常见不等式恒成立问题的几种求解策略中学教育高考中学教育中学课件.pdf

《常见不等式恒成立问题的几种求解策略中学教育高考中学教育中学课件.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常见不等式恒成立问题的几种求解策略中学教育高考中学教育中学课件.pdf（3页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习好资料 欢迎下载 常见不等式恒成立问题的几种求解策略 不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略，以抛砖引玉。1 变量转换策略 例 1 已知对于任意的 a-1,1，函数 f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a0 恒成立，求 x 的取值范围.解析 本题按常规思路是分 a=0时 f(x)是一次函数，a0 时是二次函数两种情况讨论，不容易求 x 的取值范围。因此，我们不能总是把 x 看成是变量，把 a 看成常参数，我们可以通过变量转

2、换，把 a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令 g(a)=(x2+2x-1)a-4 x+3在 a-1,1时，g(a)0恒成立，则0)1(0)1(gg，得133133x.点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。2 零点分布策略 例 2 已知aaxxxf3)(2，若0)(,2,2xfx恒成立，求 a的取值范围.解析 本题可以考虑 f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即 0 或0)2(0)2(220ffa或0)2(0)2(2

3、20ffa，即 a的取值范围为-7，2.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上就行了.3 函数最值策略 例 3 已知aaxxxf3)(2，若2)(,2,2xfx恒成立，求 a的取值范围.解析 本题可以化归为求函数 f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(,2,2minxfx.若2)(,2,2xfx恒成立2)(,2,2minxfx237)2()(22minafxfa 或243)2()(2222minaaafxfa或27)2()(22minafxfa，即 a的取值范围为222,5.学习好资

4、料 欢迎下载 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用mxf)(恒成立mxfmin)(；mxf)(恒成立mxfmax)(.本题也可以用零点分布策略求解.4 变量分离策略 例 4 已知函数|54|)(2xxxf，若在区间 5,1上，kkxy3的图象位于函数 f(x)的上方，求 k 的取值范围.解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于543,5,12xxkkxx恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题.对于543,5,12xxkkxx恒成立3542xxxk对于 5,1 x恒成立,令 5,1,3542xxxxy,设

5、 8,2,3ttx,则,8,2,10)16(ttty4t当,即 x=1 时2maxy,k 的取值范围是 k2.变式 若本题中将kkxy3改为2)3(xky，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.由题意得，对于54)3(,5,122xxxkx恒成立22)3(54xxxk对 于 5,1 x恒 成立,令 5,1,)3(5422xxxxy,设 8,2,3ttx,则,169)454(1101622ttty 8,2t，时即当51,454xt,169maxy,k 的取值范围是k169.点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地

6、转化为“对勾函数”，从而求得最值.变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.5 数形结合策略 例 5 设函数xxaxf4)(2,aaxxg)(,若恒有)()(xgxf成立,试求实数 a的取值范围.解析 由题意得)()(xgxfaaxxx242,令xxy421,aaxy22.可化为)0,40(4)2(1212yxyx，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上半圆；表示经过定点(-2,0)，以 a 为斜率的直线，要使)()(xgxf恒成立，只需所表示的半圆在所表示的直线下方就可以了(如图所示)当直线与半圆相切时就有21|22|2aa

7、a，即33a，由图可知，要使)()(xgxf恒成立，实数 a的取值范围是33a x y O 出现它综合考查函数方程和不等式的主要内容并且与函数的最值方程的解和参数的取值范围紧密相连本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略以抛砖引玉变量转换策略例已知对于任意的函数恒成立求的是把看成是变量把看成常参数我们可以通过变量转换把看成变量看成常参数这就转化一次函数问题问题就变得容易求解令在时恒成立则得点评对于含有两个参数且已知一参数的取值范围可以通过变量转换构造以该参数为自变量的函况进行分类讨论分无零点零点在区间的左侧零点在区间的右侧三种情况即或或即的取值范围为点评对于含参数的函数在

8、闭区间上函数值恒大于等于零的问题可以考虑函数的零点分布情况要求对应闭区间上函数图象在轴的上方或在轴学习好资料 欢迎下载 点评 本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果.6 消元转化策略 例 6 已知 f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且 f(1)=1,若0)()(0,1,1,nmnfmfnmnm时，若12)(2attxf对于所有的 1,1,1,1ax恒成立，求实数 t 的取值范围.解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明 f(x)

9、是 定 义在-1,1上的增函数,故 f(x)在-1,1上 的最大 值 为 f(1)=1,则12)(2attxf对于 所 有的 1,1,1,1ax恒成立1212att对于所有的 1,1a恒成立，即022 tta对于所有的 1,1a恒成立，令22)(ttaag，只要0)1(0)1(gg，022ttt或或 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运

10、用，才能使问题得以顺利解决。出现它综合考查函数方程和不等式的主要内容并且与函数的最值方程的解和参数的取值范围紧密相连本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略以抛砖引玉变量转换策略例已知对于任意的函数恒成立求的是把看成是变量把看成常参数我们可以通过变量转换把看成变量看成常参数这就转化一次函数问题问题就变得容易求解令在时恒成立则得点评对于含有两个参数且已知一参数的取值范围可以通过变量转换构造以该参数为自变量的函况进行分类讨论分无零点零点在区间的左侧零点在区间的右侧三种情况即或或即的取值范围为点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题可以考虑函数的零点分布情况要求对应闭区间上函数图象在轴的上方或在轴