聚焦平行四边形的创新问题中学教育中考中学教育中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 聚焦平行四边形的创新问题 一、折叠类问题 例 1（深圳）如图所示，平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 BE 为折痕，将ABE向上翻折，点 A 正好落在 CD 上的 F 处，若FDE 的周长为 8，FCB 的周长为 22，则 FC的长为_ 解析：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ADBC，ABCD 又因为以 BE 为折痕，将ABE 向上翻折到FBE 的位置，所以 AEEF，ABBF 已知 DEDFEF8，即 ADDF8，ADDCFC8 所以 BCABFC8 又因为 BFBCFC22，即 ABBCFC22，、两式联立可得 FC7 评析：在求解时，要注意

2、整体思想的应用，本题中就是把 ABBC 当作一个整体进行求解，同时要注意折叠的特征 二、开放类问题 例 2（长沙中考题）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，要使四边形 ABCD 为平行四边形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）解析：应添加的条件不唯一，可以是：ABCD 或 BCAD 或AC 或BD 评析：本题考查了学生的逆向思维，要使四边形 ABCD 为平行四边形，结合已知条件，则只要它的对角线互相平分，从而得到所要添加的条件 A D C B A E D F C B 学习必备 欢迎下载 三、探索类问题 例 3：（贵阳中考题）阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过

3、 A、C 两点画直线 AC 把平行四边形 ABCD 分割成两个部分（如图所示a，），小刚过AB、DC 的中点画直线 EF，把平行四边形 ABCD 也分割成两个部分（如图b）这两种分割方法中面积之间的关系为12_SS，34_SS；根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有_条，请在图c的平行四边形中画出一种：由上述实验操作过程，你发现了什么规律？解析：小强过 A、C 两点画直线 AC 把平行四边形 ABCD 分割成两个部分，正好有ABCCDA，所以12SS；小刚过 AB、AC 的中点画直线 EF，把平行四边形 ABCD也分割成两个部分，由于平行四边形 AEFD 与

4、平行四边形 EBCF 大小相等，所以34SS；可以画无数条直线将此平行四边形的面积一分为二，画图略；经过平行四边形对角线交点的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形 评析：处理创新探索类问题除了要有一定的基础知识外，还必须通过大胆的猜想、归纳、验证，才能获得正确的结果 四、图形分割类 例 4：在一次数学探究活动中，小强用两条直线把平行四边形 ABCD 分割成四个部分，且含有一组对顶角的两个图形全等 根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有几组；请在图中的三个图形中画出满足小强分割法的直线；A D C B 2 1 A D C B A D C B E F 3 4

5、 a b c A D C B A D C B A D C B 上翻折点正好落在上的处若的周长为的周长为则的长为解析因为四边形是平行四边形所以又因为以为折痕将向上翻折到的位置所以已知即所以又因为即两式联立可得评析在求解时要注意整体思想的应用本题中就是把当作一个整体进是添加一个条件即可解析应添加的条件不唯一可以是或或或评析本题考查了学生的逆向思维要使四边形为平行四边形结合已知条件则只要它的对角线互相平分从而得到所要添加的条件学习必备欢迎下载三探索类问题例贵阳中考题阅示小刚过的中点画直线把平行四边形也分割成两个部分如图这两种分割方法中面积之间的关系为根据这两位同学的分割方法你认为把平行四边形分割成满

6、足以上面积关系的直线有条请在图的平行四边形中画出一种由上述实验操作过学习必备 欢迎下载 由上述实验操作过程，你能发现所画的两条直线有什么规律？解析：把平行四边形分割成满足题目条件的直线有无数组；比如连接 AC、BD 将平行四边形分割成两组全等三角形，连接 AD、BC 的中点，AB、CD 的中点将平行四边形分割成两组全等的四边形如图所示；只要两条直线同时经过平行四边形的中心都可以满足要求 评析：本题是一道图形分割类问题，利用平行四边形的性质可以解决问题 五、实际应用类问题 例 5：某村有一口四边形的池塘，在它的四个角 A、B、C、D 各栽一棵大核桃树，村里准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘的面积扩大

7、一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由 解析：可以，连结 AC、BD 交于点 O，分别过 A、C 作 EHBD，FGBD，再过 B、D 分别作 AC 的平行线，几条平行线分别相交于 E、F、G、H 四点，则四边形 EFGH 即为所求 理由如下：EFAC，GHAC，EFGH 同理：EHFG，四边形 EFGH 是平行四边形 又四边形 OAHD 与四边形 ODGC，OBFC，OAEB 均为平行四边形,HADAODDGCDOCAEBAOBBFCBOCSSSSSSSS 2HEFGABCDSS四边形 评析：利用

8、平行四边形的性质和判定方法解决问题 A D C B A D C B A D C B H D G C A B F E O 上翻折点正好落在上的处若的周长为的周长为则的长为解析因为四边形是平行四边形所以又因为以为折痕将向上翻折到的位置所以已知即所以又因为即两式联立可得评析在求解时要注意整体思想的应用本题中就是把当作一个整体进是添加一个条件即可解析应添加的条件不唯一可以是或或或评析本题考查了学生的逆向思维要使四边形为平行四边形结合已知条件则只要它的对角线互相平分从而得到所要添加的条件学习必备欢迎下载三探索类问题例贵阳中考题阅示小刚过的中点画直线把平行四边形也分割成两个部分如图这两种分割方法中面积之间

9、的关系为根据这两位同学的分割方法你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条请在图的平行四边形中画出一种由上述实验操作过学习必备 欢迎下载 点击平行四边形中的新型问题 近年来，中考数学试题在立意创新设计上思路更成熟、更开阔，正在从立意、情景、设问三方面努力，不仅使设计有了更多的创新，也通过试题更好地鼓励学生探索与创新现以平行四边形问题为例，来体会这类问题解题思路特点 例 1（大连）、如图 9，E、F 分别是平行四边形 ABCD 对角线 BD 所在直线上两点，DE=BF.请你以 F 为一个端点，和图中已标有字母的某一点连成一条新的线段，猜想并 证明它和图中已有的某一条线段相等(只须研究一组

10、线段相等即可).连结_；猜想：_；证明：(说明：写出证明过程中的重要依据)【解】：(1)CF (2)CF=AE (3)证明：四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC，AD=BC（平行四边形对边平行且相等）ADB=CBD（两直线平行内错角相等）ADE=CBF(等角的补角相等)DE=BF ADECBF（SAS）CF=AE（全等三角形的对应边相等）【评注】（1）本例首先考查解决与平行四边形有关题目的常用方法:利用三角形全等;充分利用平行四边形的性质;（2）其次考察猜想、判断、推理能力，熟练运用知识解决问题的能力.（3）本题属开放型题目，只要通过分析，得出相应结论，进一步验证或说明理由即可，答案往往.

11、不惟一.例 2（贵阳）如图 9，在平行四边形 ABCD 中，对角线 ACBD 相交于点 O，AFBD，CEBD，垂足分别为 E、F；（1）连结 AE、CF，得四边形 AFCE，试判断四边形 AFCE 是下列图形中的哪一种？平行四边形；菱形；矩形；（2）请证明你的结论；图 9 FEDCBA上翻折点正好落在上的处若的周长为的周长为则的长为解析因为四边形是平行四边形所以又因为以为折痕将向上翻折到的位置所以已知即所以又因为即两式联立可得评析在求解时要注意整体思想的应用本题中就是把当作一个整体进是添加一个条件即可解析应添加的条件不唯一可以是或或或评析本题考查了学生的逆向思维要使四边形为平行四边形结合已知

12、条件则只要它的对角线互相平分从而得到所要添加的条件学习必备欢迎下载三探索类问题例贵阳中考题阅示小刚过的中点画直线把平行四边形也分割成两个部分如图这两种分割方法中面积之间的关系为根据这两位同学的分割方法你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条请在图的平行四边形中画出一种由上述实验操作过学习必备 欢迎下载 【解】（1）画图连结 AE、CF 四边形 AFCE 为平行四边形 （2）证明：AFBD，CEBD，AFO=CEO 又AOF=COE，OA=OC AOFCOE，OF=OE 又OA=OC，四边形 AFCE 是平行四边形【评注】探索性的问题在近几年中考中已越来越多受到命题者的青睐，要求答题者

13、开动脑筋，积极探索.解决此类问题的关键借助于图形或是合理的分析、猜测先得出结论，再进一步依据已知推理，说明结论的正确性.例 3（广东）如图，在ABCD中，60DAB，点F，E分别在AB，CD的延长线上，且CFBC，AEAD（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“60DAB”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 【解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，A BD CA BD，60DABAEAD，AD E 是等边三角形 同理，BFC是等边三角形 E DADB FB C，又ABDCABDC，ABB FC DD E，即AFCEAFCE，四边形E

14、AFC是平行四边形 A F C E B O D 上翻折点正好落在上的处若的周长为的周长为则的长为解析因为四边形是平行四边形所以又因为以为折痕将向上翻折到的位置所以已知即所以又因为即两式联立可得评析在求解时要注意整体思想的应用本题中就是把当作一个整体进是添加一个条件即可解析应添加的条件不唯一可以是或或或评析本题考查了学生的逆向思维要使四边形为平行四边形结合已知条件则只要它的对角线互相平分从而得到所要添加的条件学习必备欢迎下载三探索类问题例贵阳中考题阅示小刚过的中点画直线把平行四边形也分割成两个部分如图这两种分割方法中面积之间的关系为根据这两位同学的分割方法你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系

15、的直线有条请在图的平行四边形中画出一种由上述实验操作过学习必备 欢迎下载 （2）成立 证明：四边形ABCD是平行四边形，AD ED ABD C BC B AEADC BC F，AEADC BC F AD EC B FAE DC F，AD EC B F D EB F ABB FC DD E，即AFCE AFC E，四边形EAFC是平行四边形 【评注】证明一个四边形是平行四边形选择适当的判定方法是关键，本题利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定进行证明 例 4（宿迁）如图，在ABCD中，AE、BF 分别平分DAB 和ABC，交 CD 于点 E、F，AE、BF 相交于点 M（1）试说明：AE

16、BF；（2）判断线段 DF 与 CE 的大小关系，并予以说明 【解】：（1）方法一：如图 在 ABCD 中，ADBC，DABABC180 AE、BF 分别平分DAB 和ABC，DAB2BAE，ABC2ABF 2BAE2ABF180，即BAEABF90 AMB90，AEBF (2)：线段 DF 与 CE 是相等关系，即 DFCE 在ABCD中，CDAB，DEAEAB 又AE平分DAB，DAEEAB DEADAE，DEAD 同理可得，CFBC 又在ABCD中，ADBC，DECF MFEDCBA（第 3 题）MFEDCBA图 上翻折点正好落在上的处若的周长为的周长为则的长为解析因为四边形是平行四边形

17、所以又因为以为折痕将向上翻折到的位置所以已知即所以又因为即两式联立可得评析在求解时要注意整体思想的应用本题中就是把当作一个整体进是添加一个条件即可解析应添加的条件不唯一可以是或或或评析本题考查了学生的逆向思维要使四边形为平行四边形结合已知条件则只要它的对角线互相平分从而得到所要添加的条件学习必备欢迎下载三探索类问题例贵阳中考题阅示小刚过的中点画直线把平行四边形也分割成两个部分如图这两种分割方法中面积之间的关系为根据这两位同学的分割方法你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条请在图的平行四边形中画出一种由上述实验操作过学习必备 欢迎下载 DEEFCFEF，即 DFCE 【评注】由平行四

18、边形可得出许多线段相等和平行，角相等，这些都可作为已知条件.作为探索结论依据.解决此类问题，一般先通过关系，加以猜想，然后给与验证，要注意对平行四边形性质的应用.例 5(广州)图 8 是某区部分街道示意图，其中 CE 垂直平分 AF，ABDC，BCDF从 B 站乘车到 E 站只有两条路线有直接到达的公交车，路线 1 是 B-D-A-E，路线2 是 B-C-F-E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明【解析】（方法不止一种！）这里提供一种：这两条路线路程的长度一样 证明：延长FD交AB于点G/BCDF，/BCFG BCDFDC，CBDGDB，DGBDFC CBDDFC BCDFDC CBDDFC

19、 CD是公共边 BCDFDC，BCFD 四边形BCFD是平行四边形 CFBD CE垂直平分AF AEFE，FDDA BCDA 路线1的长度为：BDDAAE，路线2的长度为：BCCFFE 综合，可知路线1路程长度与路线2路程长度相等【评注】将现实生活中的平行四边形问题转化数学问题中，借助于平行四边形的判定来解决是解此题的关键.例 6（茂名）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图是一副七巧板，若已知1BICS，请你根据对七巧板制作过程的认识，解决下列问题：（1）求一只蚂蚁从点A沿ABCHE所走的路线的总长（结果精确到0.01）；上翻折点正好落在上的处若的周长为的周长为则的长为解析因为

20、四边形是平行四边形所以又因为以为折痕将向上翻折到的位置所以已知即所以又因为即两式联立可得评析在求解时要注意整体思想的应用本题中就是把当作一个整体进是添加一个条件即可解析应添加的条件不唯一可以是或或或评析本题考查了学生的逆向思维要使四边形为平行四边形结合已知条件则只要它的对角线互相平分从而得到所要添加的条件学习必备欢迎下载三探索类问题例贵阳中考题阅示小刚过的中点画直线把平行四边形也分割成两个部分如图这两种分割方法中面积之间的关系为根据这两位同学的分割方法你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条请在图的平行四边形中画出一种由上述实验操作过学习必备 欢迎下载（2）求平行四边形EFGH的面积

21、 解：（1）由七巧板性质可知BIICCHHE 又190BICSBIC，112BI IC，2BIIC，222BCBIIC ABBCCHHE2BCBCBIBI，32BCBI，3 222 ，62 262.8288.83 即蚂蚁沿ABCHE所走的路线的总长为 8.83 （2）连接GE，则可知平行四边形EFGH的面积为：22BICS【评注】抓住七巧板的结构特性是本题的解题关键 A F H D C N B E G I 上翻折点正好落在上的处若的周长为的周长为则的长为解析因为四边形是平行四边形所以又因为以为折痕将向上翻折到的位置所以已知即所以又因为即两式联立可得评析在求解时要注意整体思想的应用本题中就是把当

22、作一个整体进是添加一个条件即可解析应添加的条件不唯一可以是或或或评析本题考查了学生的逆向思维要使四边形为平行四边形结合已知条件则只要它的对角线互相平分从而得到所要添加的条件学习必备欢迎下载三探索类问题例贵阳中考题阅示小刚过的中点画直线把平行四边形也分割成两个部分如图这两种分割方法中面积之间的关系为根据这两位同学的分割方法你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条请在图的平行四边形中画出一种由上述实验操作过学习必备 欢迎下载 透视平行四边形新题型 随着新课程的不断深入，中考试题在形式上发生了较大变化，各式各样的新题型闪亮登场，有关平行四边形的新题型更是令人耳目一新，现选取数例进行分析，供

23、同学们参考 一、条件开放型 例 1、如图 1，E、F 分别是 ABCD 的 AD、BC 边上的点，若再增加一个条件 ，就可推得 BE=DF 评析：本题将传统的封闭问题进行改造，从一个简单的图形中提出问题，让学生探索结论成立的条件，适当开放问题的条件，对学生学习能力的考查极有好处答案可以从 AE=CF，AEB=CFD，ABE=CDF 等中任选一个 二、猜想证明型 例 2、（大连市）如图，E、F 分别是平行四边形 ABCD 的对角线 BD 所在直线上的两点，DE=BF，请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可

24、）（1）连结 ；（2）猜想：；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）评析：此题为猜想并证明的试题，虽难度不大，但结构较新，改变了传统的固有模式 解答时应先仔细观察图形，然后提出一种可能性的猜想，再尝试去证明它连结 FC，猜想：AE=CF 证明过程的重要依据是：连结 AE、CF，由平行四边形对边平行且相等得 ABCD，ADBC，AB=DC，AD=BC，由此可推出ABE=CDF，ADE=CBF，再加上 DE=BF，根据全等三角形的判定定理 SAS，容易证得ABECDF 或ADECBF，从而可以 得到 AE=CF 三、拼图操作型 例 3（天津市）如图 3，已知四边形纸片 ABCD，现需将该纸片

25、剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到？（用“能”或“不能”填空）若填“能”上翻折点正好落在上的处若的周长为的周长为则的长为解析因为四边形是平行四边形所以又因为以为折痕将向上翻折到的位置所以已知即所以又因为即两式联立可得评析在求解时要注意整体思想的应用本题中就是把当作一个整体进是添加一个条件即可解析应添加的条件不唯一可以是或或或评析本题考查了学生的逆向思维要使四边形为平行四边形结合已知条件则只要它的对角线互相平分从而得到所要添加的条件学习必备欢迎下载三探索类问题例贵阳中考题阅示小刚过的中点画直线把平行四边形也分割成两个部分如图这两种分割方法中面积之间的关系为

26、根据这两位同学的分割方法你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条请在图的平行四边形中画出一种由上述实验操作过学习必备 欢迎下载 请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由 评析：此题以学生喜爱的剪纸活动为背景，让学生在剪与拼的操作过程中去发现几何结论，较好地体现了新课标下“做数学”的理念根据此题限制只能有两条辅助线，所以我们在寻找剪裁线的过程中要注意两个原则：一是要利用题中给定的四边形的特殊点，二是要注意到平行四边形的特征，因此我们可以考虑取四边形各边的中点，利用相等线段使两个不同图形的边重合在一起，再利用四边形内部两对相等的对顶角构成平行四边形的两组对角 具体

27、操作是：如图 4，取四边形 ABCD 各边的中点 E、F、G、H，连接 EF、GH，以 EF、GH 为裁剪线，将四边形 ABCD 分成四部分，拼接时，图中的 1 不动，将 2、4 分别绕点 H、F 各旋转 180，将 3 进行平移，就拼成满足条件的平行四边形 0MNP 四、判断说理型 例 4、（广东省）如图 5，在 ABCD 中，DAB=60，点 E、F 分别在 CD、AB 的延长线上，且 AE=AD，CF=CB （1）求证：四边形 AFCE 是平行四边形（2）若去掉已知条件中的DAB=60，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 评析：本题（2）把以往的几何论证转为

28、自主探究，把已知条件中的部分条件去掉，让学生通过自主探索探究原有结论是否仍然成立，这种新的考查形式成为近年来中考试题的热点 证明、判断及说理过程为：（1）四边形 ABCD 是 ，AD=BC，DAB=60，EDA=CBF=60 又AE=AD，CF=CB，AED 和CBF 为全等的等边三角形，ED+DC=AB+BF，即 EC=AF，又DCAB，四边形 AFCE 是平行四边形，（2）仍然成立 在COE 和AOF 中，ABCD 为平行四边形，OA=OC，DCAB，ECO=FAO，又AOF=COE，COEAOF，EC=AF，又ECAF，四边形 AFCE 是平行四边形 上翻折点正好落在上的处若的周长为的周

29、长为则的长为解析因为四边形是平行四边形所以又因为以为折痕将向上翻折到的位置所以已知即所以又因为即两式联立可得评析在求解时要注意整体思想的应用本题中就是把当作一个整体进是添加一个条件即可解析应添加的条件不唯一可以是或或或评析本题考查了学生的逆向思维要使四边形为平行四边形结合已知条件则只要它的对角线互相平分从而得到所要添加的条件学习必备欢迎下载三探索类问题例贵阳中考题阅示小刚过的中点画直线把平行四边形也分割成两个部分如图这两种分割方法中面积之间的关系为根据这两位同学的分割方法你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条请在图的平行四边形中画出一种由上述实验操作过学习必备 欢迎下载 上翻折点正好落在上的处若的周长为的周长为则的长为解析因为四边形是平行四边形所以又因为以为折痕将向上翻折到的位置所以已知即所以又因为即两式联立可得评析在求解时要注意整体思想的应用本题中就是把当作一个整体进是添加一个条件即可解析应添加的条件不唯一可以是或或或评析本题考查了学生的逆向思维要使四边形为平行四边形结合已知条件则只要它的对角线互相平分从而得到所要添加的条件学习必备欢迎下载三探索类问题例贵阳中考题阅示小刚过的中点画直线把平行四边形也分割成两个部分如图这两种分割方法中面积之间的关系为根据这两位同学的分割方法你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条请在图的平行四边形中画出一种由上述实验操作过