角为值时当当实数为何已知顶点点内分所成的比为是边上的一点且的面积等于面积的一半求点的坐标学习好资料欢迎下载参考答案解连结解析且与不共线又在方向上的投影为解得解同理得又解如图设